一般三階非線性常微分方程的正周期解

鄧正平, 李永祥

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 蘭州 730070)

0 引 言

考慮一般三階常微分方程:

Lu(t)=f(t,u(t),u′(t),u″(t)),t∈

(1)

正2π-周期解的存在性, 其中:Lu(t)=u?(t)+a2u″(t)+a1u′(t)+a0u(t)是三階常微分算子,ai∈,i=0,1,2;f:×[0,∞)×2→[0,∞)連續(xù),f(t,x,y,z)關(guān)于t以2π為周期.

三階微分方程在力學(xué)、 核物理、 邊界層理論等實(shí)際問題中應(yīng)用廣泛, 周期現(xiàn)象也普遍存在.目前, 關(guān)于三階非線性周期問題解的存在性研究已有很多結(jié)果[1-10]：文獻(xiàn)[2]研究了三階微分方程

u?(t)+ρ3u(t)=f(t,u(t)), 0≤t≤2π

(2)

u?(t)+h(t)u(t)=f(t,u(t)), 0≤t≤2π

(3)

的周期邊值問題, 運(yùn)用錐上的Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理, 獲得了方程(3)正解的存在性結(jié)果.其中:h: [0,2π]→[0,∞)連續(xù), 且為非負(fù)函數(shù).文獻(xiàn)[5]研究了三階非奇異非線性微分方程

u?(t)+αu″(t)+βu′(t)=f(t,u(t)),t∈[0,2π],

(4)

其中α,β為正常數(shù), 在滿足特定的條件下, 用錐上的Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理獲得了方程(4)正周期解的存在性結(jié)果.文獻(xiàn)[9]研究了完全三階微分方程

u?(t)=f(t,u(t),u′(t),u″(t)),t∈,

(5)

其中f:×[0,∞)×2→連續(xù), 關(guān)于t以ω為周期, 用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理獲得了方程(5)正周期解的存在性結(jié)果.

受上述研究結(jié)果的啟發(fā), 本文運(yùn)用錐上的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論, 考慮非線性項(xiàng)f中含有u′,u″的三階常微分方程(1), 在非線性項(xiàng)f滿足特定的增長(zhǎng)條件下, 把方程(1)的正2π-周期解問題轉(zhuǎn)化為錐上的不動(dòng)點(diǎn)問題, 再應(yīng)用錐上的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論獲得了方程(1)正2π-周期解的存在性結(jié)果.

1 預(yù)備知識(shí)

記C2π()是以2π為周期的全體連續(xù)函數(shù)按范數(shù)構(gòu)成的Banach空間.對(duì)?n∈, 記()是以2π為周期的n階連續(xù)可微函數(shù)全體按范數(shù)構(gòu)成的Banach空間.記()是C2π()中的非負(fù)函數(shù)錐.記P(λ)=λ3+a2λ2+a1λ+a0為微分算子L的特征多項(xiàng)式, N(P(λ))表示P(λ)在復(fù)平面上的零點(diǎn)集.P(λ)滿足假設(shè)條件:

(H1)N(P(λ))?{z∈||Imz|<1/2}.

引理1[11]假設(shè)條件(H1)成立, 且a0>0, 則三階線性邊值問題:

(6)

存在唯一解r(t)∈C3[0,2π], 且對(duì)?t∈[0,2π],r(t)>0.

設(shè)h∈C2π(), 考慮線性微分方程

Lu(t)=h(t),t∈

(7)

正2π-周期解的存在性.

引理2假設(shè)條件(H1)成立, 且a0>0, 則對(duì)?h∈C2π(), 線性方程(7)存在唯一的2π-周期解

(8)

其中

(9)

為相應(yīng)的Green函數(shù), 且解算子S:C2π()()為線性全連續(xù)算子.

證明：對(duì)?h∈C2π(), 易驗(yàn)證式(8)為線性方程(7)唯一的2π-周期解u∶=Sh.由式(8),(9), 易見解算子S:C2π()()為線性有界算子.由嵌入映射()()的緊性可知,S:C2π())為線性全連續(xù)算子.證畢.

根據(jù)式(9), 有

(10)

定義正常數(shù)σ,C1,C2如下:

(11)

(12)

對(duì)?t∈, 由于u(i)(t)=G(i)(t,s)h(s)ds(i=1,2), 從而

故u∈K.證畢.

下面考慮非線性方程(1)的正2π-周期問題.設(shè)f:×[0,+∞)×2→[0,∞)連續(xù).對(duì)?u∈K, 令

F(u)(t)∶=f(t,u(t),u′(t),u″(t)),t∈,

(13)

(14)

由算子S的定義, 方程(1)的正2π-周期解等價(jià)于A的非平凡不動(dòng)點(diǎn).由引理3, 有:

引理4假設(shè)條件(H1)成立, 且a0>0, 則由式(14)定義的算子A:K→K為全連續(xù)算子.

