全概率公式的教學(xué)研究

李春娥 張曉 徐翔燕

【摘要】全概率公式是理論和應(yīng)用相結(jié)合的知識(shí)點(diǎn).通過(guò)對(duì)學(xué)校所在城市附近的塔里木河河水的含沙量的計(jì)算，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)全概率公式的興趣和潛能，引入計(jì)算復(fù)雜事件概率的思想——“分類討論，化繁為簡(jiǎn)”，引入劃分概念和全概率公式后，以學(xué)生非常關(guān)心的大四考上研究生和找到工作的概率為例題，進(jìn)行探討和研究.

【關(guān)鍵詞】分類討論;全概率公式;劃分

【基金項(xiàng)目】塔里木大學(xué)高等教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目“課程思政”示范課程的課堂教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)體系研究（TDGJYB1934）;塔里木大學(xué)應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析“課程思政”示范課項(xiàng)目（2201029069）;塔里木大學(xué)重點(diǎn)課程項(xiàng)目“高等數(shù)學(xué)”220101405）.

全概率公式以條件概率公式、乘法公式和概率的有限可加性為基礎(chǔ)，全概率公式又是貝葉斯公式的基礎(chǔ)，因此，全概率公式在概率論中是非常重要的公式之一，也是考研內(nèi)容之一.

在實(shí)際的生活中，常遇到難以用概率的有限可加性、乘法公式等直接計(jì)算出的復(fù)雜概率，怎么辦呢？考慮將復(fù)雜事件分解為多個(gè)部分，如果每個(gè)部分的概率能夠比較容易地計(jì)算，再把每個(gè)部分的概率求和，便得到了復(fù)雜事件的概率.

一、實(shí)際問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，激起學(xué)習(xí)興趣

在回顧條件概率和乘法公式后，播放“遠(yuǎn)方的家”錄制的“中國(guó)第一大內(nèi)流河，塔里木河源頭的介紹”，其內(nèi)容為：塔里木河全長(zhǎng)2 179千米，由發(fā)源于天山的阿克蘇河，發(fā)源于昆侖山的葉爾羌河、和田河匯流而成.塔里木河自西向東蜿蜒于塔里木盆地北部，上游地區(qū)大多流經(jīng)起伏不平的戈壁荒漠，所以來(lái)自冰山的融水含沙量大，河水很不穩(wěn)定，被稱為“無(wú)韁的野馬”.通過(guò)這一小小的視頻讓學(xué)生了解塔里木河的源頭和塔里木河河水的特點(diǎn)，同時(shí)激起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.接著提出以下問(wèn)題.

問(wèn)題1?已知阿克蘇河、和田河和葉爾羌河的含沙量和流量比（見(jiàn)表1），試計(jì)算塔里木河河水的含沙量是多少？

分析?易知三河交匯后塔里木河的河水含沙量為

P=710×3.86+210×9.85+110×3.2=4.992 kg/m3.

交匯后的含沙量，是原來(lái)各支流含沙量的加權(quán)求和，其權(quán)重就是各支流的流量比.

求解的過(guò)程充分體現(xiàn)了分類討論、化繁為簡(jiǎn)的思想，使學(xué)生掌握其求解思想.在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中也常遇到求復(fù)雜事件的概率，是否也可以用分類討論、化繁為簡(jiǎn)、化整為零的思想解決復(fù)雜事件的概率問(wèn)題呢？由于要分類，下面引出劃分的概念.

二、全概率公式及其應(yīng)用

定義[1]?設(shè)Ω為試驗(yàn)E的樣本空間，A1，A2，…，An為E的一組事件，若

（1）A1∪A2∪…∪An=Ω;

（2）Ai∩Aj=，

則稱A1，A2，…，An為樣本空間Ω的一個(gè)劃分，或稱為一個(gè)完備事件組.

從Venn圖上解釋劃分的概念，關(guān)鍵在于對(duì)樣本空間進(jìn)行分開(kāi)和分完，另外，樣本空間的劃分是不唯一的.

定理（全概率公式）[2]?若A1，A2，…，An為樣本空間Ω的一個(gè)劃分，且P（Ai）>0，i=1，2，…，n對(duì)Ω中的任一事件B，有

P（B）=∑ni=1P（Ai）P（B|Ai）.

證明見(jiàn)參考文獻(xiàn)[2].

分析?從內(nèi)容上來(lái)看，事件B發(fā)生的概率不易直接求得，但積事件AiB（i=1，2，…，n）的概率通過(guò)乘法公式可以求得，即條件概率P（B|Ai），P（Ai）在題目中已知或通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算易求.

