代數(shù)學(xué)發(fā)展史概述

李扶蘇

摘要：隨著社會科技的不斷進(jìn)步發(fā)展，數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科逐漸被越來越多的人重視和關(guān)注。在數(shù)學(xué)學(xué)科中，代數(shù)學(xué)作為研究“數(shù)”的學(xué)科，與我們平時的生活工作息息相關(guān)，有著舉足輕重的地位。本文將對代數(shù)學(xué)發(fā)展史進(jìn)行簡要介紹，旨在幫助讀者了解代數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展過程。

關(guān)鍵詞：代數(shù)學(xué);線性代數(shù);行列式;矩陣;抽象代數(shù)

1 引言

如今，世界科技水平飛速提高。數(shù)學(xué)作為所有理工科的基礎(chǔ)學(xué)科，其重要性不言而喻。而代數(shù)學(xué)（algebra）因其以“數(shù)”為研究對象成為了數(shù)學(xué)的核心之一，是真正意義上的“數(shù)”學(xué)?！按鷶?shù)”原是研究數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)與數(shù)字方程的數(shù)學(xué)分支，它的中文名字是由我國清代數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯過來的，意為“以文字符號來代替數(shù)字的方法”。它與我們的生活密切相關(guān)。小到超市買菜結(jié)賬，大到物理化學(xué)的理論公式或重大世界難題，都離不開代數(shù)學(xué)作為理論基礎(chǔ)。若想充分理解其在科技領(lǐng)域中的價值，并將其運用在未來的科技發(fā)展之中，不妨縱觀其悠久的歷史，體味代數(shù)發(fā)展的途徑與規(guī)律。

代數(shù)學(xué)這一模塊主要分為三大部分：初等代數(shù)、高等代數(shù)和抽象代數(shù)。其中抽象代數(shù)是最晚形成的，約在十九世紀(jì)左右;而初等代數(shù)是最古老的，也是最基礎(chǔ)的，它起源于公元前的古希臘;高等代數(shù)則是對初等代數(shù)的補充和完善，就像愛因斯坦相對論對于牛頓力學(xué)的完善一樣，它將特殊規(guī)律化為了普遍規(guī)律。本文將主要對這三部分的發(fā)展史加以概述。

2 初等代數(shù)時期的發(fā)展

初等代數(shù)是數(shù)學(xué)里非常古老的一個重要分支，它希望通過更普遍的方法來研究數(shù)與量之間的關(guān)系。初等代數(shù)的研究方向是解決簡單的代數(shù)式和方程求解問題。

初等代數(shù)時期從公元前五、六世紀(jì)持續(xù)至開始建立高等數(shù)學(xué)的十六七世紀(jì)，約兩千年時間，是數(shù)學(xué)史上持續(xù)時間最長的一個階段。如果還要細(xì)分，可以大致分為幾何發(fā)展時期（公元前五、六世紀(jì)至公元二世紀(jì)）和代數(shù)優(yōu)先發(fā)展時期（公元二世紀(jì)至十七世紀(jì)）兩大時期[1]。

不難看出，幾何學(xué)的繁榮要早于代數(shù)學(xué)的發(fā)展。對幾何學(xué)做出最大貢獻(xiàn)的是古希臘人。初等代數(shù)的發(fā)展時期正好與希臘的繁榮時間（公元前七世紀(jì)至公元六世紀(jì)）相吻合。在此期間，歷史記錄了許多偉大的幾何學(xué)家，如歐幾里得及其主要研究圖形的面積與體積的著作《幾何原本》，對圓錐曲線有巨大貢獻(xiàn)的阿波羅尼斯等。幾何學(xué)在古希臘有了飛速的發(fā)展，但是流傳下來的著作并不多。其中包括阿基米德這個臨死前都在研究圓的男人，提出了拋物線和弓形面積的求法，阿波羅尼斯用圓錐曲線的思想定義了圓等等。即使古希臘人的遺產(chǎn)不多，大多也只是研究幾何問題，1000年后，英國的笛卡爾仍然靠著這些資料創(chuàng)立了解析幾何。