2 主要結(jié)果

假設(shè)條件：

(H2)存在ε∈(0,a0)且δ>0, 使得當(dāng)|(x,y,z)|<δ時(shí)，f(t,x,y,z)≤(a0-ε)x;

(H3)存在ε>0且H>0, 使得當(dāng)|(x,y,z)|>H時(shí)，f(t,x,y,z)≥(a0+ε)x;

(H4)存在ε>0且δ>0, 使得當(dāng)|(x,y,z)|<δ時(shí)，f(t,x,y,z)≥(a0+ε)x;

(H5)存在ε∈(0,a0)且H>0, 使得當(dāng)|(x,y,z)|>H時(shí)，f(t,x,y,z)≤(a0-ε)x.

定理1假設(shè)條件(H1)成立, 且a0>0,f:×[0,+∞)×2→[0,∞)連續(xù),f(t,x,y,z)關(guān)于t以2π為周期, 若f滿足假設(shè)條件(H2),(H3), 則方程(1)至少有一個(gè)正2π-周期解.

(15)

(16)

因?yàn)閡0∈Ω1∩K, 由K和Ω1的定義, 有

(17)

因此, 由條件(H2), 有

(18)

由式(16)和式(18), 有

(19)

對(duì)式(19)在[0,2π]上積分, 并由u0(t)的2π-周期性, 有

(20)

i(A,Ω1∩K,K)=1.

(21)

另一方面, 由條件(H3), 存在ε1>0和H>0, 使得

f(t,x,y,z)≥(a0+ε1)x,t∈, |(x,y,z)|>H.

(22)

令C0=max{|f(t,x,y,z)-(a0+ε1)x|:t∈, |(x,y,z)|≤H}+1, 由式(22), 有

f(t,x,y,z)≥(a0+ε1)x-C0,t∈.

(23)

(24)

因?yàn)閡1∈?Ω2∩K, 由K的定義, 有

(25)

由式(23), 有

(26)

由式(24),(26), 有

(27)

對(duì)式(27)在[0,2π]上積分, 并由u1(t)的2π-周期性, 有

(28)

取R>max{R1,δ}, 則‖u1‖C2≤R1

i(A,Ω2∩K,K)=0.

(29)

由不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)的區(qū)域可加性及式(21),(29), 有

定理2假設(shè)條件(H1)成立, 且a0>0,f:×[0,+∞)×2→[0,∞)連續(xù),f(t,x,y,z)關(guān)于t以2π為周期, 若f滿足假設(shè)條件(H4),(H5), 則方程(1)至少有一個(gè)正2π-周期解.

(30)

因?yàn)閡0∈Ω1∩K, 由K和Ω1的定義,u0滿足式(17), 且由條件(H4), 有

(31)

由式(30),(31), 有

(32)

對(duì)式(32)在[0,2π]上積分, 并由u0的2π-周期性, 有

(33)

i(A,Ω1∩K,K)=0.

(34)

另一方面, 由條件(H5), 存在ε1∈(0,a0)和H>0, 使得

f(t,x,y,z)≤(a0-ε1)x,t∈, |(x,y,z)|>H.

(35)

(36)

因?yàn)閡1∈?Ω2∩K, 由K的定義,u1滿足式(25), 則有

所以有

從而由式(35), 有

(37)

由式(36),(37), 有

(38)

對(duì)式(38)在[0,2π]上積分, 并由u1(t)的2π-周期性, 有

(39)

i(A,Ω2∩K,K)=1.

(40)

由不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)的區(qū)域可加性及式(34),(40), 有

例1考慮如下三階微分方程:

u?(t)+0.3u″(t)+0.092 5u′(t)+0.007 25u(t)=u2(t)+(u′(t))2+(u″(t))2,t∈.

(41)

相應(yīng)于方程(1), 對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式為

P(λ)=λ3+0.3λ2+0.092 5λ+0.007 25=(λ+0.1-0.25i)(λ+0.1+0.25i)(λ+0.1),

滿足假設(shè)條件(H1), 方程(41)相應(yīng)于方程(1)的非線性項(xiàng)為f(t,x,y,z)=x2+y2+z2, 易驗(yàn)證滿足條件(H2),(H3).由定理1, 三階微分方程(1)至少有一個(gè)正2π-周期解.

例2考慮如下三階微分方程:

(42)

相應(yīng)于方程(1), 對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式為

P(λ)=λ3-0.1λ2+0.052 5λ+0.007 25=(λ-0.1-0.25i)(λ-0.1+0.25i)(λ+0.1),