重疊和分組函數(shù)的分配性方程求解

吳 濤, 趙 彬

(陜西師范大學 數(shù)學與信息科學學院, 西安 710119)

1 預備知識

定義1[11]設LI={[x1,x2]|(x1,x2)∈[0,1]2,x1≤x2}, 規(guī)定[x1,x2]≤LI[y1,y2]?x1≤y1∧x2≤y2.

若x∈LI, 則記x1=l(x),x2=r(x), 即x=[x1,x2], 這里l(x),r(x)分別指x=[x1,x2]的第一個端點和第二個端點.易證(LI,≤LI)是完備格, 且0LI=[0,0], 1LI=[1,1].

定義2[18]U上的區(qū)間值模糊集是映射A:U→LI.

記U=[0,1]?,={[a,b]|0≤a≤b≤1}.

定義3[19]若二元函數(shù)O: [0,1]2→[0,1]滿足交換性、 遞增性、 連續(xù)性,O(x,y)=1當且僅當x=y=1,O(x,y)=0當且僅當x=0∨y=0, 則稱O是重疊函數(shù).

定義4[19]若二元函數(shù)G: [0,1]2→[0,1]滿足交換性、 遞增性、 連續(xù)性,G(x,y)=0當且僅當x=y=0,G(x,y)=1當且僅當x=1∨y=1, 則稱G是分組函數(shù).

定義5中的1,0分別是1LI=[1,1], 0LI=[0,0], 在不易混淆的情況下可簡寫為1,0.類似地, 可給出區(qū)間值分組函數(shù)的定義.由文獻[11]中t-可表示三角模的定義, 下面給出可表示的區(qū)間值重疊函數(shù)的定義, 可表示的區(qū)間值分組函數(shù)的定義可類似給出.

定理1[16]設g: [0,1]→[0,1],h: [0,1]→[0,1]是兩個單調(diào)遞增的連續(xù)函數(shù), 且g是嚴格的, 則如下兩個條件等價:

1)(g,h)是重疊函數(shù)Og,h的乘法生成元對, 其中Og,h(x,y)=g(h(x)h(y));

2)h,g滿足條件: ①h(x)=0?x=0; ②h(x)=1?x=1; ③g(x)=0?x=0; ④g(x)=1?x=1.

定理2[16]設s: [0,1]→[0,1],t: [0,1]→[0,1]是兩個單調(diào)遞減的連續(xù)函數(shù), 且s是嚴格的, 則如下兩個條件等價:

1)(s,t)是分組函數(shù)Gs,t的乘法生成元對, 其中Gs,t(x,y)=s(t(x)t(y));

2)t,s滿足條件: ①t(x)=0?x=1; ②t(x)=1?x=0; ③s(x)=0?x=1; ④s(x)=1?x=0.

2 乘法Cauchy函數(shù)方程

定理3[2]設D是集合(0,1),[0,1),(0,1]或者[0,1], 則對連續(xù)函數(shù)f:D→, 下列兩個條件等價:

1)對任意的x,y∈D,f滿足乘法Cauchy函數(shù)方程f(xy)=f(x)f(y);

2)f=0或f=1, 或?qū)θ我獾膞∈D, 存在一常數(shù)c∈使得f(x)=xc.若0∈D, 則c>0.

引理1[7]設X={(x1,x2)∈[0,1]2|x1≤x2},f:X→[0,1]是一連續(xù)函數(shù), 則下列兩個條件等價:

1)對任意的(x1,x2),(y1,y2)∈X,f滿足函數(shù)方程

f(x1·y1,x2·y2)=f(x1,x2)·f(y1,y2);

(1)

2)對任意的(x1,x2)∈X,f有下列5種形式：

①f=0;

②f=1;

存在唯一的c∈(0,∞), 使得:

存在唯一的c1,c2∈(0,∞), 使得：

由引理1可得:

引理2設X*={(x1,x2)∈[0,1]2|x1≥x2},g:X*→[0,1]是一連續(xù)函數(shù), 則下列兩個條件等價:

1)對任意的(x1,x2),(y1,y2)∈X*,g滿足函數(shù)方程

g(x1·y1,x2·y2)=g(x1,x2)·g(y1,y2);

(2)

2)對任意的(x1,x2)∈X*,g有下列5種形式：

①g=0;

②g=1;

存在唯一的c∈(0,∞), 使得:

存在唯一的c1,c2∈(0,∞), 使得：

3 蘊涵算子基于可表示的重疊和分組函數(shù)的分配律

下面先給出經(jīng)典情形下蘊涵算子基于重疊和分組函數(shù)分配性方程的解, 其中重疊和分組函數(shù)由乘法生成元對生成, 然后在推廣的相應區(qū)間值下, 給出蘊涵算子基于可表示的重疊和分組函數(shù)分配性方程的解.

