一道2020年新高考Ⅱ卷圓錐曲線解答題的探究及探源

羅文軍

2020年新高考Ⅱ卷解答題的21題是一道圓錐曲線試題，考查了橢圓的定義、幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系和橢圓的定值問題，考查了函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查了運算求解能力和推理論證能力，旨在考查數(shù)學運算、邏輯推理和直觀想象的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，兩問之間具有很好的梯度性，第（1）問較簡單，第（2）問難度較大，具有很好的區(qū)分度，便于高校選拔優(yōu)秀人才. 以下對這道試題進行解法探究、變式探究和源頭探究.

一、真題再現(xiàn)

21. 已知橢圓C：■+■=1（a>b>0）過點M（2， 3），點A為其左頂點，且AM的斜率為■，

（1）求C的方程;

（2）點N為橢圓上任意一點，求△AMN的面積的最大值.

二、解法探究

【分析】（1）由題意分別求得a， b的值即可確定橢圓方程.

【解析】（1）由題意可知直線AM的方程為：y-3=■（x-2），即x-2y=-4.

當y=0時，解得x=-4，所以a=4，

橢圓C：■+■=1（a>b>0）過點M（2， 3），可得■+■=1，

解得b2 =12.

所以C的方程：■+■=1.

（2）【分析1】首先利用幾何關(guān)系找到三角形面積最大時點N的位置，然后聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合判別式確定點N到直線AM的距離即可求得三角形面積的最大值.

【解法1】設與直線AM平行的直線方程為：x-2y= m，

如圖所示，當直線與橢圓相切時，與AM距離比較遠的直線與橢圓的切點為N，此時△AMN的面積取得最大值.

聯(lián)立直線方程x-2y= m與橢圓方程■+■=1，

可得：3（m+2y）2 +4y2 =48，

化簡可得：16y2+12my+3m2 -48=0.

所以？駐=144m2 -4×16（3m2 -48）=0，即m2=64，解得m=±8，

與AM距離比較遠的直線方程：x-2y= 8，

直線AM方程為：x-2y= -4，

點N到直線AM的距離即兩平行線之間的距離，

利用平行線之間的距離公式可得：d=■+■，

由兩點之間距離公式可得 |AM|=■=3■.

所以△AMN的面積的最大值：■×3■×■=18.

【分析2】借助橢圓■+■=1（a>b>0）的參數(shù)方程x=acos？漬y=bsin？漬（其中？漬為參數(shù)），設出點N的坐標，化為三角函數(shù)最值問題，利用輔助角公式求橢圓上的點N到橢圓的弦AM的最大距離.

【解法2】由第（1）問解答過程可知直線AM的方程為x-2y+4=0，橢圓■+■=1的參數(shù)方程為x=4cos？琢，y=2■sin？琢（其中？琢為參數(shù)），

設點N的坐標為（4cos？茲， 2■sin？茲），由點到直線距離公式可得，

點N到直線AM的距離為d=■=

=■=■，當cos（？茲+■）=1時，即？茲=■時，

d取得最大值dmax=■，

由（1）可知N（-4， 0），由兩點間距離公式可得|AM|=3■，

所以△AMN的面積最大值為（S△AMN）max=■|AM|dmax=■×? 3■×■=18.

【分析3】利用伸縮變換？漬：x′=？姿·x（x>0）y′=？滋·y（y>0）的性質(zhì)解答，在變化？漬下，n邊形A1A2A3…An（n≥3且n∈N？鄢）變?yōu)閚邊形A1′A2′A3′…An′（n≥3且n∈N？鄢），變換前后圖形的面積之比為■=■.

【解法3】在伸縮變換？漬：x′=■x，y′=■y下，橢圓C：■+■=1對應圓O′：x′2+y′2=1，橢圓C上的點A，M，N分別對應圓O′上的點A′，M′，N′，

因為直線AM的方程為x-2y+4=0，所以直線A′M′的方程為x′-■y′+1=0，

圓心O′到直線A′M′的距離為d=■=■，

圓上O′的點N′到圓O′的弦A′M′的最大距離為h=d+r=■+1=■，

|A′M′|=2■=2■=■，

所以△A′M′N′的最大面積為（S△A′M′N′）max=■|A′M′|d=■×■×■=■，

由伸縮變換性質(zhì)可得，△AMN的最大面積為（S△AMN）max=■=■=18.

【評注】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：

（1）注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件;

（2）強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題.

（3）涉及橢圓的圓錐曲線問題，可以考慮參數(shù)方程法和極坐標法.

三、變式探究

變式1 已知△ABC為橢圓■+■=1的內(nèi)接三角形，且AB過點P（1， 0），則△ABC的面積的最大值為____________.

