圖形直觀在“函數(shù)及其表示”中的呈現(xiàn)

杜劍南 王鑫

[摘? ?要] 文章通過比較分析普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書人教A版與北師大版“函數(shù)及其表示”這一節(jié)的內(nèi)容，得出兩個(gè)版本的教科書在圖形直觀呈現(xiàn)方面有以下特點(diǎn)：都利用圖形直觀呈現(xiàn)“函數(shù)及其表示”的相關(guān)內(nèi)容，但是在函數(shù)概念的引入方式、函數(shù)的表示方法、函數(shù)概念的發(fā)展歷程、課后習(xí)題四個(gè)環(huán)節(jié)上的呈現(xiàn)各具特色。研究結(jié)論：人教A版與北師大版在“函數(shù)及其表示”一節(jié)中以圖形直觀呈現(xiàn)相關(guān)內(nèi)容; 圖形直觀呈現(xiàn)函數(shù)概念時(shí)內(nèi)容和位置不同;圖形直觀呈現(xiàn)映射概念時(shí)方式和內(nèi)容不同;圖形直觀呈現(xiàn)函數(shù)概念的發(fā)展歷程時(shí)視角不同;圖形直觀呈現(xiàn)課后題時(shí)內(nèi)容、形式和數(shù)量不同。

[關(guān)鍵詞]圖形直觀;函數(shù)及其表示;應(yīng)用;高中教材

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2020）03-0044-04

隨著“幾何直觀”在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的提出[1]，“直觀”的概念越來越受到人們的重視。對于數(shù)學(xué)直觀 ，M·克萊因認(rèn)為，“數(shù)學(xué)不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上”[2]。作為體現(xiàn)直觀的重要載體——教科書，成為研究者們的重要研究對象。教科書作為依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)生接受能力編寫的教學(xué)材料，是課程目標(biāo)與教學(xué)內(nèi)容的具體體現(xiàn)，在一定程度上決定了學(xué)生的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)和學(xué)業(yè)成就，函數(shù)概念在數(shù)學(xué)及中學(xué)數(shù)學(xué)課程中具有重要地位。自變量數(shù)學(xué)產(chǎn)生以來，函數(shù)概念一直處于數(shù)學(xué)的核心地位。德國數(shù)學(xué)家克萊茵（F.klein）稱函數(shù)為數(shù)學(xué)的靈魂。在整個(gè)函數(shù)教學(xué)過程中，又以函數(shù)概念為學(xué)校教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)中最難掌握的內(nèi)容。在此基礎(chǔ)上，本文提出從圖像和表格相結(jié)合的圖形直觀的概念著手，通過對教科書之間圖形直觀在引入函數(shù)概念、引入映射概念、闡述函數(shù)概念的發(fā)展歷程以及課后練習(xí)和習(xí)題四個(gè)部分呈現(xiàn)的特點(diǎn)的比較，進(jìn)一步強(qiáng)化數(shù)學(xué)課表中提出的直觀的概念，以引入圖形的表示方法來探究高中函數(shù)的教與學(xué)，為高中的“函數(shù)概念”教學(xué)提供參考和建議。

一、研究對象與方法

1.研究對象

研究對象為人教A版與北師大版教材中關(guān)于“函數(shù)及其表示”的內(nèi)容。比較的具體內(nèi)容見表1。

需要說明的是，人教A版教材中映射概念在“函數(shù)的表示法”中出現(xiàn)，而北師大版教材則通過獨(dú)立的小節(jié)引入映射概念。

2.研究方法

運(yùn)用比較研究法，從函數(shù)概念的引入、映射概念的引入、函數(shù)概念的發(fā)展歷程和課后練習(xí)和習(xí)題四個(gè)維度進(jìn)行研究分析，將教材中有關(guān)圖像和表格展示的部分提取出來，作為圖形直觀的例子進(jìn)行分析，從而揭示圖形直觀的不同呈現(xiàn)在函數(shù)概念內(nèi)容處理中的應(yīng)用。

