單位圓盤上凸調(diào)和函數(shù)的系數(shù)條件與擬共性延拓

江蘇南京理工大學(xué)理學(xué)院 楊佳霖 張 珣 邱鄭宜人

一、緒論

有關(guān)調(diào)和函數(shù)的更多細(xì)節(jié)，我們可以查閱參考文獻(xiàn)[8]，[9]和專著[2]。

則函數(shù)f ∈H 是α 階的凸調(diào)和函數(shù)（見[9]）。我們記CH（α）為α 階凸調(diào)和函數(shù)組成調(diào)和函數(shù)類。

當(dāng)f 是調(diào)和 的 時(shí)候，通過(1.2)，Avci 和Zlotkiewicz([1])利用系數(shù)an，bn給出了f 成為星象函數(shù)的一個(gè)充分條件，Silverman([10])給出了當(dāng)b1=0 時(shí)，f 是單葉的、保向的和星象的充分條件。Jahangiri ([6])推廣了當(dāng)b1不一定為0時(shí)的相應(yīng)結(jié)果。Hamada等（[5]）給出了使f 可以擬共性延拓到整個(gè)復(fù)平面的一個(gè)充分條件。

二、α 階凸的充分系數(shù)條件

在本節(jié)中，對于f ∈H，我們將證明關(guān)于f ∈CH（α）以下充分條件。

那么f 在單位圓盤Δ 內(nèi)是單葉調(diào)和函數(shù)，且f ∈CH（α）。

證明 首先我們證明f 是局部單葉的且在單位圓盤△內(nèi)保向，這是因?yàn)?/p>

在下文中，我們驗(yàn)證f 是單葉的。如果g（z）=0，則f 是解析的，并且其單葉性遵循其凸性（[3]）。如果g（z）≠0，我們現(xiàn)在證明當(dāng)z1≠z2時(shí)，f（z1）≠f（z2）。

對于單位圓盤Δ 內(nèi)的z1≠z2，我們得到z（t）=（1-t）z1+t z2∈Δ，其中0 ≤t ≤1。因此可以寫成：

另一方面，通過(2.1)

聯(lián)合(2.2)和（2.3），我們可以得到f 是單葉的。

下面證明f ∈CH（α）。根據(jù)(1.3)，我們只需要證明

其中，z=reiθ，0 ≤θ＜2π，0 ≤r＜1, and 0 ≤α＜1。

不難驗(yàn)證Rew ≥α 當(dāng)且僅當(dāng)|1-α+w|≥|1+α-w|，因此我們只需證明|A(z)+（1-α）B(z)|-|A(z)-（1+α）B(z)|≥0，

通過(1.2)中h 和g 的系列展開，我們得到了

將(2.5)、(2.6)與條件(2.1)、(2.4)相結(jié)合，得到

證明完畢。

三、調(diào)和函數(shù)的擬共形和擬共形延拓

由于f 不是仿射映射，通過(2.1)，易知

結(jié)論2 f 在單位圓盤Δ 上是絕對連續(xù)的。

對于任意z1，z2∈Δ，且z1≠z2，有

這意味著f 在單位圓盤Δ 上是絕對連續(xù)的。

在[5]中證明了以下定理：

定理3的證明 根據(jù)定理A，為證明定理3，我們只需要驗(yàn)證（2.1）是否滿足定理A 中的條件。

對于任意n ≥3，且

證明完畢。