在問題中引領(lǐng) 在變式中提升

章禮滿

[摘? 要] 圖形面積的最大值是“二次函數(shù)與一元二次方程”的一個(gè)重要內(nèi)容，也是一個(gè)難點(diǎn)，在常態(tài)的教學(xué)過程中，如何通過問題和問題鏈來引領(lǐng)學(xué)生的思維生長，如何通過課堂的變式來促進(jìn)學(xué)生能力的提升是教師需要重點(diǎn)研究的關(guān)鍵點(diǎn). 筆者結(jié)合文章談?wù)勅绾瓮ㄟ^問題和變式達(dá)成良好的教學(xué)效果.

[關(guān)鍵詞] 問題;變式;思維;圖形面積的最大值;教學(xué)策略

在深入踐行核心素養(yǎng)落地生根的過程中，我們要不斷挖掘數(shù)學(xué)的學(xué)科價(jià)值和學(xué)科魅力，加強(qiáng)學(xué)科素養(yǎng)中關(guān)鍵能力的進(jìn)階滲透. 在二次函數(shù)的教學(xué)過程中，我們需要注重二次函數(shù)與一元二次方程的融合應(yīng)用，在應(yīng)用中促進(jìn)學(xué)生對相應(yīng)知識與技能的掌握，也通過教學(xué)環(huán)節(jié)的變通與實(shí)踐，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的落地生根.

■ 價(jià)值剖析，挖掘?qū)W科價(jià)值

在二次函數(shù)與一元二次方程的融合應(yīng)用中，我們需要將二次函數(shù)與一元二次方程的價(jià)值和共性進(jìn)行挖掘和剖析，讓學(xué)生在分析與對比中再次對二次函數(shù)和一元二次方程進(jìn)行自發(fā)的鞏固與復(fù)習(xí)，并在教師的引領(lǐng)下達(dá)成學(xué)以致用. 比如，以“長方形和窗戶透光最大面積問題”為例，在分析與對比中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，將模型思想再次植入學(xué)生的思維習(xí)慣之中，讓數(shù)學(xué)思想引領(lǐng)學(xué)生的思維生長，也讓學(xué)生在真正的應(yīng)用中深刻感受數(shù)學(xué)應(yīng)用的價(jià)值，學(xué)會分析和表示不同背景下實(shí)際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并運(yùn)用二次函數(shù)的知識解決實(shí)際問題.

在這個(gè)環(huán)節(jié)中，教師需要在教學(xué)活動實(shí)施前進(jìn)行充分的剖析和挖掘，需要搜集相應(yīng)的應(yīng)用類的情境、模型、數(shù)據(jù)等，另一方面要進(jìn)行巧妙的情境創(chuàng)設(shè)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)欲望隨之生長，達(dá)成學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力的充分激發(fā). 這樣的價(jià)值剖析、魅力彰顯，能有效地提高教學(xué)內(nèi)容的價(jià)值，促進(jìn)學(xué)習(xí)效能的提升.

■ 例題漸析，問題引領(lǐng)生長

學(xué)習(xí)不是一蹴而就的，而是循序漸進(jìn)的，尤其在新授課的過程中，教師在備課的過程中要充分分析學(xué)情與學(xué)材，明晰二者的關(guān)系將會真正引領(lǐng)學(xué)生的思維生長，促進(jìn)學(xué)生能力的提升. 在這節(jié)課的教學(xué)過程中，筆者采用典型例題的逐漸剖析，以及問題鏈的形式來啟發(fā)學(xué)生的思維，采用追問、反問、駁問、曲問等形式，讓學(xué)生的思維隨著問題的內(nèi)容而迂回曲折，真正達(dá)成能力與思維的并進(jìn). 比如，筆者在這節(jié)課中選擇了如下一道經(jīng)典例題，來幫助學(xué)生達(dá)成對相應(yīng)內(nèi)容的突破.

例1? 如圖1，矩形ABCD在直角三角形內(nèi)，AB和AD分別在兩直角邊上.

（1）設(shè)AB=x cm，那么AD邊的長度如何表示？

（2）設(shè)矩形ABCD的面積為y m2，當(dāng)x取何值時(shí)，y的最大值是多少？

在例題的揭秘過程中，讀題、剖析題目是第一位的，在這種基礎(chǔ)之上，讓學(xué)生去做、去分析是至關(guān)重要的. 我們采用如下問題來突破.

問題1：已知兩條直角邊分別是30 cm和40 cm，你還知道哪個(gè)量？

問題2：圖形有幾個(gè)三角形，這些三角形又是什么關(guān)系？

問題3：如果AB=x ，那么x與兩條直角邊之間是什么關(guān)系？

問題4：BC=AD，要求AD與x的關(guān)系，是否可以先求BC與x的關(guān)系？

在此，第一個(gè)問題鏈也就輕松建構(gòu)起來，學(xué)生可以通過剖析圖形找到相似三角形的關(guān)系，結(jié)合已知邊的大小，建構(gòu)已知量與x的關(guān)系，問題迎刃而解. 而解決第（2）問也是本題的關(guān)鍵所在，我們同樣可以采用下面的問題鏈來突破.

