小問題下的大數(shù)學(xué)

范麗麗

【摘 要】基于數(shù)學(xué)整體觀下，立足于生長式教學(xué)，由一道簡單的代數(shù)式比較大小的題目引起的一系列聯(lián)想，激發(fā)學(xué)生發(fā)散思維，形成數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)化網(wǎng)絡(luò)。

【關(guān)鍵詞】整體觀;結(jié)構(gòu)化;發(fā)散思維;生長教學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過思考、探索數(shù)學(xué)問題，發(fā)展數(shù)學(xué)獨(dú)特思維，注重?cái)?shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，對于同一個(gè)問題，可以從不同的角度建模，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性。這就要求教師基于數(shù)學(xué)整體觀，在組織教學(xué)內(nèi)容時(shí)加強(qiáng)知識之間的結(jié)構(gòu)化聯(lián)系，在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散、類比遷移、積極探究的能力。

在一輪復(fù)習(xí)的過程中，遇到這樣一個(gè)問題，（-1，y1）、（1，y2） 是一次函數(shù)y=-2x+b上的兩點(diǎn)，請比較y1與y2的大小。大多數(shù)學(xué)生想到的方法是根據(jù)一次函數(shù)的增減性判別函數(shù)值的大小，很少有同學(xué)會把兩點(diǎn)代入函數(shù)表達(dá)式，從代數(shù)式的角度去想這個(gè)問題，他做函數(shù)題，他眼中看到的只有函數(shù)，心中想到的也是用函數(shù)知識去解決。這種單一的思維方式是怎么造成的呢？一是由于學(xué)生滿足于會做題即可，缺少思考，缺少融會貫通;另一方面有些教者放不開，會無意識地將原本整體的數(shù)學(xué)知識人為地割裂，導(dǎo)致學(xué)生忽略數(shù)學(xué)知識的整體性、貫通性。數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)被看成孤立、固定的“模塊”式教學(xué)，而應(yīng)是展現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程的教學(xué)，應(yīng)是一種生長式的教學(xué)?；谝陨系乃伎?，筆者在教學(xué)中設(shè)計(jì)這樣的一個(gè)案例：

例1.如何比較2+b與-2+b的大小呢？你有哪些方法？

學(xué)生的反應(yīng)是很“不屑”的，覺得老師給的問題太簡單。

S1：利用不等式的性質(zhì)1，因?yàn)?>-2，所以2+b>-2+b。

S2：可以用作差法，因?yàn)?+b-（-2+b）=4>0，所以2+b>-2+b。

T：還有別的辦法？

（下面沒有什么聲音）

T：誰可以從函數(shù)的角度來解決這個(gè)問題？

（大家正襟危坐，開始逐漸轉(zhuǎn)變對這道簡單題目的態(tài)度，認(rèn)真思考起來。）

S3：我們可以找到一個(gè)函數(shù)y=x+b，當(dāng)x=2時(shí)，y=2+b;當(dāng)x=-2時(shí)，y=-2+b。因?yàn)閥=x+b是一個(gè)增函數(shù)，y隨著x增大而增大，所以2>-2時(shí)，2+b>-2+b。

S4：我們可以找到一個(gè)函數(shù)y=-x+b，當(dāng)x=2時(shí)，y=-2+b;當(dāng)x=-2時(shí)，y=2+b。因?yàn)閥=x+b是一個(gè)減函數(shù)，y隨著x增大而減小，所以2>-2時(shí)，-2+b<2+b。

（這時(shí)候，大家的思路被打開了。氣氛頓時(shí)活躍起來，很多學(xué)生舉手想要表達(dá)自己的想法。）

S5：照他們的說法，我們也可以找函數(shù)y=2x+b。

S6：（搶著回答）那也可以找函數(shù)y=-2x+b??！

T：我們可以用任意一個(gè)形如y=kx+b的一次函數(shù)模型來解決嗎？比如y=-4x+b？

S眾：可以，設(shè)一個(gè)函數(shù)y=-4x+b，當(dāng)x=-■時(shí)，y=2+b; 當(dāng)x=■時(shí)，y=-2+b。因?yàn)閥=-4x+b是一個(gè)減函數(shù)，y隨著x增大而減小，所以-■<■時(shí)，2+b>-2+b。

T：大家都非常厲害！我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)當(dāng)把2，-2看作變量，b看作常量時(shí)，尋找任意一個(gè)一次函數(shù)，利用函數(shù)增減性解決問題。那可不可以創(chuàng)設(shè)兩個(gè)一次函數(shù)，對于變量取同一個(gè)值時(shí)，比較函數(shù)值的大小解決問題？

（大家又陷入一片思考之中）

這時(shí)一個(gè)聲音：我可以！

S7：我們可以設(shè)兩個(gè)函數(shù)y1=x+2、y2=x-2，當(dāng)x=b時(shí)y1=

b+2，y2=b-2，從函數(shù)圖像上看，只要x確定為同一值時(shí)，y=x+2上所對應(yīng)的點(diǎn)肯定在y=x-2上所對應(yīng)的點(diǎn)的上方，所以當(dāng)x=b時(shí)，b+2>b-2。

[思考]我內(nèi)心是激動的，在教學(xué)上，只要我們老師一點(diǎn)嘗試，一個(gè)引導(dǎo)，就能收獲到如此多的驚喜。一道簡單的代數(shù)式題目能引出學(xué)生這么多有趣的思考。題目本身雖簡單，但是能透過簡單看到數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系是很難的，也是我們在平時(shí)教學(xué)上所缺失的，就是我們教師能不能站在更高的角度從數(shù)學(xué)整體的大局觀來引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)四大模型的內(nèi)在聯(lián)系。教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生到整個(gè)結(jié)構(gòu)體系里，看到代數(shù)式要看到不等式、方程、函數(shù)，它們是一體的。知識結(jié)構(gòu)性決定不應(yīng)將零散的、孤立的知識教給學(xué)生，要讓學(xué)生在生長式教學(xué)中得到知識、能力的“生長”。我相信這道簡單的題目帶給學(xué)生的沖擊是震撼的，印象是深刻的，影響是巨大的。在學(xué)生心里埋下一顆數(shù)學(xué)整體觀的種子是值得的，它會在悄無聲息中生根發(fā)芽，但是需要我們教師適時(shí)澆灌。

學(xué)生的成長有其基礎(chǔ)性、階段性、循序性，教師應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，利用生長式教學(xué)激發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維，從一點(diǎn)發(fā)散觸及其他，把握知識的體系。數(shù)學(xué)知識具有嚴(yán)密的邏輯性，知識內(nèi)部結(jié)構(gòu)聯(lián)系緊密。

教師要引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)知識在大腦里形成知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，感受數(shù)學(xué)的整體性。這就要求在組織教學(xué)內(nèi)容時(shí)加強(qiáng)知識之間的縱向與橫向聯(lián)系，讓學(xué)生多一點(diǎn)數(shù)學(xué)整體觀意識。

教師有創(chuàng)新精神，整體意識，擴(kuò)散的思維;學(xué)生才有積極主動的探索意識與能力。貌似大相徑庭的現(xiàn)實(shí)世界，實(shí)則殊途同歸的數(shù)學(xué)問題。

【參考文獻(xiàn)】

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（南京市浦口外國語學(xué)校，江蘇 南京 ?210000）