隨著希臘數(shù)學(xué)的終結(jié)，歐洲也進(jìn)入了中世紀(jì)，由于宗教和教會的原因，科學(xué)發(fā)展一度進(jìn)入了蕭條時期。這時，數(shù)學(xué)發(fā)展的重心從西方轉(zhuǎn)移到了東方，也就是印度、中國和中亞細(xì)亞地區(qū)。由于計算的需要，代數(shù)學(xué)優(yōu)先發(fā)展階段隨之到來。這個時期的數(shù)學(xué)家們主要忙于研究方程的求根問題和計數(shù)方法。印度人引進(jìn)了負(fù)數(shù)的概念，并發(fā)明了現(xiàn)代計數(shù)法。我國的學(xué)者也在研究低次方程的解法并取得成功。之后，中亞細(xì)亞的學(xué)者花剌子模對移項及消項這兩個數(shù)學(xué)方法進(jìn)行了闡述和解釋，并發(fā)明了“代數(shù)（Alegebra）”這個名稱。

到了文藝復(fù)興時期，歐洲科學(xué)有了復(fù)蘇的跡象。這時，歐洲人向阿拉伯人學(xué)習(xí)，并在十六世紀(jì)取得了超越以前的代數(shù)學(xué)成就。意大利人費拉里和塔爾塔利亞在一般形式上解決了三次方程及四次方程的求根問題。在十七世紀(jì)，代數(shù)學(xué)更是前所未有地飛速發(fā)展。年輕的數(shù)學(xué)家阿貝爾和伽羅華設(shè)法解決了五次方程代數(shù)解法不存在的結(jié)論。歐拉寫了《代數(shù)學(xué)引論》，將代數(shù)定義為關(guān)于字母的變換計算以及各種小量計算的理論。1614年英國人發(fā)明了對數(shù)。而關(guān)于以字母符號表示數(shù)字，在十六世紀(jì)的法國，維耶特最先用“a”和“b”來代替數(shù)字，之后由笛卡爾完善。這時，初等代數(shù)便向著下一個時期——高等代數(shù)邁進(jìn)了。

3 高等代數(shù)時期

隨著時間的推移，在笛卡爾、牛頓、萊布尼茨等卓越的數(shù)學(xué)家的鉆研推動下，初等代數(shù)向著更高的階段發(fā)展，高等代數(shù)誕生了。高等代數(shù)的兩大部分線性代數(shù)和多項式代數(shù)就是由初等代數(shù)的一次方程組和二次及以上的高次方程變形進(jìn)化而來的。所謂變形進(jìn)化，就是在初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上引入了新的概念和更加復(fù)雜高端的運算方法[2]。

3.1線性代數(shù)

眾所周知，一次方程的別名就叫線性方程，而討論線性方程的性質(zhì)及運算規(guī)律的代數(shù)就叫線性代數(shù)。在線性代數(shù)發(fā)展中誕生了兩個重要的概念：行列式和矩陣。

3.1.1行列式

行列式{det（A）}是一種速記的表達(dá)式，它起源于解線性方程組的需要，行列式并不是一種全新的概念，它只是一種使用便捷的數(shù)學(xué)計算工具。

行列式的誕生與一名偉大的數(shù)學(xué)家息息相關(guān)，他就是萊布尼茨（Leibniz）。在十七世紀(jì)末，萊布尼茨在線性方程組的研究上得到了重大突破。1693年，萊布尼茨運用分離系數(shù)法，首次提出了行列式的概念。在此基礎(chǔ)上，萊布尼茨對行列式進(jìn)行了進(jìn)一步研究，在18世紀(jì)建立了相應(yīng)的理論體系。50年后，數(shù)學(xué)家克萊姆提出了用行列式解決線性方程的方法，即后來的克萊姆法則。之后的數(shù)學(xué)家拉普拉斯對前人數(shù)學(xué)家范德蒙的結(jié)論加以研究，提出了他自己對于行列式展開的定理。