從Venn圖上對(duì)全概率公式進(jìn)行直觀的解釋，事件B與樣本空間Ω的一個(gè)劃分A1，A2，…，An的每一部分都有交集，直接求事件B的概率沒(méi)有頭緒，通過(guò)求積事件AiB（i=1，2，…，n）概率的和，求得事件B的概率，這里積事件AiB（i=1，2，…，n）的概率是通過(guò)乘法公式求得的.如果視A1，A2，…，An為“原因”，那么B就是“結(jié)果”，每個(gè)原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生，故發(fā)生B的概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生的概率的總和.

問(wèn)題2?假設(shè)你大四報(bào)考新疆大學(xué)的研究生，你能否通過(guò)建立模型利用全概率公式，計(jì)算自己考上新疆大學(xué)研究生的概率？

分析?帶領(lǐng)學(xué)生思考哪些主要因素影響考研復(fù)習(xí)，對(duì)這些主要因素（如學(xué)習(xí)環(huán)境、學(xué)習(xí)態(tài)度、教師教學(xué)水平和學(xué)校的管理等）的重要性賦予合理的權(quán)重，在這些因素的影響下對(duì)考上新疆大學(xué)研究生的概率（即條件概率）進(jìn)行賦值.

大四時(shí)考上研究生的概率是學(xué)生非常關(guān)心的問(wèn)題之一，能夠引起學(xué)生對(duì)未來(lái)的關(guān)注.學(xué)生不僅“學(xué)其概率”，而且在生活中“用其概率”，使學(xué)生了解到全概率公式還可以對(duì)未來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè).假設(shè)某大四學(xué)生在考研筆試成績(jī)出來(lái)后，得知有一門(mén)課程沒(méi)過(guò)線，你能否幫他計(jì)算一下，他找到工作的概率，具體問(wèn)題如下.

問(wèn)題3?我校某名大四學(xué)生在南疆、北疆和疆外找工作的概率分別是50%，30%和20%，而在南疆、北疆和疆外被聘用的概率分別是0.9，0.4和0.1，試求該畢業(yè)生找到工作的概率.

解?設(shè)A1={畢業(yè)生在南疆找工作}，

A2={畢業(yè)生在北疆找工作}，

A3={畢業(yè)生在疆外找工作}，

B={畢業(yè)生找到工作}.

由題意知

P（A1）=50%，P（A2）=30%，P（A3）=20%，

P（B|A1）=0.9，P（B|A2）=0.4，P（B|A3）=0.1.

由全概率公式得

P（B）=∑3i=1P（Ai）P（B|Ai）

=50%×0.9+30%×0.4+20%×0.1

=0.59.

該畢業(yè)找到工作的概率僅為0.59，如果該畢業(yè)生提前決定只在南疆找工作，則他找到工作的概率為0.9.因此，在兵團(tuán)向南發(fā)展亟須大量人才的大背景下，鼓勵(lì)學(xué)生扎根邊疆，為南疆經(jīng)濟(jì)社會(huì)的發(fā)展貢獻(xiàn)一分力量.

思考：若已知該名畢業(yè)生找到工作，求他在南疆工作的概率是多少？由此引出貝葉斯公式.

三、總?結(jié)

全概率公式用于求復(fù)雜事件B的概率，求解的方法是將復(fù)雜事件B分解為n個(gè)部分，即樣本空間的一個(gè)劃分與事件B的n個(gè)積事件，選擇的樣本空間劃分要便于計(jì)算積事件的概率，積事件的概率利用乘法公式計(jì)算，再對(duì)其概率求和.其求解的過(guò)程體現(xiàn)了分類討論、化繁為簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)思想.從另一方面來(lái)說(shuō)，全概率公式用于已知每個(gè)因素發(fā)生的概率和每個(gè)因素發(fā)生的條件下結(jié)果發(fā)生的概率，求結(jié)果發(fā)生的概率，即全概率公式用于“由因索果”事件.

在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，使學(xué)生知其概率的基本理論，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用概率方法，建立簡(jiǎn)單的概率、統(tǒng)計(jì)模型解決實(shí)際問(wèn)題的能力，提升邏輯推理能力、自主學(xué)習(xí)的能力，增強(qiáng)創(chuàng)新能力和應(yīng)用能力，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，為學(xué)生今后學(xué)習(xí)專業(yè)課程打下必要的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ).最終，達(dá)到培養(yǎng)創(chuàng)新型、復(fù)合型、應(yīng)用型人才的目的.

【參考文獻(xiàn)】

[1]茆詩(shī)松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程：第2版[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]盛驟，謝式千，潘承毅，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：第4版[M].北京：高等教育出版社，2011.