建構(gòu)“直觀思維”：幾何直觀教學(xué)的重要使命

王燕

摘? 要：直觀性思維具有具體性、直接性、生動(dòng)性等特質(zhì)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生直觀感知、直觀操作、直觀想象和直觀理解，進(jìn)而培育學(xué)生的視覺(jué)性思維、動(dòng)作性思維、想象性思維和理解性思維。直觀性思維，有助于提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);幾何直觀;直觀思維

學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，從根本上來(lái)說(shuō)可以分為直觀思維、演繹思維。法國(guó)著名數(shù)學(xué)家帕斯卡爾將之命名為“敏感性精神”與“幾何學(xué)精神”。在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，往往很重視“演繹性思維”，而忽視了學(xué)生“直觀性思維”的培育。直觀性思維具有具體性、直接性、生動(dòng)性等特質(zhì)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有意識(shí)地建構(gòu)學(xué)生的“直觀思維”，發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力，提升學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)。

■一、直觀感知：培養(yǎng)學(xué)生的視覺(jué)性思維

幾何直觀思維，首先是一種視覺(jué)思維。視覺(jué)思維是一種基于視覺(jué)感知建立的思維。這種思維不純粹是“直觀”，也不純粹是一種“簡(jiǎn)單地看”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)許多數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)弱勢(shì)群體，在讀題時(shí)往往只是簡(jiǎn)單地重復(fù)閱讀，以致于閱讀了幾遍，都沒(méi)有理解題意。這是因?yàn)?，這些學(xué)生的感知是一種純粹的視覺(jué)，沒(méi)有融入思維，因而就導(dǎo)致了認(rèn)識(shí)文字卻不理解題意的現(xiàn)象。

培養(yǎng)學(xué)生的視覺(jué)思維，不僅要增強(qiáng)學(xué)生的感知能力，更要借助圖片、實(shí)物、動(dòng)作等直觀載體，誘發(fā)學(xué)生思維。只有當(dāng)學(xué)生能在視覺(jué)中思考，才能說(shuō)學(xué)生擁有了直觀思維能力。比如教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”這一部分內(nèi)容，教師首先要引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作、畫圖等，將一張紙進(jìn)行不同方向的對(duì)折。如此，學(xué)生就會(huì)主動(dòng)對(duì)直觀操作的過(guò)程、結(jié)果等進(jìn)行比較，認(rèn)識(shí)到盡管操作的過(guò)程不同（橫著對(duì)折、豎著對(duì)折、斜著對(duì)折等），盡管操作的結(jié)果不同（對(duì)折后的圖形不同），盡管每一份的形狀不同，但由于都是將一張紙平均分成了兩份，因而每份都可以用“2/1”來(lái)表示。這里，學(xué)生通過(guò)直觀，形成了對(duì)分?jǐn)?shù)的本質(zhì)性的認(rèn)知，這種基于直觀基礎(chǔ)上的本質(zhì)認(rèn)知，我們不妨稱之為“本質(zhì)直觀”。借助于“本質(zhì)直觀”，學(xué)生舍棄了圖形的非本質(zhì)屬性，提煉出了本質(zhì)屬性。這種提煉的過(guò)程，不是邏輯推理的演繹過(guò)程，而是基于直觀操作、直觀感知基礎(chǔ)上的，因而是學(xué)生借助視覺(jué)思維研究出的成果。

直觀感知是發(fā)展學(xué)生直觀思維的基礎(chǔ)。只有借助于幾何直觀，學(xué)生才能有效地組織、解讀、理解各種信息。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)幾何直觀進(jìn)行直觀表征。通過(guò)直觀表征，學(xué)生能更為有效地、更有針對(duì)性地進(jìn)行直觀感知、直觀思維。