“行列式（detaminate）”一詞由大數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy）提出，他也是第一個將行列式加以應(yīng)用的人?？挛髟谑攀兰o(jì)前期（1810-1820）的一段時間對行列式做出了巨大貢獻(xiàn)。他不僅改良了拉普拉斯行列式展開定理，還研究了特征方程和二次型的轉(zhuǎn)化問題。在之后的幾十年里，英國的席勒韋斯特得到了線性定理和不變因子概念。席勒韋斯特創(chuàng)造了許多新的數(shù)學(xué)名詞，包括代數(shù)中的常用術(shù)語如不變式、判別式等。1841年，德國數(shù)學(xué)家雅克比發(fā)表題為《論行列式的形成與性質(zhì)》的論文，該論文代表著行列式相關(guān)理論已最終形成。十九世紀(jì)是行列式發(fā)展突飛猛進(jìn)的一年，這為之后行列式成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)乃至現(xiàn)代科學(xué)不可或缺的有力工具奠定了基礎(chǔ)[3]。

3.1.2矩陣

矩陣的誕生與行列式及線性方程組的研究有關(guān)，它是一種全新的數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)工具，有著廣泛的應(yīng)用，在代數(shù)學(xué)中有很重要的地位。

矩陣（matrix）的概念最早由席勒韋斯特于1848年提出，意為矩形數(shù)字陣列。在這之后，凱萊便運用矩陣對線性方程組問題進(jìn)行解答，提出了著名的Cayley Hamilton理論，即一個矩陣的平方就是它特征多項式的根。矩陣是從行列式發(fā)展而來的，它們之間也一直存在著聯(lián)系。公式det（AB）=det（A）det（B）為矩陣代數(shù)和行列式間提供了一種鏈接，數(shù)學(xué)家柯西更是給出了相似矩陣的概念。十九世紀(jì)也出現(xiàn)了著名的高斯消元法，它可以應(yīng)用初等變換解方程組。

矩陣的發(fā)展始終和線性變換密切相關(guān)。19世紀(jì)矩陣在線性變換理論中僅占有限的一部分，但到了20世紀(jì)中后期，矩陣被賦予了全新的含義，它可以被應(yīng)用到如今飛速發(fā)展的計算機領(lǐng)域中。于是矩陣作為處理離散問題的線性代數(shù)，成為從事科研和工程設(shè)計的科技人員必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[4]。

3.2多項式代數(shù)

3.2.1高次方程根的可解性

根據(jù)前文敘述，在初等代數(shù)時期，數(shù)學(xué)家們就已經(jīng)致力于解決四次及以上次方程根能否被解的問題。阿貝爾證明了：“若一個方程可以用根式解出，那么其中的根式是已知方程的根和單位根的有理系數(shù)的有理函數(shù)”，并指出一般情況下高于四次的代數(shù)方程根式解是不存在的。伽羅瓦則創(chuàng)新性地利用了“群”、“域”的方法徹底證明了這一點。

3.2.2代數(shù)基本定理——方程根的存在性

方程根的存在性定理即是“n次實系數(shù)或復(fù)系數(shù)方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)有n個根”，這條定理是非常基礎(chǔ)性的，也是方程根式嚴(yán)謹(jǐn)化、體系化的標(biāo)志。在十六、十七世紀(jì)左右，數(shù)學(xué)家們就對于方程根的數(shù)量和方程次數(shù)的關(guān)系進(jìn)行了很多猜測。雖然答案都八九不離十，但是完整嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明還要等到兩百年后的十九世紀(jì)。

在這中間，一些大數(shù)學(xué)家像拉格朗日、達(dá)朗貝爾和歐拉也對這個定理做了一些證明，但終究是不完善、不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。最終的證明是由高斯（Gauss）給出的。那時他年僅22歲，在證明了這個定理的同時他還指出了：“任一n次實系數(shù)多項式必能分解成一次或二次實系數(shù)因式的乘積”。這個證明只是高斯一生無數(shù)著作中的冰山一角，這也意味著高斯這個名字必將永久地閃耀在數(shù)學(xué)史的長河中。

