究竟錯在哪里
——談對一道中考題的異議

江蘇省南京市金陵中學(xué)西善分校 (210041) 郭源源

近日，筆者在研究分式方程增根問題時發(fā)現(xiàn)，2011年黑龍江省齊齊哈爾市中考數(shù)學(xué)試卷中選擇題第7題所給答案值得商榷，試分析如下：

一、原題呈現(xiàn)

A．0和3B．1C．1和-2D．3

本題參考答案為D．事實上這個答案不正確，下面筆者從原題解答、錯因追析、解析思考三個方面談?wù)勏敕ǎ?/p>

二、原題解答

查閱相關(guān)資料，參考答案選D的理由如下：

解：方程兩邊同乘(x-1)(x+2)，得x(x+2)-(x-1)(x+2)=m，整理解得x=m-2．

因為原分式方程有增根，則x=1或x=-2．當(dāng)x=1時，代入整式方程解得m=3；當(dāng)x=-2時，代入整式方程解得m=0．

三、錯因追析

1．多位思考，發(fā)現(xiàn)解法矛盾

反過來想，分式方程去分母化整后，若整式方程有唯一解，則整式方程的這個解要不成為原分式方程的解，要不成為原分式方程的增根，只有這兩種可能．而本題中若D正確，則原解中整式方程在m=0下的x=-2這個解，最后既不是原分式方程的解，也不是增根，那它是什么？此為矛盾之二．

2．借助矛盾，尋找錯誤根源

四、解析思考

數(shù)學(xué)家華羅庚說過：復(fù)雜的問題要善于退，足夠的退，退到最原始而又不失重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅．筆者認(rèn)為，要想徹底弄清分式方程增根問題，需退回到理解增根產(chǎn)生的原因．即去分母的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)，可等式的基本性質(zhì)中同乘或除以的必須是一個不為0的整式，而分式方程去分母卻無法保證同乘的最簡公分母是否為0，故這一步是有漏洞的，因此最后的解需要代入最簡公分母中檢驗，若不為0，則去分母步驟成立，解也沒問題；若為0，則去分母步驟錯誤，最后的解也就成為了增根．歸根到底，增根產(chǎn)生的原因是去分母同乘了0，導(dǎo)致未知數(shù)的取值范圍被擴(kuò)大．所以原題中的分式方程，去分母化整后，依據(jù)增根推出的m=0或m=3，步驟是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模季S是全面的，兩個值都符合題意，無需代入檢驗．

由此可見，分式方程的增根和失根問題往往是變形過程違反了方程的同解原理，是思維不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)捏w現(xiàn).[2]只有站在概念本質(zhì)和解法原理的角度審視出現(xiàn)的問題，追析錯因，才能真正幫助學(xué)生從數(shù)學(xué)內(nèi)涵和數(shù)學(xué)發(fā)展上更清晰更深刻地認(rèn)識數(shù)學(xué)知識．