關于《長方形和正方形的認識》的教學再思考

韓輝

摘? 要：著名心理學家奧蘇泊爾有這樣的觀點：假如讓我把全部教育心理學僅僅歸結為一條原理，那么，我將一言以蔽之：影響學習的唯一最重要的因素，就是學生已經(jīng)知道了什么，要探明這一點，并應據(jù)此進行教學。這也是我們在教學中的一條“鐵律”。這條“鐵律”告訴我們，在教學中學生已有的基本經(jīng)驗，應成為我們教學的起點。文章結合《長方形和正方形的認識》的教學實際情況，就如何基于學生的已有經(jīng)驗進行教學展開探討。

關鍵詞：教學反思;教學設計;長方形;正方形

最近，聽了兩節(jié)關于《長方形和正方形的認識》的課，兩位教師的教學設計都是落腳在引導學生通過觀察和操作認識長方形、正方形的一些基本特征，概括出體會長方形與正方形的聯(lián)系和區(qū)別。這些的確是教學的重點，但真的是教學的難點嗎？課堂上，教師、學生花很大的力氣用一節(jié)課開展的探究活動，到底發(fā)揮了多大的價值？筆者認為，這節(jié)課探明教學的起點至關重要，落實“圖形與幾何”的教學目標是值得思考的。

我們不妨回憶一下知識呈現(xiàn)的邏輯關系：在一年級學生已經(jīng)直觀地認識了長方形、正方形的形狀，通過折一折、擺一擺、剪一剪、拼一拼等活動，初步了解了圖形的特點，學會辨別與區(qū)分。三年級再次出現(xiàn)正方形和長方形時，教學就應該站在一年級認識的基礎上，要求學生從“角”和“邊”的特點這個視角來尋找、概括長方形和正方形的特征，比較二者的聯(lián)系與區(qū)別，學生的思維需要經(jīng)歷從表象認識到理性思考的跨越。所以，教學的目標更應該體現(xiàn)該領域的核心價值。

■一、聯(lián)結經(jīng)驗，由“日常概念”到“幾何概念”

“圖形的認識”是“圖形與幾何”領域中的重要內容，主要在于刻畫圖形的特征。誠如鄭毓信教授指出的那樣，對于圖形的認識不應停留在“經(jīng)驗的認識”，特別是相關概念的現(xiàn)實原型或直觀表象，而應幫助學生清楚地認識到這一點：幾何抽象也是一個重新構建的過程。

【片段1】

老師上課前給大家布置了一項任務，還記得吧？（每人做4個正方形和4個長方形）你能說說，怎么做的嗎？學生表示都是依據(jù)自己的經(jīng)驗通過折或量的辦法制作了長方形和正方形。再提出一個更高層次的問題：“憑什么說它是長方形或正方形呢？”引導學生由經(jīng)驗出發(fā)，想辦法進行歸納、推理、證明，從而縮短學生與學習內容之間的距離，引發(fā)學生內在的探究欲望。

這個教學片段的設計讓學生在經(jīng)歷觀察圖形—驗證圖形—概括特點的圖形證明過程中，提高數(shù)學表達能力。學生之前認識的長（正）方形是“日常概念”，而數(shù)學中所說的長方形或正方形不是簡單地等同于日常生活中所看到的圖形，不應該靠直觀表象進行判斷，必須從特征中進行求證判斷，具有一般意義上的長方形（正方形），即以抽象的“幾何概念”的建立作為這節(jié)課的研究方向。

■二、經(jīng)歷探究，由“簡單操作”到“數(shù)學證明”

在探究“長方形和正方形有什么特點”時，要重點關注怎樣在有限的時間里讓探究真正發(fā)生，而不是滿足于盲目的、低效的簡單操作。在活動前，應該讓學生思考：我們要證明什么？怎么證明？怎樣表達自己的證明成果？給學生一個研究問題的方向。當然，嚴格的數(shù)學證明已經(jīng)超過了小學數(shù)學的范圍，但是應當讓他們清楚為什么需要這樣去做。

【片段2】

1. 請描述一下怎樣的圖形是長方形？以此喚醒學生的已有經(jīng)驗。學生邊匯報、邊整理、邊板書，如下：

長方形，四條邊，四個直角，對邊相等。

2. 怎么證明長方形對邊相等？怎么證明4個角是直角？

教學中，學生是通過折一折、量一量、畫一畫的活動去證明自己的直覺發(fā)現(xiàn)。對于三年級學生而言，能夠自覺采用這樣簡易的證明方式，已經(jīng)很不錯了。但是，我們需要思考如何營造更貼近數(shù)感的學習過程，通過操作得到的數(shù)學發(fā)現(xiàn)不應該是教學的終點，它應該和理性的分析聯(lián)系起來，讓學生初步感受數(shù)學證明的價值。

