基于脫靶量級數(shù)解的最優(yōu)機(jī)動突防策略

王亞帆，周韜，陳萬春，赫泰龍

（北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100083）

基于脫靶量級數(shù)解的最優(yōu)機(jī)動突防策略

王亞帆，周韜，陳萬春*，赫泰龍

（北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100083）

摘 要：針對比例導(dǎo)引控制的攔截彈，建立高階制導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型，基于脫靶量級數(shù)解公式，對目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動突防策略及其影響因素進(jìn)行了研究。首先，針對攔截彈的制導(dǎo)系統(tǒng)為線性一階、線性高階時，目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動突防效果進(jìn)行了仿真分析，結(jié)果表明攔截彈彈體模型的準(zhǔn)確性對突防效果存在影響，高階系統(tǒng)對應(yīng)脫靶量更大且效果更真實；將結(jié)果與一次階躍機(jī)動和蛇形機(jī)動對比，發(fā)現(xiàn)最優(yōu)機(jī)動突防效果最佳。然后，建立彈目運動的二維非線性模型，仿真得出目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動產(chǎn)生的脫靶量曲線與線性系統(tǒng)吻合度較高，線性模型選取合適。最后，研究了有效導(dǎo)引比和剩余飛行時間估計誤差對最優(yōu)機(jī)動突防效果產(chǎn)生的影響，結(jié)果表明有效導(dǎo)引比估計誤差對最優(yōu)機(jī)動突防效果影響不大，剩余飛行時間估計誤差則會使目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動突防性能大幅下降，甚至部分情況比蛇形機(jī)動突防效果差。

關(guān) 鍵 詞：突防；最優(yōu)機(jī)動；脫靶量級數(shù)解；估計誤差；伴隨法；仿真分析

中圖分類號：V221＋.3；TB553

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1001-5965（2020）01-0159-11

DOI：10.13700／j.bh.1001-5965.2019.0135

伴隨法是一種計算機(jī)仿真分析與設(shè)計工具，在傳統(tǒng)上的解釋基于線性系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)［1］，主要運用于線性時變系統(tǒng)的性能分析［2-3］，能夠?qū)θ我鈺r刻的性能輸出進(jìn)行估計，提取顯示所有輸入對總性能輸出的貢獻(xiàn)信息，被廣泛應(yīng)用于導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)分析和設(shè)計中。比例導(dǎo)引是一種經(jīng)典的制導(dǎo)律，對于追蹤、截獲機(jī)動目標(biāo)十分有效，常應(yīng)用于雷達(dá)、紅外制導(dǎo)的導(dǎo)彈中［4-5］。

近年來，世界范圍內(nèi)，各主要國家積極推進(jìn)導(dǎo)彈防御系統(tǒng)裝備與技術(shù)的發(fā)展，加速攔截武器研制與部署［6］。同時，面對逐漸趨于精確化、全程化、網(wǎng)絡(luò)化發(fā)展的攔截系統(tǒng)，導(dǎo)彈突防技術(shù)也在穩(wěn)步跟進(jìn)，不斷注入新的內(nèi)涵與方法。如何有效突破尋的導(dǎo)彈的攔截布防，逐漸成為研究的熱點問題。針對目標(biāo)的機(jī)動突防策略，相關(guān)學(xué)者做著不同方面的研究，基本的突防措施可以概括為戰(zhàn)術(shù)突防措施、技術(shù)性措施，以提高導(dǎo)彈的射擊精度和殺傷力［7］。在技術(shù)性突防策略上，較為常見的目標(biāo)機(jī)動方式有階躍機(jī)動［2］、蛇形機(jī)動［8］、方波機(jī)動［9］和滾筒機(jī)動［10］等，它們都是通過控制目標(biāo)機(jī)動變軌，最終逃脫導(dǎo)彈攔截。但這些機(jī)動方式存在局限性和不穩(wěn)定性，并不能保持最佳的突防效果。

Shinar和Steinberg［11］基于二維線性化模型和最優(yōu)控制理論，分析了目標(biāo)最優(yōu)逃逸機(jī)動的控制形式是bang-bang控制且控制切換時刻與脫靶量的導(dǎo)數(shù)有關(guān)；對比分析了系統(tǒng)階數(shù)和制導(dǎo)時間常數(shù)對最優(yōu)機(jī)動效果的影響，同時推導(dǎo)得出了一階線性系統(tǒng)下目標(biāo)階躍機(jī)動產(chǎn)生脫靶量的解析解。隨后，遲澤晨等［12］以臨近空間的攻防態(tài)勢需求為背景，在二維平面內(nèi)基于極小值原理、高斯偽譜法對高階制導(dǎo)系統(tǒng)、攻防雙方時間常數(shù)比值等因素進(jìn)行研究，最終提出了一種對抗比例導(dǎo)引攔截器的最優(yōu)機(jī)動突防控制策略?？紤]到目標(biāo)對攔截彈

收稿日期：2019-04-01；錄用日期：2019-08-30；網(wǎng)絡(luò)出版時間：2019-09-12 15：51

信息估計存在誤差時，會對機(jī)動突防效果產(chǎn)生影響，Dhananjay

［13］

和Zhuang

［14］

等分別建立彈目交戰(zhàn)的二維、三維模型，推導(dǎo)得出了剩余飛行時間的估計公式，探討其對目標(biāo)突破比例導(dǎo)引制導(dǎo)導(dǎo)彈攔截效果的影響；Nesline和Zarchan