二、研究結(jié)果與分析

1.兩個(gè)版本教科書在圖形直觀呈現(xiàn)方面存在共性

通過對兩個(gè)版本教科書中的圖像和表格進(jìn)行提取，可以明顯發(fā)現(xiàn)，不管是人教A版還是北師大版教材都利用圖像和表格的形式（即圖形直觀）來呈現(xiàn)“函數(shù)及其表示”這一節(jié)的內(nèi)容。

2.兩個(gè)版本教科書在圖形直觀呈現(xiàn)方面存在差異性

雖然兩版本教科書都利用圖形直觀呈現(xiàn)“函數(shù)及其表示”這一節(jié)的內(nèi)容，但是比較后發(fā)現(xiàn)，“函數(shù)概念引入方式”“映射概念的表達(dá)”“函數(shù)概念的發(fā)展歷程呈現(xiàn)”以及“課后練習(xí)和習(xí)題”在圖形直觀呈現(xiàn)時(shí)，在表現(xiàn)方式、圖表內(nèi)容、圖表數(shù)量、圖表位置（相應(yīng)概念的前后）以及闡述視角上都存在明顯的差異。

（1）圖形直觀在引入函數(shù)概念中的呈現(xiàn)

人教A版和北師大版教材利用圖形直觀呈現(xiàn)函數(shù)概念的方式見表2。

通過表2可以看出，人教A 版教材通過三個(gè)案例呈現(xiàn)函數(shù)的相關(guān)概念，呈現(xiàn)案例時(shí)加入了圖形直觀，值得注意的是人教A版在加入圖形直觀時(shí)所呈現(xiàn)的是學(xué)生熟悉的二次函數(shù)圖像。利用圖形直觀的表現(xiàn)形式主要為圖像與表格兩種，每個(gè)案例都有相應(yīng)的圖表展現(xiàn);函數(shù)概念的定義放在圖表案例之后。

北師大版教材則是先提出函數(shù)的相關(guān)概念，再呈現(xiàn)三個(gè)圖表案例，但是在熱力學(xué)溫度與攝氏度的關(guān)系這一案例中并沒有涉及圖形直觀;在利用圖形直觀的表現(xiàn)形式上，采用圖像與表格的兩種形式。值得注意的是，北師大版教材在呈現(xiàn)圖形直觀時(shí)，明確地提出三個(gè)案例都是初中物理當(dāng)中所學(xué)過的內(nèi)容。

（2）圖形直觀在引入映射概念中的呈現(xiàn)

人教A版和北師大版教材中映射概念的呈現(xiàn)如表3所示。

通過表3可以看出，人教A版教材在呈現(xiàn)映射概念時(shí)沒有利用圖形來理解映射概念，而是從函數(shù)的概念上理解映射的概念，并利用兩個(gè)生活中的案例加以說明，讓學(xué)生能夠在案例中理解“一一對應(yīng)”的關(guān)系。

北師大版教材則是利用了映射圖呈現(xiàn)映射概念，并且舉例形式更為多樣化，不僅加入了生活中的事例，還加入了集合的案例，讓學(xué)生在實(shí)際生活和數(shù)學(xué)中清晰體會(huì)映射的概念。

在內(nèi)容設(shè)置上人教A版教材有“思考”欄目，北師大版教材有“思考交流”欄目，這些欄目要么是為引入知識(shí)作鋪墊，要么是為鞏固知識(shí)服務(wù)。北師大版教材的欄目中也可看到圖形直觀的影子，說明圖形直觀可以幫助理解映射概念。

（3）圖形直觀在闡述函數(shù)概念發(fā)展歷程中的呈現(xiàn)