問題1：矩形ABCD的面積怎么求？

問題2： AD=■已經(jīng)知道，那么面積能否用關(guān)于x的等式來表示呢？

問題3：設(shè)面積為y m2，那y和x的表達(dá)式能表示嗎？

問題4：y和x的表達(dá)式是一個(gè)二次函數(shù)，你能把這個(gè)二次函數(shù)的圖像特點(diǎn)描述一下嗎？

問題5：你能求解這個(gè)二次函數(shù)的最值嗎？此時(shí)的x取多少？

這樣的分析步步為營，環(huán)環(huán)相扣，教師的問題不僅啟發(fā)了學(xué)生的思維方向，也教會了學(xué)生如何分析、如何突破. 如此，將一個(gè)復(fù)雜的大問題，慢慢轉(zhuǎn)化為一個(gè)個(gè)小問題，達(dá)成“授之以漁”的效果，讓學(xué)生在問題的分解中達(dá)成對方法的提煉.

■ 多元鞏固，變式促進(jìn)生長

基于現(xiàn)有例題的多元鞏固、變式、變通、拓展是全面提升學(xué)生對例題的理解的關(guān)鍵，也是讓學(xué)生全面生長學(xué)習(xí)能力的關(guān)鍵策略. 在變式的過程中，我們要注重方法與策略、進(jìn)階與多元.

1. 同等變式，熟能生巧

這種變式是基于同種問題類型的變式與變通，從方法與技能的廣度上能促進(jìn)學(xué)生在有效的變式訓(xùn)練中達(dá)成熟能生巧. 為了激發(fā)學(xué)生的興趣，筆者制作了如下的變式挑戰(zhàn)小卡片.

變式1：如圖2，在Rt△ABC中，AC=3 cm，BC=4 cm，四邊形CFDE為矩形，其中CF，CE在兩直角邊上，設(shè)矩形的一邊CF=x cm. 當(dāng)x取何值時(shí)，矩形ECFD的面積最大？最大是多少？

變式2：如圖3，在Rt△ABC中，作一個(gè)長方形DEGF，其中FG邊在斜邊上，AC=3 cm，BC=4 cm，那么長方形DEGF的面積最大是多少？

變式3：如圖4，已知△ABC，矩形GDEF的DE邊在BC邊上，G，F(xiàn)分別在AB，AC邊上，BC=5 cm，S△ABC為30 cm2，AH為△ABC在BC邊上的高，求矩形GDEF的最大面積.

在實(shí)際的訓(xùn)練過程中，我們可以結(jié)合學(xué)生的基礎(chǔ)對變式1和變式3進(jìn)行變通，基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生重點(diǎn)關(guān)注變式1和變式2，基礎(chǔ)較好的學(xué)生重點(diǎn)關(guān)注變式2和變式3，或者只關(guān)注變式3.

2. 拓展變式，深入剖析

拓展性變式是基于原先例題的提升與拓展，重點(diǎn)讓學(xué)生在原先的基礎(chǔ)上面對更為復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型情境，面對更為隱蔽的信息等等. 此時(shí)需要學(xué)生進(jìn)一步分析數(shù)學(xué)情境中的數(shù)學(xué)模型，建立函數(shù)模型，讓二次函數(shù)的表達(dá)式得以明了，也借此達(dá)成學(xué)以致用的效果，如變式4.

變式4：某建筑物窗戶如圖5所示，它的上半部是半圓，下半部是矩形. 制造窗框的材料總長（圖中所有黑線的長度和）為15 m. 當(dāng)x等于多少時(shí)，窗戶透過的光線最多（結(jié)果精確到0.01 m）？此時(shí)，窗戶的面積是多少？

在這道題目中，我們可以發(fā)現(xiàn)“造窗框的材料總長（圖中所有黑線的長度和）為15 m”，這一信息較前面的題目更隱蔽一些，需要學(xué)生分析圖形中的關(guān)系，從而建構(gòu)x，y與已知量15之間的關(guān)系，進(jìn)而結(jié)合半圓形面積和矩形面積的求和達(dá)成面積的關(guān)系式，再結(jié)合二次函數(shù)來完成求解.

通過以上兩個(gè)環(huán)節(jié)的變式和剖析，學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容有了一個(gè)較為深入的認(rèn)知和鞏固，無論是方法上還是技能上，或者思維上，都得到了較為精準(zhǔn)的提升.

總之，學(xué)生在課堂上的能力生長和思維進(jìn)階都需要教師巧妙而科學(xué)的設(shè)計(jì)，這種設(shè)計(jì)一方面是基于學(xué)生的學(xué)情，達(dá)到因材施教、以學(xué)定教，另一方面是按照學(xué)材的要求，滿足國家課程對學(xué)生的要求，以此確保學(xué)生能滿足社會發(fā)展的需要，能更好地適應(yīng)社會的發(fā)展.