［5］

則分析對比了剩余飛行時間估計誤差存在時，經(jīng)典制導(dǎo)律和現(xiàn)代制導(dǎo)律的魯棒性、易用性等性能。但這些研究較難實現(xiàn)針對攔截彈為線性高階制導(dǎo)系統(tǒng)時，目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動突防的快速分析和求解。

本文針對高階線性化的比例導(dǎo)引攔截彈制導(dǎo)系統(tǒng)，結(jié)合脫靶量級數(shù)解公式，研究了目標(biāo)的最優(yōu)機(jī)動突防策略問題。首先，建立攔截彈制導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型，基于伴隨法和最優(yōu)控制理論，求解目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動突防策略和最大脫靶量公式；進(jìn)而，考慮到最優(yōu)機(jī)動突防策略的實用性，分析了攔截彈的階數(shù)、系統(tǒng)是否線性和有效導(dǎo)引比估計誤差、剩余飛行時間估計誤差對策略效果的影響，并將突防效果與目標(biāo)做階躍機(jī)動、蛇形機(jī)動對比。通過上述研究，為實際攻防作戰(zhàn)中，目標(biāo)有效快速地實現(xiàn)最佳突防提供有價值的參考。

1 目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動突防策略

1.1 比例導(dǎo)引制導(dǎo)的攔截彈一般高階系統(tǒng)線性化模型狀態(tài)空間描述

考慮平面內(nèi)導(dǎo)彈-目標(biāo)迎頭交戰(zhàn)模型，導(dǎo)彈采用比例導(dǎo)引制導(dǎo)律，即指令加速度nc＝NVcλ·（N為有效導(dǎo)引比；Vc為彈目接近速度；λ·為視線角變化率）。以一般的高階線性制導(dǎo)系統(tǒng)為例，傳遞函數(shù)可表示為

式中：αi、ξj和βj為各個環(huán)節(jié)特征參數(shù)系數(shù)；T為制導(dǎo)系統(tǒng)時間常數(shù)。傳遞函數(shù)G（s）包含Q1個一階環(huán)節(jié)和Q2個二階環(huán)節(jié)。將G（s）的分母展開為關(guān)于s的多項式可得

其中：Q＝Q1＋2Q2；λ0，λ1，…，λQ為多項式系數(shù)，由αi、ξj和βj唯一確定。

則該制導(dǎo)系統(tǒng)的線性化模型可以表示為如下狀態(tài)空間形式：

式中：t為當(dāng)前時間；x（t）為狀態(tài)向量；u（t）為控制輸入變量；r（t）為輸出變量；O表示相應(yīng)維數(shù)的零矩陣；tf為總飛行時間；A（t）、B（t）和C（t）為線性系統(tǒng)的系數(shù)矩陣，具體為

式中：y（t）為彈目相對距離在參考線垂直方向上的分量；nL（t）為導(dǎo)彈實際獲得加速度；（t）為nL（t）的一階至（Q－1）階導(dǎo)數(shù)；us（t）為單位階躍函數(shù)；nT為目標(biāo)階躍機(jī)動加速度幅值；y（tf）為脫靶量；N和tf均為常數(shù)。

為了討論方便，將階躍輸入轉(zhuǎn)化為脈沖輸入函數(shù)δ（t），引入新的狀態(tài)變量xu（t）＝us（t），利用單位階躍函數(shù)與δ（t）之間關(guān)系可得

系統(tǒng)（3）和系統(tǒng)（4）可分別等價擴(kuò)展為

式中：δu（t）為脈沖輸入函數(shù)。

1.2 伴隨法推導(dǎo)目標(biāo)階躍機(jī)動產(chǎn)生的脫靶量級數(shù)解

利用伴隨系統(tǒng)構(gòu)造原則［2］，可以得到線性系統(tǒng)（13）和系統(tǒng)（14）的伴隨系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為

式中：z（t）和zu（t）為伴隨系統(tǒng)的狀態(tài)向量；v（t）為伴隨系統(tǒng)的控制輸入；w（t）為伴隨系統(tǒng)的輸出變量。選取該伴隨系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，輸入v（t）＝δ（t），進(jìn)行伴隨仿真，此時伴隨系統(tǒng)展開等價于如下線性系統(tǒng)：

將式（17）～式（19）代入相應(yīng)的系數(shù)矩陣，可得到如下微分方程：

同時，伴隨系統(tǒng)與原線性系統(tǒng)輸出之間存在如下關(guān)系［2，15］：

式中：tgo為導(dǎo)彈的剩余飛行時間，即tgo＝tf－t。

則通過對伴隨系統(tǒng)狀態(tài)變量zu（t）的求解，即可得到原系統(tǒng)對應(yīng)脫靶量。

當(dāng)導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為一般高階系統(tǒng)，即時，參照文獻(xiàn)［16］，可將由目標(biāo)階躍機(jī)動引起的脫靶量解析表達(dá)式寫為如下冪級數(shù)形式：

