Cn-平坦模的一些結(jié)果

王 茜，王芳貴，沈 磊

(1.四川文理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 四川 達(dá)州 635000;2.四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

1 Cn-平坦模及其基本性質(zhì)

下面的事實(shí)是顯然的。

注1①平坦右R-模是Cn-平坦模；

②當(dāng)m≥n≥0時(shí), 由于Fn?Fm, 故有Cm?Cn, 因此,CnF?CmF;

③由于I ?Cn, 故Cn-平坦模是余純平坦模。

命題1模類(lèi)CnF對(duì)直和與直和加項(xiàng)是封閉的。

定理1對(duì)右R-模M, 以下各條等價(jià):

①M(fèi)是Cn-平坦模;

②M+是Cn-內(nèi)射模;

③設(shè)ξ:0→A→B→C→0是左R-模正合列，若C∈Cn, 則M?Rξ也是正合列;

④任何形如0→A→B→M→0的右R-模正合列是Cn-純正合列。

①?③顯然。

③?①設(shè)C∈Cn, 考慮正合列ξ:0→K→F→C→0, 其中F是平坦模，則有正合列

④?①考慮正合列η:0→K→F→M→0, 其中F是平坦模。對(duì)任何C∈Cn, 則有正合列

命題2設(shè)0→L→M→N→0是右R-模正合列，若L,N是Cn-平坦模, 則M也是Cn-平坦模, 即模類(lèi)CnF關(guān)于擴(kuò)張是封閉的。

設(shè)L是R-模類(lèi),M∈L,X是R-模,φ:X→M是同態(tài)。若對(duì)任何N∈L, 以及同態(tài)g:X→N, 恒有同態(tài)h:M→N, 使得g=hφ, 則稱(chēng)(M,φ)為X的L-預(yù)包。顯然,φ:X→M是X的L-預(yù)包當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何N∈L, 誘導(dǎo)同態(tài)φ*:HomR(M,N)→HomR(X,N)是滿(mǎn)同態(tài)。

命題3設(shè)M是有限表現(xiàn)右R-模，若M是Cn-平坦模, 則M是一個(gè)平坦預(yù)包的上核。

證明由于M是有限表現(xiàn)的, 則有正合列0→K→P→M→0, 其中P是有限生成投射模,K是有限生成模。下證K→P是平坦預(yù)包。

命題4設(shè)R是交換環(huán),M是R-模，則:

①M(fèi)是Cn-平坦模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何有限生成投射模P, 有P?RM是Cn-平坦模;

②M是Cn-內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何有限生成投射模P, 有HomR(P,M)是Cn-內(nèi)射模。

證明①充分性: 取F=R即可。

必要性：由命題1, 對(duì)任何有限生成自由模F,F?RM是Cn-平坦模。設(shè)P是有限生成投射模, 則有自由模F及模Q, 使得F=P?Q。于是(P?RM)?(Q?RM)=F?RM是Cn-平坦模。由命題1,P?RM是Cn-平坦模。

②類(lèi)似①的證明可得。

眾所周知, 平坦模的純子模及其對(duì)應(yīng)的純商模都是平坦模, 事實(shí)上, Cn-平坦模也有類(lèi)似的性質(zhì)。

定理2Cn-平坦模的純子模與其對(duì)應(yīng)的純商模都是Cn-平坦模。

證明設(shè)F是Cn-平坦模,K是F的純子模, 于是F+是Cn- 內(nèi)射模, 且0→K→F→F/K→0是純正合列。因此，0→(F/K)+→F+→K+→0是分裂的正合列,K+與(F/K)+都是Cn-內(nèi)射模,K和F/K是Cn-平坦模。

2 Cn-平坦模是平坦模的充分條件

本節(jié)討論Cn-平坦模是平坦模的條件, 并給出Cn-平坦模不是平坦模的反例。

設(shè)X是左R-模。文獻(xiàn)[14]引入了X的n-余撓維數(shù)cndRX的概念, 即X的最短n-余撓分解的長(zhǎng)度。文獻(xiàn)[15]定理1.6證明了左R模N是內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)N是Cn-內(nèi)射模, 且cndRN≤1。

定理3對(duì)右R-模M, 以下各條等價(jià)：

①M(fèi)是平坦模;②M是Cn-平坦模, 且cndRM+≤1;③M是Cn-平坦模, 且fdRM≤1。

證明①?②M顯然是Cn-平坦模。由于M+還是內(nèi)射模, 故有cndRM+=0<1。

②?①由于M是Cn-平坦模, 故M+是Cn-內(nèi)射模。因?yàn)閏ndRM+≤1，由文獻(xiàn)[15]定理1.6知M+是內(nèi)射模，從而M是平坦模。

