導(dǎo)數(shù)的概念在高職教學(xué)中的探究

王 江

摘? 要：事物都處于運(yùn)動變化之中，研究事物變化的快慢程度，即函數(shù)的變化率問題有著廣泛的意義。高職學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的理解大多停留在計算層面，對導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)和應(yīng)用不清，導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的物理意義和導(dǎo)數(shù)的單位是深入理解導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的三個重要方面。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù);瞬時變化率

導(dǎo)數(shù)的概念是在極限概念之后的又一重要概念，很多高職學(xué)生停留在對常用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算層面，對導(dǎo)數(shù)所表示的物理意義及其應(yīng)用一知半解，根據(jù)建構(gòu)主義理論，學(xué)生不能構(gòu)建導(dǎo)數(shù)的知識框架，就不能將導(dǎo)數(shù)遷移到專業(yè)課的學(xué)習(xí)中去。

一? 導(dǎo)數(shù)的概念

定義1[1]? 設(shè)函數(shù) 在點 的某個領(lǐng)域內(nèi)有定義，若極限

存在，則稱函數(shù) 在點 處可導(dǎo)，并稱該極限為函數(shù) 在點 處的導(dǎo)數(shù)，記作 或 。

定義2[1]? 若函數(shù)在區(qū)間 上每一點都可導(dǎo)（對區(qū)間端點，僅考慮相應(yīng)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)），則稱 為 上的可導(dǎo)函數(shù)。此時對每一個 ，都有 的一個導(dǎo)數(shù) 與之對應(yīng)。這樣就定義了一個在 上的函數(shù)，稱為 在 上的導(dǎo)函數(shù)，也稱為導(dǎo)數(shù)，記作 或 。即

二? 導(dǎo)數(shù)的幾點理解

1.導(dǎo)數(shù)概念的理解

平常所說的導(dǎo)數(shù)既指在某一點的導(dǎo)數(shù)，又指導(dǎo)函數(shù)，即上述的定義1與定義2，但這二者不同，導(dǎo)數(shù)是指在某一點的平均變化率的極限值，根據(jù)極限的唯一性，導(dǎo)在某一點的導(dǎo)數(shù)是一個確定的數(shù)值;而導(dǎo)函數(shù)是一個函數(shù)，每一個 ，都有唯一確定的一個導(dǎo)數(shù)值 與之對應(yīng)，符合函數(shù)的概念，由這種對應(yīng)法則構(gòu)成的關(guān)系稱為導(dǎo)函數(shù)。例如，函數(shù) 在 三點的導(dǎo)數(shù)值分別為 ，由這種對應(yīng)關(guān)系構(gòu)成的直線 為函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)。

2.導(dǎo)數(shù)的物理意義

在導(dǎo)數(shù)的教學(xué)中，一般會通過勻變速直線運(yùn)動的瞬時速度和已知曲線求切線兩個問題導(dǎo)出導(dǎo)數(shù)的概念，這兩個問題的共性都是先求出平均變化率（即 ），再求當(dāng) 時候的極限值，就得到瞬時變化率，即是導(dǎo)數(shù)的物理意義，也可以理解為物體在某一瞬間的快慢情形。相對而言，我們對平均速度好理解，對瞬時速度不易理解，我們可以以現(xiàn)實生活中汽車的車速表來幫助我們理解瞬時速度。例如，開車的瞬間，車速為 ，然后車子啟動，加速，最后車子減速，停車，車速表反映了車子在每個時刻的瞬時變化率。如果導(dǎo)數(shù)是正值，表示該函數(shù)在遞增，是個很大的正值，則表示急劇遞增，是個較小的正值，則表示緩慢遞增;如果導(dǎo)數(shù)是負(fù)值，表示該函數(shù)在遞減，是個很小的負(fù)值，則表示急劇遞減，是個較大的負(fù)值，則表示緩慢的遞減。[2]

3.導(dǎo)數(shù)的單位

既然導(dǎo)數(shù)有很強(qiáng)的物理意義，那么在用導(dǎo)數(shù)來表述其物理意義時，考慮函數(shù)的實際單位來理解導(dǎo)數(shù)的單位是必要的。理解導(dǎo)數(shù)的單位常常借助于導(dǎo)數(shù)的“微商”表示法： 。例如，生活中用的微波爐，將食物放入微波爐加熱時，食物的溫度 （ ）是時間 （單位： ）的函數(shù)，即 ，那么 的單位是什么呢？因為 表示的是食物的溫度變化率， 的單位是 ，時間 的單位是秒（ ），所以 的單位就是 。 就表示在食物加熱到? 時，其溫度的變化率為 ，即是當(dāng)時間 時，食物正以 的速度升溫。

導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中非常重要的一個概念，也是一個十分重要的數(shù)學(xué)模型，滲透到了各個領(lǐng)域。比如生物種群的生長率與死亡率、經(jīng)濟(jì)中的邊際函數(shù)等，應(yīng)用非常廣泛。在教學(xué)中，應(yīng)注重學(xué)生對導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的理解，不過分注重導(dǎo)數(shù)的計算，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，養(yǎng)成學(xué)生可持續(xù)性和創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社. 2010：92-94.

[2] 李以渝. 高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)分冊[M]. 北京： 北京理工大學(xué)出版社，2007：23.