式中：k為指數(shù)項衰減常數(shù)；n為需計算的項數(shù)；dn為各級數(shù)的待定系數(shù)。

式（26）的導(dǎo)數(shù)式為

式中：各級數(shù)的待定系數(shù)dn存在以下遞推關(guān)系：

當(dāng)n≥1時，有

其中：

式中：an、bn、cn、Bn和Pn均為各級數(shù)系數(shù)計算的中間變量；A和C及其上下標(biāo)分別表示排列數(shù)和組合數(shù)。

觀察冪級數(shù)公式（26）可知，指數(shù)項衰減常數(shù)k和計算項數(shù)n影響公式的收斂速度和計算精度。由文獻(xiàn)［16］可知，參數(shù)k的選取方案為：一階制導(dǎo)系統(tǒng)選取k＝1，Q階二項式系統(tǒng)選取k＝Q，對一般的高階系統(tǒng)選取

但考慮到公式的收斂速度，k取值一般不超過10。參數(shù)k選取后，計算項數(shù)n由級數(shù)收斂速度指標(biāo)變量ncr確定，即

式中：S1000（t）為前1001項的部分和，其為計算的精確解；Sn（t）為前（n＋1）項的部分和；ε為指定的計算精度。由式（31）可以看出，ncr取值越小越好，意味著級數(shù)解公式的收斂速度越快。

同時，脫靶量級數(shù)解公式的收斂半徑為無窮大［16］，故在仿真時間區(qū)間［0，tf］內(nèi)，可以用部分和Sn一致逼近脫靶量的真實解，且只要n足夠大，理論上可以以任意精度逼近。

1.3 最優(yōu)機(jī)動突防策略

現(xiàn)在考慮目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動突防問題，這里最優(yōu)指的是從目標(biāo)的角度出發(fā)，使脫靶量達(dá)到最大的目標(biāo)機(jī)動即為最優(yōu)機(jī)動。

將最優(yōu)機(jī)動突防問題抽象為最優(yōu)控制問題［17］：終端時間固定（tf已知），存在控制邊界約束，性能泛函為即期望導(dǎo)彈的脫靶量達(dá)到最大。

由Shinar和Steinberg［11］的推導(dǎo)過程可知，最優(yōu)機(jī)動突防控制問題中的協(xié)態(tài)變量等于目標(biāo)階躍機(jī)動脫靶量伴隨分析中伴隨狀態(tài)變量在時間推進(jìn)上反向變換，且控制形式為bang-bang控制。

則目標(biāo)機(jī)動突防時，其最優(yōu)控制可以表示為

或者表示為關(guān)于剩余飛行時間的函數(shù)：

由式（33）和式（34）可知，最優(yōu)突防機(jī)動控制切換函數(shù)的解析表達(dá)式正是目標(biāo)階躍機(jī)動的脫靶量導(dǎo)數(shù)，利用1.2節(jié)推導(dǎo)得出的脫靶量級數(shù)解公式計算導(dǎo)數(shù).w（t）的符號，就可以直接確定當(dāng)前最優(yōu)機(jī)動加速度的控制符號，進(jìn)而求得最優(yōu)控制切換時刻。再者，最優(yōu)機(jī)動突防的解u（t）可以表示為多個階躍輸入的線性組合，由線性系統(tǒng)輸入輸出的疊加原理，最優(yōu)機(jī)動產(chǎn)生的脫靶量可由各個階躍機(jī)動單獨作用引起的脫靶量線性疊加得到。

2 彈體模型準(zhǔn)確度對目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動突防策略效果的影響

基于1.2節(jié)的脫靶量級數(shù)公式和目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動突防控制表達(dá)式，考慮到攔截彈彈體模型選取的不同，會對目標(biāo)突防效果產(chǎn)生影響，故針對不同的導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)模型進(jìn)行仿真對比。

為更加直觀地對比目標(biāo)機(jī)動產(chǎn)生的突防效果，這里提出“突防成功百分比”的概念，即選定仿真的總飛行時間tf的變化范圍為［tf0，tfn］，如若在某一總飛行時間tfi下，目標(biāo)機(jī)動產(chǎn)生脫靶量的數(shù)值超過了突防成功標(biāo)準(zhǔn)線數(shù)值，則認(rèn)為突防成功。突防成功百分比為tf0）。突防成功百分比越大，則認(rèn)為目標(biāo)在選定的仿真時間段內(nèi)，機(jī)動突防的效果越佳。

2.1 假設(shè)攔截彈制導(dǎo)系統(tǒng)為一階模型時最優(yōu)機(jī)動突防策略的突防效果

針對一階系統(tǒng)的仿真，選取目標(biāo)階躍機(jī)動加速度nT＝29.4 m／s2，有效導(dǎo)引比N＝4，T＝1 s，tfmax＝10 s，指數(shù)衰減常數(shù)為k＝1。由脫靶量級數(shù)解的系數(shù)公式（29）可知，一階系統(tǒng)下，當(dāng)所取的計算項數(shù)n≥N－2，即n≥2時，dn≡0，級數(shù)解公式求得結(jié)果與伴隨仿真所得結(jié)果是完全一致的。

利用級數(shù)解公式仿真得到導(dǎo)彈脫靶量w（t）及其導(dǎo)數(shù).w（t）關(guān)于剩余飛行時間tgo的曲線；注意到bang-bang控制規(guī)律是依據(jù).w（t）的符號來確定的，從而得到最優(yōu)控制u（t）與飛行時間t的關(guān)系，如圖1所示。