①?③顯然。

Bass在文獻(xiàn)[19]中引入了環(huán)R的左弱Finitistic維數(shù)：FFD(R)=sup{fdRM|fdRM<∞}。

定理4若FFD(R)≤n, 則對(duì)任何m≥n, CmF=CnF。

證明由m≥n及FFD(R)≤n, 得Fm=Fn，于是，Cm=(Fm)⊥=(Fn)⊥=Cn。因此，CmF=Cm=Cn=CnF。

推論1若w.gl.dim(R)≤n, 則對(duì)任何m≥n, CmF=CnF。

定理5對(duì)任何環(huán)R, C1F=CF=F。

定理6設(shè)R是整環(huán),M是無(wú)撓的C2-平坦模, 則M是平坦模。

上面2個(gè)定理說(shuō)明n取0,1時(shí)，Cn-平坦模就是平坦模, 但當(dāng)n取2時(shí), 在一定的條件下也能證明C2-平坦模與平坦模的等價(jià)關(guān)系。接下來(lái)討論Cn-平坦模的維數(shù)問(wèn)題, 然后再借助其來(lái)找到Cn-平坦模(n≥2)與經(jīng)典平坦模的差距。設(shè)L是R-模類(lèi)，X是R-模，

…→Ln→Ln-1→·s→L1→L0→X→0

是正合列, 其中每個(gè)Li∈L，則該正合列稱(chēng)為X的L-分解。記Ki+1=ker(Li→Li-1),K1=ker (L0→X),K0=X。稱(chēng)Ki為X的第i次L合沖。當(dāng)L分別是投射模類(lèi)與平坦模時(shí), 投射合沖與平坦合沖分別簡(jiǎn)稱(chēng)為合沖與弱合沖。

定理7設(shè)n是非負(fù)整數(shù)，對(duì)環(huán)R, 以下各條等價(jià):

①w.gl.dim(R)≤n;

②任何n-余撓左R-模是內(nèi)射模, 即Cn?I;

③對(duì)任何C∈C, fdRC≤n, 即C?Fn;

④對(duì)任何C∈C, idRC≤n, 即C?In;

⑦對(duì)任何L∈Cn, fdRL≤n, 即Cn?Fn;

⑧任何n-余撓左R-模是Cn-內(nèi)射模, 即Cn?CnI;

⑨對(duì)任何M∈MR,M的第n次合沖是Cn-平坦模;

⑩對(duì)任何M∈MR,M的第n次弱合沖是Cn-平坦模。

證明①?②由文獻(xiàn)[4]定理6.4即得。

①?③?⑥?⑤顯然。

②?④設(shè)C是余撓左R-模。由文獻(xiàn)[4]命題4.3(2),C的第n次內(nèi)射上合沖是n-余撓模, 從而由假設(shè)是內(nèi)射模，故有idRC≤n。

①?⑦?⑧見(jiàn)文獻(xiàn)[15]定理2.2。

⑩?⑨顯然。

推論2w.gl.dim(R)=sup{fdRC|C∈C}=sup{idRC|C∈C}。

一般地，要考慮一個(gè)環(huán)R的弱整體維數(shù)是需要考慮每個(gè)R-模的平坦維數(shù)的, 而上述推論則表明今后在討論環(huán)的弱整體維數(shù)時(shí)只需考慮余撓模類(lèi)的平坦維數(shù)或者內(nèi)射維數(shù)即可。特別地, 當(dāng)定理7中n分別取1與0時(shí), 就可以得到關(guān)于Prüfer整環(huán)和von Neumann正則環(huán)的等價(jià)刻畫(huà)。

推論3對(duì)整環(huán)R, 以下各條等價(jià):

①R是Prüfer整環(huán)；

②1-余撓模是C1-內(nèi)射模；

④對(duì)任何C,M∈C1及k≥1, 有ExtRk(C,M)=0；

⑥若c1dRX<∞, 則對(duì)任何M∈C1, 及任何k>0, 有ExtRk(X,M)=0；

⑦任何1-余撓左R-模的平坦維數(shù)不超過(guò)1 ,即C1?F1；

⑧任何1-余撓左R-模是內(nèi)射模, 即C1=I；

⑨對(duì)任何C∈C, fdRC≤1, 即C?F1；

⑩對(duì)任何C∈C, idRC≤1, 即C?I1；

推論4對(duì)環(huán)R, 以下各條等價(jià):

