掌握解題規(guī)律,提升核心素養(yǎng)*
——以解決多元最值問題為例

江蘇省西亭高級中學(xué) (226300) 瞿春波

近年來在各級各類考試中經(jīng)常出現(xiàn)求解多元最值問題，這些問題字母多、式子繁、涉及知識面廣、技巧性強，很多學(xué)生解答時思維受阻，導(dǎo)致得分率較低．筆者根據(jù)自身的教學(xué)實踐和方法積累，同時以2019模擬試題為例，介紹解決此類問題的10種優(yōu)化策略，供讀者參考.

1.利用基本不等式

利用基本不等式求最值，關(guān)鍵在于“拆、拼、湊”，將條件式或待求式變形為“和或積”為定值.常見的變形技巧有轉(zhuǎn)化符號、拆補項、配湊系數(shù)等.

點評:抓住待求式中分母可以分解為一次因式乘積的特征，對分母實施雙換元，再利用“1”代換.當(dāng)然，此題還可以通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)解決.

點評:三角形與不等式交匯問題是近幾年高考及?？汲Ｒ婎}型，具有江蘇卷特色，此類題的破解策略大致有轉(zhuǎn)化為邊、轉(zhuǎn)化為角、建系等幾種.

2.代入消元

若各變量之間存在某種關(guān)系，則將其中的某個變量用其余的變量線性表示，代入目標(biāo)式，從而化為一元(單變量)函數(shù)，再求最值．

例2 (2019南通名師高考原創(chuàng)卷(二))已知正數(shù)x,y滿足xy(x+2y)=2，則x+y的最小值為.

變式(2019南師附中高三上期中)已知實數(shù)x,y,z∈[0,4]，若x2,y2,z2，是公差為2的等差，則

3.整體換元

若已知(或待求)因式之間具有某種關(guān)系，則引入一個(或幾個)新的變量，替換掉原先某些因式.常見的換元方法有比(倍)值換元、差值(增量)換元、單換元、雙換元等.

4.三角代換

若條件式(或待求式)明顯反映出三角函數(shù)式特征，則以三角函數(shù)為“元”，將原問題轉(zhuǎn)化為三角問題，從而利用三角公式及三角函數(shù)性質(zhì)解決.

點評:將切化為弦，利用正余弦定理，再將角化為邊，經(jīng)過變形，得到兩個變量的平方和為“1”，于是三角換元(引入角參)，從而轉(zhuǎn)化為三角問題.

5.判別式法

若條件式(或目標(biāo)式)經(jīng)過恒等變形后可以整理為關(guān)于某個變量的一元二次方程，則利用“一元二次方程根的分布”求解參數(shù)范圍.

例5 (2019江蘇海門期中)設(shè)a,b是兩個正數(shù)，且a2b+3ab2=a-b，則b的最大值為.

點評:不難發(fā)現(xiàn)，此題條件為二元二次方程且“目標(biāo)”是求參數(shù)b，于是將原方程看成關(guān)于a的一元二次方程，利用方程有正根解決.

6.數(shù)形結(jié)合

若條件式或待求式具有某種幾何意義，則往往數(shù)形結(jié)合，如此處理直觀明了，化難為易.

例6 (2019蘇北四市高三下學(xué)期初模擬)

點評:此題難度不大，但得分率不高，與學(xué)生交流后，找到錯因：(1)漏掉可行域中的一個對稱區(qū)域；(2)錯誤認(rèn)為待求式表示原點與可行域中“頂點”的距離平方.

7.多元配方

若條件式(或目標(biāo)式)的結(jié)構(gòu)中蘊含二次關(guān)系時，則優(yōu)先考慮配方法[1].

例7 (2019浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)若正數(shù)a,b,c滿足a2+b2+c2-ab-bc=1，則c的最大值為.

點評:以a為主元，配方；再以b為主元，再配方，利用平方的非負(fù)性，構(gòu)造關(guān)于c的不等式.此題還可以將原等式先后轉(zhuǎn)化為關(guān)于a和b的一元二次方程，利用根的分布(兩次)解決.

8.轉(zhuǎn)化主元

如果某個表達式中含有多個變量且無法消元時，可以將其中某個變量看成主元，其余變量看成常量逐步處理[2]．

例8 (2019屆杭州高三上聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax-b對任意的a<0,b∈R都存在x0∈[1,m]，使得|f(x0)|≥1成立，則實數(shù)m的取值范圍為.

解析:由|lnx0-ax0-b|≥1，得b≤-x0a+(lnx0-1)，b≥-x0a+(lnx0+1)，將其看成關(guān)于a,b的二元一次不等式，則約束條件為

點評:此題利用絕對值性質(zhì)去掉絕對值，通過轉(zhuǎn)換主元(將a,b看成主元，x0看成參數(shù))機智的避開繁瑣的分類討論，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃解決.

9.待定系數(shù)法

將目標(biāo)式用條件式結(jié)合必要的待定系數(shù)表示出來，再進行“技術(shù)”處理求出待定系數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為研究新表達式的相關(guān)指標(biāo)[1]．

例8 (2019浙江寧波模擬)已知實數(shù)x,y滿足6x2+4y2+6xy=1，則x2-y2的最大值是.

10.構(gòu)造向量

向量是溝通代數(shù)和幾何的重要橋梁，也是解決非向量問題的“隱藏”工具，巧妙運用向量性質(zhì)解題可以使思路“豁然開朗”．

變式(2019江蘇如東高三期末)已知實數(shù)x,y滿足x2+y2≤1，則|2x+y-4|+|6-x-3y|的最小值為.(答案：5)

|3x+4y-10|=-(3x+4y)+10≥5.此題還可以根據(jù)條件中可行域，去掉待求式中兩個絕對值，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，但計算繁瑣，用時太多.

思維決定“行為”，思路決定“出路”，縱觀上述破解多元最值問題的10種策略(尤其是策略8,9，10)，背景新穎、交匯性強、題型多變、策略多樣，貫穿多個知識模塊，滲透多種數(shù)學(xué)思想方法．這就需要解題時深挖隱含條件、細(xì)心觀察條件式及目標(biāo)式結(jié)構(gòu)特征，從而找到解決此類問題的最佳路徑.