數(shù)學(xué)史作為傳播數(shù)學(xué)文化的重要載體，是新課標(biāo)下理解數(shù)學(xué)的一種新途徑。普通高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)）中指出，“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢。眾所周知，每個(gè)數(shù)學(xué)概念和公式的背后都有著它的故事，而且這些故事也能引發(fā)后人更多的猜想。人教A版和北師大版教材中闡述函數(shù)概念發(fā)展歷程的呈現(xiàn)如表4所示。

由表4可以看出，人教A 版和北師大版兩個(gè)版本的教材在闡述函數(shù)概念發(fā)展歷程中都未涉及圖形直觀的內(nèi)容，但是北師大版教材在“閱讀材料”這個(gè)欄目當(dāng)中揭示了函數(shù)概念的發(fā)展——從解析式到圖像到對應(yīng)關(guān)系。從中可以看出，圖像在函數(shù)概念的發(fā)展上起到了承前啟后的關(guān)鍵作用，也奠定圖形直觀在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)的基礎(chǔ)地位。人教A版教材則是先結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際案例，闡述函數(shù)產(chǎn)生和發(fā)展的背景，再利用數(shù)學(xué)家對函數(shù)變量的認(rèn)識(shí)將函數(shù)進(jìn)行反復(fù)的定義，最終用集合和對應(yīng)語言定義函數(shù)概念，與本節(jié)內(nèi)容相銜接，為學(xué)習(xí)者提供理論基礎(chǔ)。

（4） 圖形直觀在課后練習(xí)和習(xí)題中的呈現(xiàn)

習(xí)題是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中不可或缺的重要環(huán)節(jié)，是學(xué)生掌握知識(shí)、形成技能、發(fā)展能力的主要載體，也是提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決簡單實(shí)際問題能力的有效工具。人教A版和北師大版教材圖形直觀在課后練習(xí)和習(xí)題中的呈現(xiàn)如表5所示。

由表5可以看出，人教A版教材在函數(shù)概念這一節(jié)中未設(shè)置有關(guān)圖形直觀呈現(xiàn)的相關(guān)習(xí)題，但是在習(xí)題1.2中卻設(shè)置了7道有關(guān)圖形直觀呈現(xiàn)的題目。通過對比可以發(fā)現(xiàn)，題目利用不同的表現(xiàn)方式對初中和高中所學(xué)的函數(shù)圖像進(jìn)行考查，與此同時(shí)也利用函數(shù)圖像解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，展現(xiàn)了圖形直觀呈現(xiàn)方式的靈活性。北師大版教材設(shè)置了4道利用圖形直觀呈現(xiàn)的題目，在習(xí)題設(shè)置上明顯少于人教A版教材，在函數(shù)概念和映射的課后習(xí)題以及本節(jié)習(xí)題中也都設(shè)置了相應(yīng)的題目。除此之外，教科書還考查了學(xué)習(xí)者對映射圖的理解以及設(shè)置了如何利用表格求解定義域和值域的問題。

三、研究結(jié)論及建議

1.結(jié)論

通過比較分析普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書人教A版與北師大版“函數(shù)及其表示”這一節(jié)的內(nèi)容，圖形直觀的呈現(xiàn)情況如下。

（1）通過對比可以看出，兩個(gè)版本的教科書在設(shè)計(jì)“函數(shù)及其表示”這一節(jié)中，無論在概念的引入、映射的表示還是課后的練習(xí)題中，都呈現(xiàn)了相應(yīng)的圖像以及表格，也由此說明圖形直觀的呈現(xiàn)在“函數(shù)及其表示”中的重要性，應(yīng)該引起教學(xué)者和學(xué)習(xí)者的高度重視。