結(jié)合圖1，最優(yōu)突防機(jī)動的解u（t）可表示為

最大脫靶量可表示為

進(jìn)而，分別取有效導(dǎo)引比N為3、4和5，得到最優(yōu)機(jī)動切換時刻tgo，對應(yīng)脫靶量輸出w（t）以及終點時刻（tf＝10 s）脫靶量Mmax，如表1所示。

圖1 一階系統(tǒng)目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動突防（N＝4）Fig.1 Target optimal maneuver penetration of first-order system（N＝4）

表1 一階系統(tǒng)最優(yōu)控制切換時刻及最大脫靶量Table 1 Op tim al control sw itching time and m axim um miss distance of first-order system

從表1可以看出，目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動突防bangbang控制切換次數(shù)與有效導(dǎo)引比N有關(guān)。實際上當(dāng)總飛行時間足夠長時，bang-bang切換次數(shù)等于脫靶量導(dǎo)數(shù).w（t）中多項式部分的實正零點個數(shù)，對于N為正整數(shù)情形，切換次數(shù)（實正零點個數(shù)）為N－2，且最大脫靶量的計算表達(dá)式與控制的正負(fù)值相關(guān)。

選擇目標(biāo)做階躍機(jī)動的加速度表達(dá)式為

式中：aT為加速度幅值，取29.4m／s2。

目標(biāo)做蛇形機(jī)動時［8］，機(jī)動是周期性進(jìn)行的，大大增加了目標(biāo)突防成功的幾率；當(dāng)機(jī)動頻率和制導(dǎo)系統(tǒng)時間常數(shù)的乘積在1附近時，產(chǎn)生的脫靶量最大。故選擇蛇形機(jī)動的頻率ωT為1 rad／s，表達(dá)式為

式中：t0為機(jī)動開始時刻，取0。

由式（35）的最優(yōu)控制表達(dá)式和式（36）的最大脫靶量表達(dá)式，仿真得到目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動產(chǎn)生的脫靶量隨飛行時間的變化關(guān)系，并將其與目標(biāo)做一次階躍機(jī)動（式（37））和蛇形機(jī)動（式（38））產(chǎn)生的脫靶量作對比，如圖2所示。

當(dāng)飛行總時間在［0，10］s內(nèi)變化時，假設(shè)以脫靶量10 m 作為突防成功的評判標(biāo)準(zhǔn)，可以看到，階躍機(jī)動和蛇形機(jī)動在整個時間段內(nèi)突防成功百分比為零；攔截彈為一階系統(tǒng)時，目標(biāo)做最優(yōu)機(jī)動突防成功百分比僅有38%，且所需的總飛行時間較長，整體來看突防效果不佳，但仍優(yōu)于階躍機(jī)動、蛇形機(jī)動情況。由此，考慮攔截彈模型的準(zhǔn)確性會對目標(biāo)機(jī)動突防效果產(chǎn)生影響，選取攔截彈制導(dǎo)系統(tǒng)為高階時進(jìn)行仿真研究。

圖2 一階系統(tǒng)目標(biāo)機(jī)動產(chǎn)生脫靶量對比曲線（N＝4）Fig.2 Miss distance contrast curves of first-order system for targetmaneuver（N＝4）

2.2 假設(shè)攔截彈制導(dǎo)系統(tǒng)為高階模型時最優(yōu)機(jī)動突防策略的突防效果

基于一階系統(tǒng)的仿真過程，取相同的仿真參數(shù)，針對系統(tǒng)傳遞函數(shù)為五階二項式，即G1（s）＝1／（1＋0.2s）5的情況。由式（30）、式（31）取指數(shù)項衰減常數(shù)為k＝5，計算導(dǎo)彈脫靶量級數(shù)公式的前80項和，仍以N＝4為例，得到級數(shù)解與伴隨仿真結(jié)果的對比曲線如圖3所示。

由圖3可得，級數(shù)解結(jié)果與伴隨仿真結(jié)果完全重合，按式（30）、式（31）所選取的參數(shù)合適，且計算精度高。

進(jìn)而將目標(biāo)做最優(yōu)機(jī)動的突防效果，與其做階躍機(jī)動、蛇形機(jī)動進(jìn)行對比，如圖4所示。

對于導(dǎo)彈的制導(dǎo)系統(tǒng)為五階二項式時，可得到同式（35）的目標(biāo)最優(yōu)控制表達(dá)式，按此控制做最優(yōu)機(jī)動產(chǎn)生的突防效果最佳。以脫靶量10 m作為突防成功標(biāo)準(zhǔn)時，最優(yōu)機(jī)動突防成功百分比為91.4%，階躍機(jī)動和蛇形機(jī)動的突防成功百分比分別為47.7%和75.8%；以脫靶量30 m作為突防成功標(biāo)準(zhǔn)時，3種機(jī)動方式的突防成功百分比分別為76%、0%和42.2%；最優(yōu)機(jī)動突防效果明顯。極限來看，當(dāng)總飛行時間為2 s甚至更小時，階躍機(jī)動產(chǎn)生的脫靶量幾乎和最優(yōu)機(jī)動一致；在總飛行時間較大時（≥4 s），蛇形機(jī)動的脫靶量明顯大于階躍機(jī)動，且與最優(yōu)機(jī)動相對差別較小，但其性能不穩(wěn)定。