①R是von Neumann正則環(huán)；

②余撓左R-模是內(nèi)射模, 即C?I；

③余撓左R-模是平坦模, 即C?F；

④n-余撓左R-模是平坦模, 即Cn?F；

⑤余撓左R-模是C-內(nèi)射模, 即C?CI；

⑥余撓左R-模是Cn-內(nèi)射模, 即C?CnI；

⑦純內(nèi)射左R-模是C-內(nèi)射模；

⑧純內(nèi)射左R-模是Cn-內(nèi)射模；

⑨右R-模都是Cn-平坦模, 即MR=CnF；

⑩有限表現(xiàn)右R-模都是Cn-平坦模, 即FP?CnF。

證明①?②?③?④顯然。

④?①由I?Cn?F知R是IF環(huán)，由Cn?F?Fn知w.gl.dim(R)≤n。再由文獻(xiàn)[14]命題4.3.2知弱整體維數(shù)有限的IF環(huán)就是von Neumann正則環(huán), 故結(jié)論成立。

⑦?①設(shè)M是任何的右R-模, 則M+是純內(nèi)射模。由假設(shè),M+是C-內(nèi)射模。由定理1,M是C-平坦模, 即平坦模。

⑧?⑨同⑦?①。

④?⑥由Cn?F, 則F⊥=C?Cn⊥=CnI。

⑥?④由C?CnI, 則Cn?⊥CnI?⊥C=F。

③?⑤同④?⑥。

④?⑨?⑩顯然。

⑩?④由FP?CnF即知F=FP?CnF?Cn成立。

由文獻(xiàn)[2]推論4.3知每個(gè)右R-模都是余純平坦模的環(huán)是左IF環(huán)。從上面推論可知每個(gè)右R-模是Cn-平坦模的環(huán)是von Neumann正則環(huán), 即所有模都是平坦模的環(huán)。顯然von Neumann正則環(huán)是IF環(huán), 這就從維數(shù)的角度表明了余純平坦模與Cn-平坦模之間存在著很大的區(qū)別。

下面繼續(xù)討論模類(lèi)CnF的遺傳性, 即Cn-平坦模的子模還是Cn-平坦模的情況。

推論5對(duì)環(huán)R, 以下各條等價(jià):

①對(duì)任何L∈Cn, fdRL≤1, 即Cn?F1;

②1-余撓左R-模是Cn-內(nèi)射模, 即C1?CnI;

③每個(gè)投射右R-模的子模是Cn-平坦模;

④每個(gè)平坦右R-模的子模是Cn-平坦模;

⑤每個(gè)Cn-平坦右R-模的子模是Cn-平坦模。

證明⑤?④?③?②?①顯然。

命題5若R滿(mǎn)足推論5中任何一條, 則右R-模T是Cn-平坦模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何n-余撓左R-模L與i≥1, 都有ToriR(T,L)=0。

命題6設(shè)M是任意右R-模, 若對(duì)于任意C∈Cn,i≥1，都有ToriR(M,C)=0，則M是平坦模。

上述命題說(shuō)明若在定義Cn-平坦模時(shí)有高階的Tor函子等于零, 則Cn-平坦模就是經(jīng)典的平坦模。根據(jù)前面的討論可知, 當(dāng)n≥2時(shí), Cn-平坦模未必是平坦模，自然會(huì)問(wèn)是否存在具體的例子，為此, 先給出一個(gè)引理(見(jiàn)文獻(xiàn)[2]定理4.5)。

引理1設(shè)R是左凝聚環(huán), 則每個(gè)余純平坦右R-模是平坦模當(dāng)且僅當(dāng)R是左半遺傳環(huán)。

例1由定理5, C-平坦模和C1-平坦模都是平坦?！，F(xiàn)在來(lái)說(shuō)明C2-平坦模未必是平坦模, 從而n≥2時(shí), Cn-平坦模未必是平坦模。為此, 設(shè)R是左凝聚環(huán), 并且w.gl.dim(R)=2。例如, 設(shè)V是賦值整環(huán), 但不是域,R=V[x], 則w.gl.dim(V)=1,w.gl.dim(R)=2。由定理7, 2-余撓模是內(nèi)射模, 故C2-平坦模是余純平坦模。由引理1, 存在C2-平坦模不是平坦模。此外, 由定理1,M是C2-平坦模當(dāng)且僅當(dāng)M+是C2-內(nèi)射模，這也說(shuō)明了C2-內(nèi)射左R-模未必是內(nèi)射模。