（2）人教A版與北師大版教材都采用不同圖形的例子呈現(xiàn)函數(shù)概念，但是在圖形的內(nèi)容以及圖形所在位置方面存在明顯的差異。雖然兩個(gè)版本教材都十分重視高中知識(shí)與初中知識(shí)的銜接，讓學(xué)生用熟悉的初中知識(shí)理解高中的概念，但在內(nèi)容上，北師大版教材與初中知識(shí)銜接更為緊密，并且與初中物理相結(jié)合，加強(qiáng)了學(xué)科之間的相互聯(lián)系。在圖形位置方面，人教A版教材將圖表放在函數(shù)概念的定義之前，體現(xiàn)“以形釋意”的過程，從圖形出發(fā)，理解函數(shù)概念;北師大版教材先提出函數(shù)的概念再引入圖表，體現(xiàn)先觀察后反思的過程，從函數(shù)概念出發(fā)，再通過相關(guān)圖形深化理解。

（3）在呈現(xiàn)映射概念的方式上，人教A版教材使用文字描述，而北師大版教材使用圖形加文字綜合描述，以圖形的方式可以直觀展現(xiàn)映射概念中的“一一對應(yīng)”關(guān)系。在呈現(xiàn)映射概念的內(nèi)容上，北師大版教材與人教A版所舉案例都跟生活實(shí)際相聯(lián)系，加入了之前所學(xué)的集合概念，使得學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)函數(shù)的概念時(shí)，與所學(xué)過的集合相聯(lián)系，讓學(xué)習(xí)者整體地認(rèn)識(shí)函數(shù)。

（4）人教A版與北師大版教材都注重對于數(shù)學(xué)史的應(yīng)用，但是在引入數(shù)學(xué)史的過程當(dāng)中，兩個(gè)版本的教材存在差異。相比較而言，人教A版教材的特點(diǎn)是在闡述函數(shù)概念的發(fā)展歷程時(shí)更為注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性和全面性，讓學(xué)生明白知識(shí)的來龍去脈。北師大版教材的特點(diǎn)則是注重利用數(shù)學(xué)史引發(fā)學(xué)生的閱讀興趣，從歷程這個(gè)大的方向，抽出一個(gè)有意思的篇目，讓學(xué)生明白為什么函數(shù)的概念會(huì)變成現(xiàn)在的“對應(yīng)關(guān)系”。

（5）函數(shù)概念本身就具有抽象性，利用圖形直觀在不同位置的不同呈現(xiàn)方式，可加深學(xué)習(xí)者對函數(shù)概念的理解。人教A版教材在“函數(shù)概念”后的練習(xí)題中并沒有涉及與圖形相關(guān)的問題，此外，在習(xí)題1.2中以初中及高中新學(xué)習(xí)的函數(shù)為題，讓學(xué)習(xí)者畫出以上函數(shù)的圖像，通過畫出相應(yīng)圖像，將新學(xué)習(xí)的知識(shí)與初中知識(shí)相聯(lián)系，提升學(xué)習(xí)者對函數(shù)的整體認(rèn)識(shí)。北師大版教材雖與人教A版教材相同，都選取了初中所學(xué)的知識(shí)，但是選取的內(nèi)容為梯形的面積（幾何角度），在形式上也加入了利用表格作圖的題目，使學(xué)習(xí)者能深刻體會(huì)函數(shù)概念。另一方面，在利用圖形直觀解決問題的題目數(shù)量上：人教A版教材在習(xí)題中共設(shè)置了8道與圖形相關(guān)的問題，明顯多于北師大版教材。

2.建議

（1）由于兩個(gè)版本的教材在“函數(shù)及其表示”一節(jié)中以圖形直觀呈現(xiàn)相關(guān)內(nèi)容，所以說明利用圖形直觀可以幫助學(xué)生理解函數(shù)的相關(guān)概念。因此，教師在講授這一部分內(nèi)容時(shí)，應(yīng)該加入更多圖形的相關(guān)案例，幫助學(xué)生理解函數(shù)的相關(guān)概念，從而達(dá)到圖形直觀的目的。