圖3 五階二項式系統(tǒng)目標(biāo)階躍機(jī)動產(chǎn)生脫靶量級數(shù)解與伴隨仿真結(jié)果對比曲線Fig.3 Contrast curves between miss distance power series solutions of fifth-order binomial system due to target step maneuver and adjoint simulation results

圖4 五階二項式系統(tǒng)目標(biāo)機(jī)動產(chǎn)生脫靶量對比曲線Fig.4 M iss distance contrast curves of fifth-order binomial system for targetmaneuver

對比圖2和圖4可知，設(shè)定目標(biāo)的機(jī)動幅值相同，面對導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)階數(shù)不同時，產(chǎn)生的突防效果有明顯差異，高階系統(tǒng)的脫靶量要遠(yuǎn)大于低階系統(tǒng)，且目標(biāo)突防成功百分比較大。

為使問題研究更加準(zhǔn)確，對彈體模型仿真更為精確，選擇導(dǎo)彈的制導(dǎo)系統(tǒng)為各環(huán)節(jié)時間常數(shù)不同和帶有一個二次多項式環(huán)節(jié)（其表達(dá)式分別為式（39）、式（40），系數(shù)取值如表2所示）的情況［2］，分別進(jìn)行仿真。針對導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G2（s）、G3（s）時，選取級數(shù)解的指數(shù)項衰減常數(shù)為k＝9，計算項數(shù)為n＝80。所得導(dǎo)彈脫靶量級數(shù)解結(jié)果與伴隨仿真結(jié)果對比曲線如圖5所示。發(fā)現(xiàn)級數(shù)解與伴隨仿真結(jié)果完全吻合，計算精度高。

將導(dǎo)彈的制導(dǎo)系統(tǒng)為上述3種高階模型下，目標(biāo)做最優(yōu)機(jī)動時，所產(chǎn)生的脫靶量進(jìn)行對比，如圖6所示。

表2 傳遞函數(shù)系數(shù)Table 2 Transfer function coefficient

圖5 高階系統(tǒng)目標(biāo)階躍機(jī)動產(chǎn)生脫靶量級數(shù)解與伴隨仿真結(jié)果對比曲線Fig.5 Contrast curves between miss distance power series solutions of high-order system due to target step maneuver and adjoint simulation results

圖6 高階系統(tǒng)目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動脫靶量對比曲線Fig.6 Miss distance contrast curves of high-order systems for target optimal maneuver

導(dǎo)彈的制導(dǎo)系統(tǒng)分別為上述3種形式時，目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動產(chǎn)生的脫靶量與飛行時間的關(guān)系變化趨勢類似，這是由于各情況下總的時間常數(shù)相同，均為T＝1 s。但同一時刻下，各曲線對應(yīng)脫靶量值不同，以總飛行時間tf＝10 s為例，3種制導(dǎo)系統(tǒng)對應(yīng)的脫靶量分別為88.84、80.58、66.33 m?？梢钥闯?，若導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)為五階二項式形式，仿真所得結(jié)果較為樂觀，目標(biāo)更易突防成功，隨著導(dǎo)彈模型復(fù)雜程度提高，目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動突防效果逐漸變差，說明真實的導(dǎo)彈模型對目標(biāo)威脅性更大。極限來看，當(dāng)總飛行時間為2 s以內(nèi)時，3種制導(dǎo)系統(tǒng)下，目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動產(chǎn)生的脫靶量相差微小。

2.3 攔截彈制導(dǎo)系統(tǒng)為線性與非線性時最優(yōu)機(jī)動突防策略的效果

本文的理論推導(dǎo)和實例仿真都是將系統(tǒng)簡化為線性系統(tǒng)進(jìn)行的，而實際的導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)是一個十分復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，在應(yīng)用中需要考慮一些微小狀態(tài)量的變化對目標(biāo)突防性能的影響。

由此，建立導(dǎo)彈、目標(biāo)運動的二維非線性模型［2］。RT1、RM1分別為目標(biāo)、導(dǎo)彈的運動距離在水平軸上的分量，RT2、RM2分別為目標(biāo)、導(dǎo)彈的運動距離在垂直軸上的分量，VT1、VM1分別為目標(biāo)、導(dǎo)彈的速度在水平軸上的分量，VT2、VM2分別為目標(biāo)、導(dǎo)彈的速度在垂直軸上的分量，其導(dǎo)數(shù)式為

式中：σ為目標(biāo)速度與坐標(biāo)系x軸負(fù)方向的夾角；λ為視線角；nc為導(dǎo)彈的指令加速度。

進(jìn)而，彈目的相對距離RTM，接近速度Vc，視線變化率λ·，剩余飛行時間tgo，導(dǎo)彈的指令加速度nc的表達(dá)式為

式中：下標(biāo)TM 表示目標(biāo)的相應(yīng)變量減去導(dǎo)彈的相應(yīng)變量；下標(biāo)1、2分別表示變量在x軸、y軸的投影。