命題1設O: [0,1]2→[0,1]是由(g,h)嚴格乘法生成的重疊函數(shù),G: [0,1]2→[0,1]是由(s,t)嚴格乘法生成的分組函數(shù),I: [0,1]2→[0,1]是一個連續(xù)函數(shù), 且滿足對任意的z∈[0,1],I(0,z)=1, 則下列條件等價：

1)對任意的x,y,z∈[0,1], 三元組(O,G,I)滿足

I(G(x,y),z)=O(I(x,z),I(y,z));

(3)

2)對任意固定的z∈[0,1],I(x,z)具有如下形式之一:

① 對任意的x∈[0,1],I(x,z)=1;

② 對任意的x∈[0,1], 存在一遞減連續(xù)函數(shù)c(z)>0滿足c(1)=0, 使得I(x,z)=g((s-1(x))c(z))=h-1((t(x))c(z)), 規(guī)定00=1.

證明: 1)?2).由已知O(x,y)=g(h(x)h(y)),G(x,y)=s(t(x)t(y)), 代入式(3)可得

I(s(t(x)t(y)),z)=g(h(I(x,z))h(I(y,z))).

(4)

令Iz(x)=I(x,z),u=t(x),v=t(y),fz=g-1°Iz°s,gz=h°Iz°t-1.由式(4)可得

fz(uv)=gz(u)gz(v).

(5)

由I滿足I(0,z)=1可得

gz(1)=h°Iz°t-1(1)=h°I(0,z)=h(1)=1.

于是可得fz=gz.從而對任意的u,v∈[0,1],fz(uv)=fz(u)fz(v).由定理3乘法Cauchy函數(shù)方程有fz=g-1°Iz°s=1, 化簡得I(x,z)=1或fz(u)=uc(z), 即g-1°Iz°s(u)=uc(z), 化簡得I(x,z)=g((s-1(x))c(z)), 再結(jié)合fz=gz, 則

I(x,z)=g((s-1(x))c(z))=h-1((t(x))c(z)),

由引理1知c(z)>0.

2)?1).

① 若I(x,z)=1, 則由重疊函數(shù)的定義可得I(G(x,y),z)=O(I(x,z),I(y,z)).

② 若I(x,z)=g((s-1(x))c(z))=h-1((t(x))c(z)), 則

命題2設Oi: [0,1]2→[0,1]是由(gi,hi)(i=1,2)嚴格乘法生成的重疊函數(shù),I: [0,1]2→[0,1]是一個連續(xù)函數(shù), 且滿足對任意的x∈[0,1],I(x,1)=1, 則下列條件等價：

1)對任意的x,y,z∈[0,1], 三元組(O1,O2,I)滿足

I(x,O1(y,z))=O2(I(x,y),I(x,z))；

(6)

2)對任意固定的x∈[0,1],I(x,y)具有下列形式之一:

① 對任意的y∈[0,1],I(x,y)=1;

證明: 1)?2).由已知O1(y,z)=g1(h1(y)h1(z)),O2(y,z)=g2(h2(y)h2(z)), 代入式(6)可得

I(x,g1(h1(y)h1(z)))=g2(h2(I(x,y))h2(I(x,z))).

(7)

fx(uv)=gx(u)gx(v).

(8)

由I滿足I(x,1)=1可得

由引理2知c(x)>0.

2)?1).

① 若I(x,y)=1, 由重疊函數(shù)的定義可得I(x,O1(y,z))=O2(I(x,y),I(x,z)).

1)令g1(x)=g2(x)=x,c(x)=x, 可得Yager模糊蘊涵I(x,y)=yx;

結(jié)合定理1和定理2易得以下結(jié)論: 若O1不恒等于O2, 則O1≤O2?g1≤g2∧h1≤h2.類似結(jié)論對分組函數(shù)也成立; 若G1不恒等于G2, 則G1≤G2?s1≤s2∧t1≥t2.下面考慮重疊函數(shù)和分組函數(shù)不恒相等的情形, 給出區(qū)間值模糊集中下列兩類方程的解.規(guī)定00=1.