3. 如果長方形對邊不相等，將是一個怎樣的圖形？

我們不僅要讓學生通過證明來回答“憑什么說它是長方形或正方形？”還要，進一步追問學生：“如果長方形對邊不相等，將是一個怎樣的圖形？”首先，允許學生把自己想象的圖形畫出來，然后證明如果不滿足對邊相等的條件，也無法滿足四個直角，那么與我們實驗揭示的長方形的圖形特征不符。學生從“正例”和“反例”的比較中，體會到研究問題的路徑。

學生得出長方形的特征后，反思回顧“剛才我們是用什么方法研究的？”“用這樣的研究方法可以研究正方形的特征嗎？”通過這些問題的追問，讓學生復制研究的方法，探索新的問題，復制研究的方法，探索新的問題，體會結論的來源不僅僅是直覺發(fā)現(xiàn)，還可以是邏輯推理。在教學中，我們要重視“動手操作”，但更需要引導學生在動手操作基礎上向更高的目標挺進，將學生的注意力由單純的“動手”引向深入的“思考”。

■三、加強比較，由“聯(lián)系轉化”到“空間想象”

與以往相比，《數(shù)學課程標準》（2011實驗稿）對“圖形的認識”提出了新的要求。一是對圖形自身特征的認識;二是對圖形各元素之間、圖形與圖形之間關系的認識。所以，本節(jié)課應該改變以前只重特征的教學，而應該基于學生幾何思維的實際水平，通過多種思維活動的練習，加強圖形的比較，充分利用圖形的聯(lián)系與區(qū)別進行轉化，妙用想象鞏固特征。

在教學中，我們需要引導學生深入考察長方形和正方形之間的相互關系，幫助學生建立起整體的認知結構。長方形和正方形都屬于四邊形，是特殊的四邊形，而正方形也屬于特殊的長方形。它們之間存在集合關系，即正方形是長方形的子集，長方形是四邊形的子集。對于三年級學生而言，學生不容易理解其中的集合關系，教師可以通過多種思維活動的練習讓學生感受其中的關系。

【片段3】

1. 變一變

（1）既然長方形和正方形之間有區(qū)別，也有聯(lián)系，那么，你有辦法把你手中的正方形變成一個長方形嗎？學生通過對折，將正方形變成長方形，追問學生對折的目的是什么？（改變邊的長度）長方形可不可以改造成一個正方形？

學生都是通過改變邊的長短，實現(xiàn)了長方形和正方形之間互相轉變。緊接著讓學生思考為什么不通過改變“角”的辦法使圖形得以轉化呢？

我們通過這樣的設計，讓學生發(fā)現(xiàn)“變化中的不變因素”，更凸顯了本節(jié)課的重點研究“圖形的特征”的價值，使概念得到了內化。

（2）用一張長12厘米、寬8厘米的長方形紙，折一個最大的正方形，正方形的邊長是幾厘米？先讓學生想象一下折后的圖形是怎樣的，再做出合理的解釋。最后，還可以拓展想象一下，剩下的圖形是怎樣的圖形，它的長、寬分別是多少？利用圖形間的聯(lián)系與轉化，培養(yǎng)學生的空間想象能力。

2. 猜一猜

（1）書中夾了一個長方形或者正方形，露出一條邊，你可以判斷是長方形還是正方形嗎？如果我允許漏出兩條邊，你覺得還需要哪條邊？為什么？

（2）如果漏出一個直角行不行？兩個呢？三個呢？為什么？

通過猜的活動，應用圖形的特征進行說理，由“直觀的認識”上升到“概念的定義”，并進行想象和推理。

3. 擺一擺、拼一拼

（1）拼一拼：

想拼成一個正方形，要用：

想拼成一個長方形，要用：

（2）擺一擺：發(fā)現(xiàn)幾個正方形可以擺成一個長方形或正方形。

以上三個層次的練習設計基于圖形的特征、聯(lián)系與轉化，通過豐富的素材幫助學生經(jīng)歷觀察、操作、想象、推理、表達等活動，發(fā)展學生的空間想象、推理能力，理解概念內涵。從而使“圖形的認識”的學習活動不再是單純地依賴模仿與記憶，而是著力幫助學生理解概念的本質。

長方形和正方形的認識，是每個教師和學生都很熟悉的內容，但人們常說：熟悉的地方?jīng)]有風景。如果我們能重新思考“教學能承載什么？”“學生知道什么？”“我們可以帶學生到哪里去？”“我們怎樣到達？”……可能我們就會發(fā)現(xiàn)，熟悉的地方也會有不同的風景。