百以內(nèi)加減法算理教學的“變與不變”

葉開益

摘? ? 要?? “變與不變”是小學數(shù)學教學研究的重要思想。百以內(nèi)加減法算理教學中，國內(nèi)不同版本的教材提供了兩種計數(shù)模型：小棒圖和計數(shù)器。通過對教材內(nèi)容的梳理、對比，尤其是和國外教材對比，整合類似例題，選擇計數(shù)器、立方體等抽象化材料，輔助小棒理解，將橫式與豎式并行教學，取得了良好的效果。

關(guān)鍵詞? 百以內(nèi)加減法 算理教學 教材對比

“變與不變”思想是小學數(shù)學教學的重要思想。如何促進學生更有效地體會數(shù)學的基本思維方式和基本思想，采取更加科學和高效的教學模式，努力使小學數(shù)學教學取得更大的突破是需要一線數(shù)學教師思考和探究的問題。而整合教學的價值在于讓學生對所學材料的結(jié)構(gòu)有清晰的了解，掌握知識本質(zhì)后重點展開對知識的智性學習。這樣的一種智性學習就是在“變與不變”中探究知識本質(zhì)。它關(guān)注教師在教學中為學生提供素材、機會，強調(diào)教師的教學方式;關(guān)注學生學習數(shù)學的過程，強調(diào)積極參與和主動思考、交流討論和舉例辨析等[1]。在不改變現(xiàn)行數(shù)學教材的教學目標和教學內(nèi)容的前提下，根據(jù)學生實際情況和發(fā)展需要，通過打破教材編排結(jié)構(gòu)、調(diào)整教學內(nèi)容的順序、變換教學方式等途徑，將數(shù)學知識點重新融合，試圖達到學科內(nèi)知識點的整合，并讓數(shù)學學習由課內(nèi)向縱深處或向課外延伸。當學習的內(nèi)容具有相同的知識結(jié)構(gòu)，能找到知識的關(guān)聯(lián)，我們就可以嘗試進行單元內(nèi)的課時整合，而百以內(nèi)數(shù)的認識單元就具備了這樣整合的條件。不進位加法和進位加法，不退位減法和退位減法，都是可以打通數(shù)學運算的連接進行整合的。

一、百以內(nèi)加減法內(nèi)容編排的“變與不變”

人教版小學數(shù)學教材在一年級上冊編排了20以內(nèi)進位加法，在一年級下冊編排了20以內(nèi)退位減法，緊接著編排了“100以內(nèi)數(shù)的加減法（一）”單元，二年級上冊編排了“100以內(nèi)數(shù)的加減法（二）”單元。100以內(nèi)加減法（二）單元包括以下知識點：不進位加法及進位加法、不退位減法及退位減法、連加連減、加減混合、解決問題。人教版、北師大版、蘇教版分別在二年級上冊和一年級下冊安排了100以內(nèi)加減法的學習，編排的內(nèi)容大致相同，但也有區(qū)別。

北師大版一年級下冊教材集中安排了加減法的課時，第一單元“加與減（一）”9課時、第五單元“加與減（二）”8課時、第六單元“加與減（三）”11課時。集中在一年級下冊教學了20以內(nèi)退位減法、100以內(nèi)加減法（包括不進位、不退位與進位、退位）和連加、連減、加減混合的計算方法，并要求學生根據(jù)具體問題，估計運算的結(jié)果，初步學會應(yīng)用加減法解決生活中的簡單問題。在蘇教版的課時安排中也把相同內(nèi)容放在了一年級下冊來教學，并且把進位加法和退位減法單獨放到一個單元中，和加減法的豎式一起教學。而人教版和北師大版則安排不進位加法、進位加法、不退位減法、退位減法同時進行教學。之后北師大版二年級上冊數(shù)的運算只學習了乘法和除法，這樣加減和乘除分開進行歸類學習，學習內(nèi)容集中，與人教版整合教學的理念是吻合的。在實際教學反饋中把100以內(nèi)加減法的進位加法和退位減法放在一年級下冊系統(tǒng)全面學習加減法是合理的，學生是可以達到這樣的程度的。基于這樣的思考，我們對人教版100以內(nèi)加減法（二）單元進行整合（如表1）。