■二、直觀操作：培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)作性思維

幾何直觀思維，不僅僅包括視覺(jué)思維，也包括操作思維。尤其對(duì)于小學(xué)生而言，操作思維更具有意義?！爸腔圩詣?dòng)作發(fā)端”。教學(xué)中，教師可以通過(guò)“擺實(shí)物”“做模型”“畫圖”等動(dòng)手操作活動(dòng)來(lái)調(diào)動(dòng)學(xué)生的感官。通過(guò)操作，可以深化學(xué)生的幾何直觀表象積累，從而便于學(xué)生運(yùn)用幾何直觀表象進(jìn)行思維。

比如教學(xué)“角的認(rèn)識(shí)”，為了讓學(xué)生深化“角的大小與所畫的邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，與兩條邊張開(kāi)的大小有關(guān)”，筆者組織學(xué)生動(dòng)手操作，激發(fā)學(xué)生的動(dòng)手操作思維。首先，出示兩個(gè)相等的角，但角的兩條邊畫的長(zhǎng)短不同;其次，讓學(xué)生用活動(dòng)角進(jìn)行對(duì)比，通過(guò)對(duì)比，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)角的兩條邊張開(kāi)的大小是相同的。通過(guò)這樣的操作，學(xué)生認(rèn)識(shí)到“角的大小”的深刻內(nèi)涵，即“角的大小就是角的兩條邊張開(kāi)的大小”。由于角的兩條邊是兩條射線，因而可以無(wú)限延長(zhǎng)。所以，“角的大小與所畫的邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，與兩條邊張開(kāi)的大小有關(guān)”。通過(guò)操作，學(xué)生將手的動(dòng)作與腦中建立的表象等聯(lián)通起來(lái)，從而有助于學(xué)生理解知識(shí)的本質(zhì)。由于數(shù)學(xué)操作是學(xué)生積極、主動(dòng)參與的數(shù)學(xué)活動(dòng)，因而有助于積累學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。一般來(lái)說(shuō)，學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)能積累實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和思維經(jīng)驗(yàn)，而直觀動(dòng)作思維能將學(xué)生的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)與思維經(jīng)驗(yàn)等融為一體。

直觀是對(duì)事物的直接判斷，屬于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)層面的內(nèi)容。表象是學(xué)生直觀思維的最基本的元素。通過(guò)直觀操作，學(xué)生能獲得最為直接、最為生動(dòng)的表象，能獲得切身的感受、體驗(yàn)，從而能積累學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。從某種意義上說(shuō)，學(xué)生的直觀操作，就是通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的不斷積累所形成的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

■三、直觀想象：培養(yǎng)學(xué)生的想象性思維

直觀思維，不僅包括直覺(jué)思維、動(dòng)作思維，而且包括想象思維。直觀聯(lián)想，有助于培養(yǎng)學(xué)生的想象思維。過(guò)去，許多教師總是將想象與思維對(duì)立起來(lái)，導(dǎo)致學(xué)生的思維空間比較狹窄、逼仄。直觀聯(lián)想，往往能打開(kāi)學(xué)生的思維空間。正如著名思想家愛(ài)因斯坦所說(shuō)，想象力比知識(shí)更重要，因?yàn)橹R(shí)是有限的，而想象力概括著世界的一切，推動(dòng)著進(jìn)步，并且是知識(shí)進(jìn)化的源泉。