（2）在教學(xué)中可以嘗試多用初中所學(xué)的函數(shù)圖形呈現(xiàn)函數(shù)的概念。數(shù)學(xué)圖形是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一項(xiàng)重要內(nèi)容，合理地利用數(shù)學(xué)圖形也能從整體上提升學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。建議教師在呈現(xiàn)函數(shù)概念時(shí)，可以加入初中學(xué)過的具體函數(shù)，甚至以具體函數(shù)的圖形來認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念。這樣既可以提升學(xué)生對于函數(shù)概念的理解，又可以將初中與高中的知識(shí)進(jìn)行整合，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性。

（3）在教學(xué)中利用映射圖呈現(xiàn)映射概念，理解“一一對應(yīng)”。把映射生活化或圖表化的方法也是高中數(shù)學(xué)課程中需要學(xué)生掌握的方法，建議使用人教A版教材的教師在引入映射概念時(shí)，利用北師大版教材所設(shè)計(jì)的映射圖的方法，讓學(xué)生以圖形理解概念，體現(xiàn)圖形直觀在數(shù)學(xué)概念理解中的作用。

（4）在呈現(xiàn)函數(shù)概念的數(shù)學(xué)史中，應(yīng)加入具體函數(shù)圖形演變的過程。研究者建議在教科書修訂或教學(xué)中可以嘗試把兩種方式相結(jié)合來闡述函數(shù)概念的數(shù)學(xué)史。第一，數(shù)字引導(dǎo)法，把不能利用以前函數(shù)定義表示的函數(shù)單獨(dú)舉例出來，目的是使用具體數(shù)字的形式，讓學(xué)生能夠直觀感受到函數(shù)的定義，引發(fā)思考，也能對現(xiàn)在的函數(shù)定義有一個(gè)全面的認(rèn)識(shí)。第二，圖形描述法，即以列表、圖像以及解析式表示，把函數(shù)概念的演變以圖形的方式表示出來，目的是減少文字的敘述，提高學(xué)生的閱讀興趣;也能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的邏輯思維和函數(shù)概念的形成過程。圖形直觀對于函數(shù)概念的數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)，也有其獨(dú)特的意義。

（5）在課后練習(xí)題和習(xí)題的編寫及教學(xué)中加入與圖形相結(jié)合的習(xí)題的重要性不言而喻，數(shù)學(xué)題最能反映學(xué)生對所學(xué)知識(shí)的掌握程度，所以數(shù)學(xué)題的設(shè)置也要盡可能多地涉及前面所學(xué)的知識(shí)，但是以什么方式呈現(xiàn)才是我們需要解決的問題。通過對兩個(gè)版本教材的分析，研究者建議在教材編寫方面：更多地加入與前面所學(xué)概念相吻合的圖形問題。讓學(xué)生多動(dòng)手畫圖，提升對概念的理解。在教學(xué)方面：教師應(yīng)當(dāng)多給學(xué)生設(shè)置一些與圖形相關(guān)的問題和練習(xí)，讓學(xué)生可以直觀地、具體地理解“函數(shù)及其表示”這一節(jié)的概念內(nèi)容，一方面豐富了數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)化的內(nèi)容，另一方面也提高了學(xué)生利用圖形理解函數(shù)概念的能力。

綜上，通過對兩個(gè)版本的教材圖形直觀的呈現(xiàn)進(jìn)行比較，可以看出：圖形直觀的不同呈現(xiàn)方式，在函數(shù)概念教學(xué)中可以幫助學(xué)生理解抽象的概念，變抽象為具體，使得學(xué)生更為容易地理解抽象事物的特征，但最好選取學(xué)生所熟知的圖形，便于其理解。

[? 參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ]

[1]? 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北 京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]? M·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想（第四冊）[M].上海：上海科技出版社，1979.

[3]? 葉立軍，王曉楠.中美國高中數(shù)學(xué)教材比較研究—以“幾何概型”為例[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012（2）：49-52.

（責(zé)任編輯 諾? ?依）