3.1 第一類方程

第一類方程為

(9)

式(9)可化簡為

從而

對任意的固定的[z1,z2]∈LI, 記

式(10),(11)可化簡為

由Oi(x1,y1)=gi(hi(x1)hi(y1)),Gi(x1,y1)=si(ti(x1)ti(y1))(i=1,2), 式(12)可化簡為

令t1(x1)=u1,t2(x2)=u2,t1(y1)=v1,t2(y2)=v2, 有

令

其中u1,u2∈[0,1],u1≥u2.則

由

(14)

類似地,

(15)

其中

方程(14)的解分別有下列4種可能的情形：

存在唯一的常值cz,dz∈(0,∞), 使得:

(18)

方程(15)的解有下列4種可能的情形：

存在唯一的常值ez,fz∈(0,∞), 使得:

(19)

或存在唯一的常值cz,dz,ez,fz∈(0,∞), 使得:

(20)

由于

由于

3.2 第二類方程

第二類方程為

(21)

方程(21)可化簡為

從而

對任意的固定的[x1,x2]∈LI, 記

(22)

(23)

式(22),(23)可化簡為

(24)

(25)

由Oi(y1,z1)=gi(hi(y1)hi(z1))(i=1,2,3,4), 式(24)可化簡為

令h1(y1)=u1,h2(y2)=u2,h1(z1)=v1,h2(z2)=v2, 則

令

(26)

(27)

其中u1,u2∈[0,1],u1≤u2, 則

由于

(28)

類似地, 有

(29)

其中u1≤u2,v1≤v2,

(30)

(31)

存在唯一的常值cx,dx∈(0,∞), 使得:

(32)

存在唯一的常值ex,fx∈(0,∞), 使得:

(33)

或存在唯一的常值cx,dx,ex,fx∈(0,∞), 使得:

4 重疊和分組函數(shù)之間的分配性

下面解決由Santos等[15]提出的關于重疊和分組函數(shù)分配性方程的問題: 是否存在不同于Omin的任意的冪等重疊函數(shù)O, 使得對單位元為 0 的任意的分組函數(shù)G對O可分配; 若不成立, 是否存在不同于Omin的一個冪等重疊函數(shù)O, 使得單位元為0的一個分組函數(shù)G對O可分配.類似的問題為對不同于Gmax的冪等分組函數(shù)G, 使得單位元為1的重疊函數(shù)O是否對G可分配.

定理4設O是不同于Omin的任意的冪等重疊函數(shù),G是單位元為0的任意的分組函數(shù).若G對O分配, 則這樣的重疊函數(shù)O不存在.

證明: 假設存在一個不同于Omin的冪等重疊函數(shù)O, 對單位元為0的任意的分組函數(shù)G, 若G對O分配, 則

G(x,O(y,z))=O(G(x,y),G(x,z)).

(34)

以下所有的情形都成立:

若x=0, 代入式(34)得G(0,O(y,z))=O(y,z)=O(G(0,y),G(0,z)), 則式(34)成立.

情形1)若y=0∨z=0, 由式(34)的結(jié)構(gòu)可知, 情形是對稱的, 下面考慮y=0, 則

x=G(x,0)=G(x,O(0,z))=O(G(x,0),G(x,z))=O(x,G(x,z)),

其中x,z∈[0,1].

情形2)當x=0∨z=0∨x=1時, 式x=O(x,G(x,z))成立.當z=1時,x=O(x,1).若x≤y, 則x=O(x,x)≤O(x,y)≤O(x,1)=x, 即O(x,y)=min{x,y}.類似的結(jié)果對y≤x也有O(x,y)=min{x,y}.這與O不同于Omin矛盾.故這樣的重疊函數(shù)O不存在.

定理5設O是不同于Omin的一個冪等重疊函數(shù),G是單位元為0的一個分組函數(shù).若G對O分配, 則這樣的重疊函數(shù)O不存在.

證明: 假設存在一個不同于Omin的冪等重疊函數(shù)O, 由已知得G(x,O(y,z))=O(G(x,y),G(x,z)).取y=0, 化簡得

x=G(x,0)=G(x,O(0,z))=O(G(x,0),G(x,z))=O(x,G(x,z)),

即x=O(x,G(x,z)).由分組函數(shù)G有單位元0, 有G(x,z)≥G(x,0)=x, 結(jié)合G是連續(xù)的, 引入記號mx,z=G(x,z), 且mx,z≥x,x=O(x,mx,z), 再結(jié)合O是交換的, 可知對任意的x,y∈[0,1],O(x,y)=min{x,y}.于是這樣的重疊函數(shù)O不存在.

同理可得：

定理61)設G是不同于Gmax的任意的冪等分組函數(shù),O是單位元為1的任意的重疊函數(shù).若O對G分配, 則這樣的分組函數(shù)G不存在.

2)設G是不同于Gmax的一個冪等分組函數(shù),O是單位元為1的一個重疊函數(shù).若O對G分配, 則這樣的分組函數(shù)G不存在.

綜上可見, 本文一方面給出了經(jīng)典情形以及區(qū)間值模糊集中蘊涵算子關于重疊函數(shù)和分組函數(shù)的兩類分配性方程的解, 所得結(jié)果可視為是蘊涵算子基于t-可表示的冪零三角模(三角余模)分配性方程的相關推廣.另一方面, 本文否定解決了關于重疊和分組函數(shù)分配性方程的問題.