從表面上看，變化的是對例題進行了合并，對課時進行了壓縮，不變的是對算理的把握，在算理融會貫通的基礎(chǔ)上教師對教學目標的重新定位、對教學內(nèi)容的價值重構(gòu)。教師站位于“某一領(lǐng)域”或“某一主題”的視角審視課堂，抓住內(nèi)容的主線展開教學。一、二年級“數(shù)的運算”這一領(lǐng)域教學，運算的算理和算法歸根結(jié)底是兩個因素，即“計數(shù)法”與“運算意義”。因此，在100以內(nèi)加減法教學中，就需要從運算意義展開教學，雖然是不同的運算，但算理是相同的，整合后將加法的不進位和進位整合成1課時，減法的不退位和退位整合成1課時，連加連減、加減混合整合成1課時。這樣的整合注重知識內(nèi)容的整體呈現(xiàn)，強調(diào)內(nèi)容之間的相互關(guān)聯(lián)，從而促進認知結(jié)構(gòu)的完善。學生會更關(guān)注計算的本質(zhì)，打通不同課時之間的連接，從原來的數(shù)學技能的累加轉(zhuǎn)化為數(shù)學計算方法的理解。

二、百以內(nèi)加減法教學材料選擇的“變與不變”

1.計數(shù)器和小棒的特點和優(yōu)勢

為了使學生理解算理和掌握算法，在不同版本的教材中都提供了兩種計數(shù)模型，也就是小棒圖和計數(shù)器，這兩種計數(shù)模型分別具有怎樣的特點和優(yōu)勢呢？小棒圖是介于實物模型與幾何模型之間的一種半抽象模型。學生在一年級數(shù)的認識教學中，就經(jīng)歷了實物計數(shù)到小棒計數(shù)的過程。小棒圖的最大特點是“十根一捆”便于學生操作，還能很形象地教學“滿十進一”的十進制位置計數(shù)法原理?！笆北硎?0個一，“一捆”表示1個十，學生借助小棒圖能十分形象地建立對數(shù)的表征。計數(shù)器是抽象化的計數(shù)工具，它采用了十進制位置計數(shù)法來對數(shù)進行表征。和小棒圖相比它抽象程度更高，計數(shù)更簡單。

2.不同版本教材對材料的選擇

上述整合基于算理的溝通，接下來我們具體來看百以內(nèi)加減法不同版本教材中分別是以什么材料來呈現(xiàn)的（如表2）。

人教版：二年級上冊從百以內(nèi)加減法的列豎式引入，用小棒圖進行圖式的溝通，豎式里的每一部分，都借助小棒圖進行了聯(lián)系。每一步的含義、計算的過程都是在理解中進行的。所以可以很明顯地看出人教版教材注重了算理的教學，而不僅僅是數(shù)學運算技能的傳授。

蘇教版：教材更注重對算理的理解。與人教版不同的是，蘇教版教材細化了算理。從兩位數(shù)加減一位數(shù)算理開始，都是用小棒圖進行理解的。到了兩位數(shù)加減兩位數(shù)時不僅僅用到了小棒圖，而且還用到了計數(shù)器。

北師大版：相比蘇教版和人教版，北師大版從一開始就引入了位值中的方塊圖和計數(shù)器來理解算理，弱化了以小棒圖為主要呈現(xiàn)材料的作用。這樣，思維更易從具體形象過渡到了抽象，更注重了在位值中滿十進一，和不夠減退1的理解。

美國加州教材：相比較國內(nèi)的教材，美國加州的教材既沒有出現(xiàn)計數(shù)器，也沒有采用小棒圖，而是借助了數(shù)位中的方塊圖來進行算理的教學。美國加州教材把百以內(nèi)數(shù)的加減法分開教學，并且教學中將橫式與豎式同時呈現(xiàn)，豎式在美國加州教材中已經(jīng)不僅僅是計算的輔助工具了。教材還將估算引入教學，估算的鋪墊為學生后面對計算結(jié)果的檢驗埋下了伏筆。然后教材結(jié)合數(shù)位和方塊圖進行算理的教學，同時教材把正方體上下擺放，把豎式的計算形式以形象的方式表征出來，使得算理有了具體形態(tài)的支撐，其實相當于應(yīng)用了計數(shù)器和小棒結(jié)合的原理進行算理的分析。并且當計算完成后，又用估算對計算結(jié)果進行了檢驗。