則最終導(dǎo)彈的脫靶量為

仍以導(dǎo)彈的有效導(dǎo)引比N＝4為例，五階非線性系統(tǒng)（傳遞函數(shù)為G3（s））基于上述彈目間的幾何運動關(guān)系以及文獻(xiàn)［1］中的非線性碰撞三角形進(jìn)行仿真。選取彈目的仿真參數(shù)如表3所示。得到線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動產(chǎn)生的脫靶量與總飛行時間的關(guān)系曲線如圖7所示。

導(dǎo)彈的制導(dǎo)系統(tǒng)為非線性，選取目標(biāo)機(jī)動控制切換時刻與線性系統(tǒng)相同時，產(chǎn)生的脫靶量隨飛行時間的變化趨勢同線性系統(tǒng)基本一致，且數(shù)值接近，誤差較小，說明線性模型在目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動問題的研究上有較高精確度，模型選取合適。

表3 彈目仿真參數(shù)Table 3 Sim u lation parameter of missile and target

圖7 線性最優(yōu)機(jī)動和非線性最優(yōu)機(jī)動脫靶量對比Fig.7 M iss distance comparison between linear and nonlinear optimal maneuver

觀察到在最大的總飛行時間范圍內(nèi)（tf＝9～10 s），線性、非線性系統(tǒng)的脫靶量存在相對較大的偏差，這是因為利用RTM／Vc來估算剩余飛行時間tgo會存在舍入誤差，切換時刻發(fā)生時可能不是真實最優(yōu)。再者，仿真運行至該時刻，目標(biāo)已完成兩次機(jī)動，脫靶量為最終的線性疊加結(jié)果，誤差也隨之發(fā)生了疊加。但這些偏差不影響曲線的整體變化趨勢。

3 攔截彈信息估計不準(zhǔn)確對目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動突防策略效果的影響

在實際的彈目作戰(zhàn)中，目標(biāo)需要利用導(dǎo)引頭或告警裝置較為準(zhǔn)確地探測到來襲導(dǎo)彈的距離、速度等參數(shù)信息，如此才能使突防達(dá)到更好的效果，順利逃脫導(dǎo)彈的打擊。而雷達(dá)或紅外探測裝置往往易受到外界環(huán)境的影響，使得到的探測信息不準(zhǔn)確，響應(yīng)不及時，最優(yōu)的切換時刻較難把握。

3.1 估計攔截彈的有效導(dǎo)引比存在誤差

針對比例導(dǎo)引制導(dǎo)的導(dǎo)彈，制導(dǎo)指令中的有效導(dǎo)引比N是一個常值系數(shù)，其取值大小直接影響系統(tǒng)穩(wěn)定性［18］；同時結(jié)合2.1節(jié)的分析，其影響最優(yōu)控制切換點的個數(shù)和時刻的選取。因此，對攔截彈的有效導(dǎo)引比估計準(zhǔn)確性直接影響目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動突防的效果。

基于2.2節(jié)的仿真，假設(shè)目標(biāo)通過告警系統(tǒng)探測，認(rèn)為攔截彈的有效導(dǎo)引比N＝4，從而計算出最優(yōu)的機(jī)動切換時刻tgo1＝1.82 s，tgo2＝4.94 s，實現(xiàn)最佳突防。而實際上目標(biāo)對來襲導(dǎo)彈信息的估計存在偏差，研究有效導(dǎo)引比估計誤差存在時，對目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動性能的影響，如圖8所示。

圖8中，橫坐標(biāo)為攔截彈真實的有效導(dǎo)引比，縱坐標(biāo)為目標(biāo)按照攔截彈N＝4計算所得機(jī)動突防策略所產(chǎn)生的對應(yīng)末端時刻脫靶量。觀察發(fā)現(xiàn)，有效導(dǎo)引比估計誤差存在時，當(dāng)總飛行時間較小，目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動產(chǎn)生的脫靶量與有效導(dǎo)引比呈線性負(fù)相關(guān)；當(dāng)總飛行時間較大時，二者關(guān)系呈拋物線變化。若誤差大致控制在±0.3左右時，對目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動突防的效果影響不大；若超出這個范圍，則突防性能不穩(wěn)定，脫靶量會有小范圍上升趨勢，但整體呈下降分布，原因是目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動切換次數(shù)和切換時刻的選擇與攔截彈的有效導(dǎo)引比有關(guān)，當(dāng)存在較大的估計誤差時，此時的最優(yōu)切換時刻并不是真實最優(yōu)的，通過線性疊加，脫靶量值較最優(yōu)機(jī)動存在上下波動。

圖8 有效導(dǎo)引比存在估計誤差時目標(biāo)機(jī)動產(chǎn)生脫靶量Fig.8 Target maneuver miss distance when effective navigation ratio estimation error exists

而蛇形機(jī)動的突防效果仍差于即使最優(yōu)機(jī)動有效導(dǎo)引比存在估計誤差的情況，且突防效果不穩(wěn)定。相對來說，有效導(dǎo)引比估計誤差存在時，對目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動突防性能影響不大，在2種突防成功標(biāo)準(zhǔn)線限定下，最優(yōu)機(jī)動能實現(xiàn)100%的突防成功百分比。

