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      借圖形變換 探作圖問題

      2020-01-15 06:40:16張磊
      關(guān)鍵詞:初中數(shù)學(xué)

      張磊

      [摘 要]翻折、平移、旋轉(zhuǎn)與縮放這四種圖形的運動,都是圖形變換.圖形變換的作圖包括軸對稱作圖、平移作圖、旋轉(zhuǎn)作圖與位似作圖.探析圖形變換中的作圖問題,可以讓學(xué)生熟悉各種類型的作圖方法,明白各類作圖的原理;可以培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力,讓學(xué)生直觀感受圖形變化后位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的變化,在圖形變換的新情境問題中游刃有余.

      [關(guān)鍵詞]初中數(shù)學(xué);圖形變換;作圖問題

      [中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058(2020)29-0029-02

      翻折、平移、旋轉(zhuǎn)與縮放這四種圖形的運動都是圖形變換.圖形變換的引入,使圖形運動進(jìn)入數(shù)學(xué)課程,要求學(xué)生從圖形運動的角度看全等三角形、平行四邊形、圓等幾何圖形,由過去的靜態(tài)幾何轉(zhuǎn)變?yōu)閯討B(tài)幾何.在圖形變換里,不僅學(xué)習(xí)了圖形變換的概念、性質(zhì)與應(yīng)用,還學(xué)習(xí)了圖形變換的作圖,包括軸對稱作圖、平移作圖、旋轉(zhuǎn)作圖與位似作圖.學(xué)生由已知圖形作出關(guān)于某一直線或某一點的變換圖形,能直觀感受圖形變化后位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的變化,從而在圖形變換的新情境問題中游刃有余.

      一、軸對稱作圖

      由已知圖形與直線,如何作已知圖形關(guān)于此直線對稱的圖形呢?第一步,找出圖形中的關(guān)鍵點;第二步,過關(guān)鍵點作對稱軸的垂線;第三步,延長垂線,在垂線的另一端取相等的線段,得到對應(yīng)點;第四步,其他關(guān)鍵點的對應(yīng)點以此類推,順次聯(lián)結(jié)各點的對應(yīng)點.軸對稱作圖的類型包括在網(wǎng)格圖里作已知圖形的軸對稱圖形.在既定圖形里以某邊為對稱軸作軸對稱圖形;在平面內(nèi)作已知圖形的軸對稱圖形.

      (1)在圖1格點中找一點E,由A、B、C、E四點構(gòu)成的四邊形,如果是軸對稱圖形,那么符合題意的圖形有多少個?并寫出點E的坐標(biāo)以及四邊形的面積;

      評注:作軸對稱圖形重要的是找對稱軸,對稱軸可以是水平的、豎直的,也可以是傾斜的,本題的兩條對稱軸就是一水平一豎直.在已知直線上確定一點,使入射角等于反射角,方法就是找其中一個點的對稱點,將另一點與對稱點連成直線,所作直線與原始直線有一個交點,這個交點就是求作的點.

      二、平移作圖

      平移作圖的一般步驟是:(1)找出圖形中的關(guān)鍵點;(2)經(jīng)過關(guān)鍵點作直線,這條直線要與已知線段平行;(3)在平行線上截取平移距離的長度,得到對應(yīng)點;(4)順次聯(lián)結(jié)各對應(yīng)點得到的圖形就是所求作的圖形.平移作圖的類型包括在網(wǎng)格圖中平移作圖,在既定圖形里平移圖形中的一部分,在平面內(nèi)按指定的方向和距離平移作圖,等等.

      [例2]如圖6,三角形ABC可通過平移得到三角形DEF,此時點A落在點D.

      (1)請描述三角形ABC經(jīng)過兩次平移后得到三角形DEF的過程.

      (2)平移三角形ABC使點B落在點D,在圖7中作出平移后的三角形.

      分析:(1)先沿水平方向平移再沿豎直方向平移;或者先沿豎直方向平移再沿水平方向平移.△ABC經(jīng)過兩次平移后得到△DEF的過程為第一步向右平移,第二步向下平移,平移的單位分別為3個和6個單位長度;

      (2)根據(jù)點B的對應(yīng)點是點D,得到平移的方法,再依據(jù)平移方法將點A、C平移.如圖8所示.

      評注:在網(wǎng)格里作圖,要充分利用網(wǎng)格里的水平線與豎直線所指示的方向,利用每個小正方形的邊長是1的距離,數(shù)一數(shù)格數(shù)就可以確定距離.題中顯示了平移作圖的兩種考法,一是已知平移作圖的結(jié)果,確定平移的方法;二是已知其中一點平移后的對應(yīng)點,觀察得到平移方法,然后平移圖形.

      三、旋轉(zhuǎn)作圖

      旋轉(zhuǎn)作圖的一般步驟是:(1)找出圖形中的關(guān)鍵點;(2)聯(lián)結(jié)關(guān)鍵點與旋轉(zhuǎn)中心;(3)將連線按要求的方向與角度繞中心旋轉(zhuǎn)一定的角度;(4)在連線上截取相等的線段,得到對應(yīng)點;(5)順次聯(lián)結(jié)各對應(yīng)點得到的圖形就是所求作的圖形.

      評注:從這里可以看出,旋轉(zhuǎn)與平移的關(guān)系,即一次旋轉(zhuǎn)加一次平移相當(dāng)于一次旋轉(zhuǎn).軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)之間的相互關(guān)系還包括如果對稱軸互相平行,那么兩次軸對稱相當(dāng)于一次平移;如果對稱軸相交于一點,那么兩次軸對稱相當(dāng)于一次旋轉(zhuǎn).

      圖形變換的作圖還包括位似作圖,即將一個圖形放大或縮小,它要求根據(jù)相似圖形對應(yīng)邊成比例,在經(jīng)過關(guān)鍵點與位似中心的直線上截取幾倍或幾分之一的線段.在圖形變換作圖中,一方面考查了學(xué)生的動手操作能力,另一方面也考查了圖形變換的性質(zhì),因為圖形變換的性質(zhì)是圖形變換作圖的依據(jù).熟悉各種類型的作圖方法,明白各類作圖的原理,才能讓學(xué)生在圖形變換的新情境問題中游刃有余.

      [? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

      [1]? 吳志鵬,陳玉蘭.快速作圖的四種策略[J].河北理科教學(xué)研究,2018(3):27-29+45.

      [2]? 張安軍.基于等邊三角形的尺規(guī)作圖下“圖形變換”的復(fù)習(xí)[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2018(3):14-16.

      [3]? 解榮蘭. 初中生數(shù)學(xué)作圖能力的研究[D].濟(jì)南:山東師范大學(xué),2017.

      [4]? 仇玉祥.透視中考? 聚焦網(wǎng)格? 巧妙作圖[J].新高考(升學(xué)考試),2014(2):48-50.

      (責(zé)任編輯 黃桂堅)

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