4 抽象代數(shù)時期

抽象代數(shù)又稱近世代數(shù)（Modern algebra），是誕生于十九世紀(jì)的一門近代數(shù)學(xué)分支。人們普遍認(rèn)為抽象代數(shù)的創(chuàng)立者就是前文提到的伽羅瓦，因為他是第一個提出“群”的概念的數(shù)學(xué)家，而“群”正是抽象代數(shù)里的一個基礎(chǔ)性的重要分支。伽羅瓦因此使代數(shù)學(xué)從一個研究解方程的學(xué)科向著研究代數(shù)運算結(jié)構(gòu)的學(xué)科轉(zhuǎn)變。抽象代數(shù)在當(dāng)代數(shù)學(xué)中有著很重要的地位，已經(jīng)成為近當(dāng)代數(shù)學(xué)的一個基礎(chǔ)語言。

伽羅瓦不僅開創(chuàng)了抽象代數(shù)，還提出了“伽羅瓦域”、“伽羅瓦理論”、“伽羅瓦群”等概念，這些都是當(dāng)代數(shù)學(xué)研究中很重要的課題。這些概念可以應(yīng)用到初高等數(shù)學(xué)和幾何學(xué)中解決一些難題，如方程根式求解的條件，或是尺規(guī)作圖的判別法等。最重要的，這種方法是全新的，它不再拘泥于生硬地研究運算思維，而是用結(jié)構(gòu)觀念研究問題，這也使得抽象代數(shù)在后期能夠蓬勃發(fā)展。

二十世紀(jì)初，有一位杰出的女?dāng)?shù)學(xué)家，就是被稱為“代數(shù)女皇”的諾特。諾特在拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)幾何、代數(shù)數(shù)論等領(lǐng)域均有巨大影響。1920年，她就引入了“左右?！钡母拍?，并在之后創(chuàng)立了現(xiàn)代數(shù)學(xué)中“環(huán)”和“理想”的系統(tǒng)理論。1930年，畢爾霍夫創(chuàng)立了格論。二戰(zhàn)后，抽象代數(shù)發(fā)展得更加繁榮，1955年，三位數(shù)學(xué)家嘉當(dāng)、艾倫伯克和格羅欣狄克建立了同調(diào)代數(shù)理論[5]。

5 總結(jié)

本文對代數(shù)學(xué)發(fā)展史的三個階段：初等代數(shù)、高等代數(shù)及抽象代數(shù)進(jìn)行了簡要介紹。不難看出，整個代數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程是悠久漫長的，是循序漸進(jìn)的。形象地說，代數(shù)學(xué)的發(fā)展就好比研究一個事物，開始我們研究它的外貌結(jié)構(gòu)（靜止、常量），之后研究它的行為發(fā)展（運動、變量），到了最后我們提取出它最本質(zhì)的抽象概念（集合、規(guī)律）加以總結(jié)，提煉出我們想要的結(jié)論。在未來，代數(shù)學(xué)的理論也將繼續(xù)不斷完善，并在科技發(fā)展中扮演越來越重要的作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]姜效先.代數(shù)學(xué)發(fā)展史概述[J].河南財經(jīng)學(xué)院學(xué)報，1987（2）：71-74.

[2]諶躍中，張月蘭.代數(shù)學(xué)發(fā)展中的運算[J].湖南科技學(xué)院學(xué)報，2006，27（11）：31-33.

[3]王文省，房元霞.代數(shù)學(xué)史話[J].數(shù)學(xué)通報，2007，46（12）：49-53.

[4]鄭玉美.代數(shù)學(xué)簡史（一）[J].荊門職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，1999（3）：82-92.

[5]侯維民.淺談代數(shù)學(xué)發(fā)展的三個階段[J].天水師范學(xué)院學(xué)報，1995：11-15.