3.2 估計剩余飛行時間存在誤差

注意到目標(biāo)最優(yōu)突防機(jī)動式（33）中需要知道導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)時間常數(shù)T（或帶寬）和當(dāng)前的剩余飛行時間tgo，二者共同影響最優(yōu)機(jī)動控制切換時刻的選取。時間常數(shù)T的存在是由于制導(dǎo)系統(tǒng)各個環(huán)節(jié)在實際中會存在時間延遲，較難做到立即響應(yīng)，該值會直接影響脫靶量的大小。而目標(biāo)通常不能準(zhǔn)確得到這兩者的信息。

本節(jié)考慮T和tgo存在估計誤差時，目標(biāo)依然使用式（33）進(jìn)行機(jī)動，來研究這些誤差對機(jī)動突防性能（脫靶量）的影響。實際上，這些估計誤差將會導(dǎo)致bang-bang控制切換時間發(fā)生變化，是tgo／T整體在起作用。本節(jié)算例中取制導(dǎo)系統(tǒng)時間常數(shù)為T＝1 s，只考慮tgo對估計誤差的影響，有效導(dǎo)引比取N＝4，目標(biāo)階躍機(jī)動加速度幅值仍取nT＝29.4m／s2。

考慮如下形式估計剩余飛行時間：

式中為估計剩余飛行時間；tgo為實際剩余飛行時間；esf為標(biāo)度系數(shù)誤差；eb為零偏誤差。這里主要研究esf和eb對機(jī)動突防性能的影響，且只考慮2個參數(shù)的變化不同時發(fā)生的情況。此時目標(biāo)仍采用最優(yōu)突防機(jī)動的表達(dá)式，只是估計的剩余飛行時間，即目標(biāo)的機(jī)動規(guī)律變?yōu)?/p>

針對2.2節(jié)中制導(dǎo)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為G3（s）進(jìn)行分析。基于伴隨系統(tǒng)，仿真得到脫靶量輸出w（t），導(dǎo)數(shù)以及最優(yōu)機(jī)動的bang-bang控制規(guī)律u（t）如圖9所示。圖中的曲線穿過“0軸”2次，故多項式存在2個零點，結(jié)合式（34）可知，目標(biāo)最優(yōu)控制要經(jīng)過2次切換，切換時刻分別為第1.82 s和第4.95 s。

圖9 高階系統(tǒng)目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動突防（G3（s），N＝4）Fig 9 Target optimal maneuver penetration of high-order system（G3（s），N＝4）

當(dāng)估計剩余飛行時間存在標(biāo)度系數(shù)誤差時，適當(dāng)選取esf的變化范圍為［0.6，1.6］，飛行總時間tf＝10 s，得到目標(biāo)做最優(yōu)機(jī)動時，各誤差系數(shù)對應(yīng)的導(dǎo)彈脫靶量，如圖10所示。進(jìn)而，選取樣本點esf為0.8，1.3，設(shè)定仿真總飛行時間在［0，10］s變化，得到脫靶量結(jié)果如圖11所示；最優(yōu)控制切換時刻取值及tf＝10 s時的脫靶量如表4所示。

圖10 目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動脫靶量關(guān)于剩余飛行時間標(biāo)度系數(shù)誤差的曲線Fig.10 Curves of target optimal maneuver miss distance relative to scale factor error of time to go

圖11 標(biāo)度系數(shù)誤差存在時目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動產(chǎn)生脫靶量Fig.11 Target optimal maneuver miss distance when scale factor error exists

表4 標(biāo)度系數(shù)誤差變化時目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動產(chǎn)生脫靶量（t f＝10 s）Table 4 Target optimal maneuver miss distance when scale factor error changes（t f＝10 s）

當(dāng)估計剩余飛行時間存在零偏誤差時，選擇eb的變化范圍為［－0.6，0.8］，飛行總時間為tf＝1 0 s，得到目標(biāo)做最優(yōu)機(jī)動時，各誤差系數(shù)對應(yīng)的導(dǎo)彈脫靶量，如圖12所示。選取eb為－0.3，0.7，仿真總飛行時間在［0，10］s變化，得到目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動產(chǎn)生的脫靶量如圖13所示；最優(yōu)控制切換時刻取值和tf＝10 s時對應(yīng)脫靶量如表5所示。

圖10和圖12，分別給出了總飛行時間一定，目標(biāo)采用最優(yōu)機(jī)動突防策略產(chǎn)生的脫靶量關(guān)于標(biāo)度系數(shù)誤差esf和零偏誤差eb的曲線?？梢钥闯?，估計剩余飛行時間中，這2個誤差的存在都會使目標(biāo)機(jī)動突防性能下降，當(dāng)tgo準(zhǔn)確時，最優(yōu)機(jī)動突防產(chǎn)生脫靶量達(dá)到66.33 m，而當(dāng)esf＝1.4或eb＝0.8時，脫靶量都接近于40m；當(dāng)誤差系數(shù)在esf＝1或eb＝0（即不存在誤差的情況）附 近小范圍變化時，對最終脫靶量的結(jié)果影響較小，誤差尚可接受。

圖12 目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動脫靶量關(guān)于剩余飛行時間零偏誤差的曲線Fig.12 Curve of target optimal maneuver miss distance relative to bias error of time to go

圖13 零偏誤差存在時目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動產(chǎn)生脫靶量Fig.13 Target optimal maneuver miss distance when bias error exists