3.整合后教學目標的定位

綜合上述原因，如果打通了百以內(nèi)數(shù)加減法的算理，學生的理解程度是可以達到的。不需要進行計算技能的累加，只要抓住了計算的本質(zhì)學生是可以掌握的。所以這就要求我們在整合百以內(nèi)加減法單元時，創(chuàng)造性地使用教材，把加法歸到同一課時，減法歸到同一課時，連加連減與加減混合并成一個課時，這樣，減輕了學生知識累加的負擔，在充分理解算理的基礎(chǔ)上進行系統(tǒng)性的學習，做到了關(guān)聯(lián)性的智性連接。百以內(nèi)數(shù)的加減單元整合后，教學目標舉例如表3。

數(shù)的運算是小學數(shù)學最為基礎(chǔ)的技能，貫穿于小學數(shù)學教學的全過程。數(shù)的運算領(lǐng)域的整合課突出的是對計算方法和算力的理解，把握了算理的本質(zhì)，學生學起來就會融會貫通。

三、結(jié)合“變與不變”整合加減法教學的建議

1.厘清加減法算理，溝通計算本質(zhì)

百以內(nèi)數(shù)的加減法都是相同數(shù)位相加減，滿十進一，不夠減向前一位借一當十。如教學中同時呈現(xiàn)了不進位和進位加（如圖1）。學生原來對不進位加不退位減都有很好的學前基礎(chǔ)，所以對學生來說他們的學習難點在于進位加法和退位減法的算理，為什么個位滿十要向十位進一，個位不夠減要向十位借一當十，整合后的課程學生更容易突破學習難點，提高了課堂的教學效率。

2.選擇結(jié)構(gòu)化材料，驅(qū)動任務(wù)整合

教師在教學設(shè)計時，提供結(jié)構(gòu)化材料，以大任務(wù)為驅(qū)動，以問題或任務(wù)為載體，開展學生自主探究為主的學習活動。多角度來延伸學生對數(shù)的體驗，教師在教學中進行適當引導(dǎo)和追問，在任務(wù)驅(qū)動下學生對算理進行理解。如“百以內(nèi)數(shù)的加法”從計數(shù)器引入，避開了小棒圖直接從更高級的算理入手（如圖2、圖3）。接著根據(jù)計數(shù)器來寫算式，使學生對算理的理解前置，主動運用了相同數(shù)位相加，滿十進一的計算法則。

3.結(jié)合抽象和具體，理解計算過程

什么樣的教學手段才是最貼近計算本質(zhì)的，最能讓學生舉一反三地學習，把兩位數(shù)的加減法算理推廣到更高的數(shù)位。我們可以發(fā)現(xiàn)國外的教材比我們的思路更大膽，更具有綜合性。我們不妨結(jié)合美國教材中的數(shù)位和方塊圖對算理再次理解，同時結(jié)合估算對計算結(jié)果進行檢驗，把橫式和豎式同時進行教學，讓學生在數(shù)位中理解滿十進一，在方塊圖中尋求形象的算理支撐。把這樣的算理推廣到百位，甚至更高的數(shù)位，而不是僅僅局限于兩位數(shù)加減法本身。

縱觀小學數(shù)學第一學段數(shù)的運算領(lǐng)域，怎樣找到“整合”的切入點，整合什么，用怎樣的結(jié)構(gòu)化材料“整合”，這些都是需要我們在“變與不變”中思考的問題。百以內(nèi)數(shù)的加減法是小學階段學生計算學習的種子課[2]，對這樣的計算起始課進行整合不僅僅是對課時的壓縮，更是對數(shù)學運算本質(zhì)的深入體驗?；诮Y(jié)構(gòu)化視角下的小學數(shù)學整合課程需要教師對所學材料的結(jié)構(gòu)有清晰的了解，引導(dǎo)學生掌握知識本質(zhì)，打通知識之間的連接，引領(lǐng)學生對知識的智性學習，從“聯(lián)”的角度來銜接缺少溝通的知識體系。

參考文獻

[1] 陳燕虹.數(shù)學學習心理學與數(shù)學學習[J].小學數(shù)學教師，2019（02）.

[2] 俞正強.種子課[M].北京：教育科學出版社，2013.

[責任編輯：陳國慶]