教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行直觀聯(lián)想。以聯(lián)想、想象為媒介、載體，能提升學(xué)生直觀思維的高度，拓展學(xué)生直觀思維的廣度。而當(dāng)下的信息技術(shù)又為學(xué)生的直觀想象添上了一雙翅膀。比如教學(xué)“圓的面積”，通過(guò)多媒體課件的展示，將圓平均分成若干份，然后拼接成一個(gè)近似的平行四邊形。隨著平均分成的份數(shù)的增加，學(xué)生展開(kāi)了動(dòng)態(tài)性的想象：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于原來(lái)圓的什么？長(zhǎng)方形的寬相當(dāng)于原來(lái)圓的什么？長(zhǎng)方形的面積相當(dāng)于原來(lái)圓的什么？在動(dòng)態(tài)的直觀想象中，學(xué)生自覺(jué)地對(duì)長(zhǎng)方形與原來(lái)圓的半徑、直徑、周長(zhǎng)、面積等之間的關(guān)系展開(kāi)了積極的思維。不僅如此，在直觀想象中，學(xué)生還初步感受、體驗(yàn)到極限的數(shù)學(xué)思想方法，即當(dāng)平均分成的份數(shù)越多時(shí)，近似的平行四邊形就越來(lái)越接近長(zhǎng)方形，而演變到最后就成了長(zhǎng)方形。這樣的一種思維，就是一種直觀的、動(dòng)態(tài)的、想象性的思維。較之于其他的思維形式，直觀想象性思維更具靈動(dòng)性、鮮活性。直觀想象性的思維豐富了學(xué)生的思維樣式，拓展了學(xué)生思維的空間。

直觀想象性思維是流動(dòng)的、變化不居的思維。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生充分認(rèn)識(shí)圖形的特點(diǎn)，讓圖形動(dòng)起來(lái)，從而催生學(xué)生的想象。想象性思維，能打破學(xué)生的固化思維，具有多向性、靈活性、變通性、發(fā)散性、創(chuàng)新性，因而不僅有助于學(xué)生解決問(wèn)題，更有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。

■四、直觀理解：培養(yǎng)學(xué)生的理解性思維

直觀，包括實(shí)物直觀、圖形直觀和符號(hào)直觀等。一般而言，理解性直觀，有助于深化學(xué)生的認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)中有許多抽象性概念，作為教師，可以引導(dǎo)學(xué)生用直觀動(dòng)作、直觀圖形等促進(jìn)學(xué)生的直觀理解。不僅讓學(xué)生理解對(duì)象性特征，更讓學(xué)生理解對(duì)象的結(jié)構(gòu)性特征。通過(guò)直觀理解，達(dá)成學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象的通透性把握。

比如教學(xué)“稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題”，為了讓學(xué)生直觀理解“量”和“率”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，筆者引導(dǎo)學(xué)生畫線段圖，將題目中的數(shù)量關(guān)系直觀表征出來(lái)。通過(guò)畫圖，學(xué)生直觀地表征了題意，并且發(fā)現(xiàn)量和率之間的不對(duì)應(yīng)關(guān)系。通過(guò)直觀思維，學(xué)生認(rèn)為，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于“將量和率之間的不直接對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)化成直接對(duì)應(yīng)”。借助于直觀的線段圖，學(xué)生不僅獲得了直觀的理解，而且能主動(dòng)地提出解決問(wèn)題的思路猜想，并積極地付諸實(shí)踐。換言之，直觀理解變成了直觀行動(dòng)。比如當(dāng)學(xué)生直觀看到“已經(jīng)修了全長(zhǎng)的■”，就能直觀推理出“還剩全長(zhǎng)的■”;直觀看到了“甲數(shù)比乙數(shù)多■”，就能直觀推理出“甲數(shù)是乙數(shù)的■”，等等。有了這樣的直觀性理解，學(xué)生就能優(yōu)化問(wèn)題解決的思路、策略。比如學(xué)生能主動(dòng)運(yùn)用轉(zhuǎn)化、對(duì)應(yīng)、假設(shè)等思想方法解決問(wèn)題。這樣的直觀理解，有效地提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

“幾何直觀”能為學(xué)生的數(shù)學(xué)理解提供重要支撐。作為教師，要充分應(yīng)用幾何直觀這一有效的工具，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解、建構(gòu)與創(chuàng)造。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，幾何直觀具有重要的價(jià)值，能引導(dǎo)學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題與直觀的手段、直觀的表征相結(jié)合，從而促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解、數(shù)學(xué)應(yīng)用。直觀理解，打開(kāi)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的大門。作為教師，不僅要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用直觀感知、理解、想象，更要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用直觀去建構(gòu)、創(chuàng)造。