表5 零偏誤差變化時目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動產(chǎn)生脫靶量（t f＝10 s）Table 5 Target optimal maneuver miss distance when bias error changes（t f＝10 s）

圖11、圖13以及表4、表5，給出了存在不同剩余飛行時間估計誤差下，目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動突防引起的脫靶量關(guān)于總飛行時間的曲線。當(dāng)估計剩余飛行時間的標(biāo)度系數(shù)誤差esf和零偏誤差eb存在時，得到的脫靶量都要小于最優(yōu)機(jī)動情形（無估計剩余飛行時間誤差）。原因在于這些估計誤差將會導(dǎo)致bang-bang控制切換時間發(fā)生變化，得到的bang-bang機(jī)動并不是最優(yōu)的。將剩余飛行時間存在估計誤差與目標(biāo)做蛇形機(jī)動的情況對比，發(fā)現(xiàn)一般誤差存在下，最優(yōu)機(jī)動的脫靶量還總是大于蛇形機(jī)動的；但誤差較大時（例如esf＝1.3或eb＝0.7），蛇形機(jī)動在某些總飛行時間下（例如2、5、8 s附近）的突防效果反而更佳。故針對誤差存在時，削弱最優(yōu)機(jī)動突防效果情況的出現(xiàn)，一方面，目標(biāo)需要提高其上如導(dǎo)引頭等探測裝置的探測精度；另一方面，如存在無法克服的探測誤差且數(shù)值較大時，可適當(dāng)選擇不需要剩余飛行時間信息的蛇形機(jī)動作為機(jī)動突防形式。

4 結(jié) 論

本文研究了攔截彈為比例導(dǎo)引制導(dǎo)時，目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動突防策略及其影響因素的問題：

1）攔截彈的制導(dǎo)系統(tǒng)為一般線性高階時，基于脫靶量級數(shù)解公式進(jìn)行仿真分析，提高了計算效率，且實用性、通用性更強(qiáng)。

2）目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動突防效果受導(dǎo)彈模型準(zhǔn)確性影響。導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)為高階時，目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動產(chǎn)生脫靶量較大，突防成功百分比高；當(dāng)制導(dǎo)系統(tǒng)傳遞函數(shù)形式更復(fù)雜時，脫靶量反而較小，說明真實攔截彈模型對目標(biāo)的威脅性更大。導(dǎo)彈模型選為線性時，仿真較非線性結(jié)果吻合度較高，模型選取合適。

3）目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動控制切換次數(shù)和切換時刻受攔截彈有效導(dǎo)引比N影響，且主要取決于剩余飛行時間tgo。目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動突防效果對有效導(dǎo)引比估計誤差不十分敏感，對剩余飛行時間估計誤差較為敏感且隨著誤差增大目標(biāo)突防性能大幅下降。

4）目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動突防效果優(yōu)于同等仿真條件下的一次階躍機(jī)動、蛇形機(jī)動。但在總飛行時間較小時，階躍機(jī)動突防性能與最優(yōu)機(jī)動基本無差；在存在剩余飛行時間估計誤差時，蛇形機(jī)動要優(yōu)于某些最優(yōu)機(jī)動。因此，目標(biāo)可根據(jù)實際作戰(zhàn)情況選擇合適的機(jī)動策略，實現(xiàn)最佳突防。

作者簡介：

王亞帆 女，碩士研究生。主要研究方向：導(dǎo)彈制導(dǎo)與控制。

周韜 男，碩士，副教授，碩士生導(dǎo)師。主要研究方向：導(dǎo)彈總體設(shè)計與仿真、導(dǎo)彈制導(dǎo)與控制。

陳萬春 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師。主要研究方向：飛行力學(xué)、導(dǎo)彈制導(dǎo)與控制。

Optimal maneuver penetration strategy based on power series solution of miss distance

WANG Yafan，ZHOU Tao，CHEN Wanchun*，HE Tailong
（School of Astronautics，Beihang University，Beijing 100083，China）

Abstract：Aimed at the proportional guidance missile，the state space model of high-order guidance system was established，and the optimal maneuver penetration strategy and influencing factors were studied based on power series solution of miss distance.First，when the missile guidance system was linear first-order and high-order，the simulations of optimal target maneuver penetration were carried out.The results show that the accuracy of the missile guidance model has an impact on the penetration effect，and the high order has larger miss distance and is more realistic.Then，the results were compared with step maneuver and weaving maneuver，the optimal maneuver penetration effect is the best.Furthermore，a two-dimensional nonlinear missile-target engagement model was established，and the simulation shows that the miss distance curve of optimal maneuver is highly identical with the linear system，and the linear system is selected appropriately.Finally，the impacts of effective navigation ratio and time-to-go estimation error on the optimal maneuver penetration effect were studied.The effective navigation ratio estimation error has little effect on the optimal maneuver penetration effect，the time-to-go estimation error makes the target optimal maneuver penetration performance decline greatly，and in some cases it is even worse than the weaving maneuver penetration effect.

Key words：penetration；optimal maneuver；power series solution of miss distance；estimation error；adjoint method；simulation analysis

Received：2019-04-01；

Accepted：2019-08-30；

Published on line：2019-09-12 15：51

URL：kns.cnki.net／kcms／detail／11.2625.V.20190912.1514.001.html

*Corresponding author.E-mail：wanchun＿chen