【解析】經(jīng)過伸縮變換x′=■，y′=■，得△A′B′C′內(nèi)接于單位圓x′2+y′2=1，A′B′過點P′（■， 0），

S△ABC=6S△A′B′C′，設坐標原點O′（0， 0）距A′B′的距離為t，則0≤t≤■，|A′B′|=2■，

S△A′B′C′≤■·（1+t），當t=■時，S△A′B′C′有最大值為■，所以S△ABC的最大值為■.

【評注】本題也是求橢圓的內(nèi)接三角形的面積的最值問題，運用伸縮變換法，結(jié)合伸縮變換的性質(zhì)，將橢圓的內(nèi)接△ABC的面積的最大值問題化歸為單位圓的內(nèi)接△A′B′C′的面積的最大值問題.

變式2. 已知橢圓C：■+■=1（a>b>0）的一個頂點為A（2， 0），離心率為■. 直線y= k（x-1）與橢圓C交于不同的兩點M，N.

（1）求橢圓C的方程;

（2）求△AMN面積的最大值.

【解析】（1）由題意得，a=2，■=■a2=b2+c2，，解得b=■，

所以橢圓C的方程為■+■=1.

（2）解法1：由y= k（x-1），■+■=1聯(lián)立消去y可得，

（1+2k2）x2-4k2x+2k2-4=0，

△=16k4-4（1+2k2）（2k2-4）=24k2+16>0，

設M（x1， y1），N（x2， y2），由根與系數(shù)關(guān)系可得，

x1+x2=■，x1x2=■，

由弦長公式可得，|MN|=■

=■=■，

由點到直線距離公式可得，點A（2， 0）到直線y= k（x-1）的距離d=■，

所以△AMN的面積為S=■|MN|d=■=■，

設t=1+2k2，則k2=■，

則S（t）=■，（t≥1），

S（t）=■=■，（0< t ≤1），

所以當■=1時，S取得最大值■.

【評注】本題與前面真題相比，第（2）問也是求與橢圓有關(guān)的三角形的面積的最值問題，不同點在本題最后運用了換元法，利用了二次函數(shù)的性質(zhì)求出了△AMN的面積的最值.

變式3. 平面直角坐標系xOy中，過橢圓C：■+■=1（a>b>0）的左焦點的直線x+y+■= 0交于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為■.

（1）求C的方程;

（2）M，N為C上的兩點，若四邊形AMBN的對角線MN⊥AB，求四邊形AMBN面積的最大值.

【解析】（1）設A（x1， y1），B（x2， y2），P（x0 ， y0），

則■+■=1，■+■=1，■=-1，

由此可得■=-■=1，

因為x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，■=■，

所以a2=2b2，

又由題意知，C的左焦點為（-■， 0），故a2-b2=2，所以a2=4，b2=2，

所以的方程為■+■=1.

（2）由x+y+■= 0，■+■=1聯(lián)立可得，3x2+4■x=0，

解得x1=- ■，y1=■，x2= 0，y2=-■，

因此 |AB|=■，

由題意可設直線MN的方程為y=x+t，

因為點A，B在直線MN的兩側(cè)，所以（- ■-■+t）（■+t）<0，

所以-■< t <■，設M（x3， y3），N（x4， y4），

由y=x+t，■+■=1，消去y可得，3x2+4tx+2t2-4=0，

x3， 4=■，

由弦長公式可得，|MN|=■|x3-x4|=■|■|=■■，

由已知四邊形AMBN的面積S=■|MN||AB|=■■，

當t=0時，S取得最大值，最大值為■，

所以四邊形AMBN的面積的最大值為■.

【評注】與前文真題相比較，本題第（2）也是橢圓的最值問題，不同在于本題第（2）問是橢圓的對角線互相垂直的內(nèi)接四邊形面積最值問題，最后運用了二次函數(shù)值域求出了四邊形AMBN的面積的最大值.

變式4. 已知橢圓？祝：■+■=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，橢圓？祝的四個頂點恰好構(gòu)成了一個邊長■為且面積為2■的菱形.

（1）求橢圓？祝的標準方程;

（2）已知直線l1，l2 均過點F2，且直線l1，l2 的斜率的乘積為-■，設直線l1，l2 與橢圓？祝分別交于點A，B和點C，D，線段AB的中點為M，線段CD的中點為N，求△OMN（O為坐標原點）面積的最大值.

【解析】（1）因為橢圓？祝的四個頂點恰好構(gòu)成了一個邊長為■且面積為2■的菱形，

所以■×2a×2a=2■，a2+b2=（■）2，解得a= ■，b=1，（2分）

所以橢圓？祝的標準方程為■+y2=1.（4分）

（2）設直線l1的方程為y=k（x-1），A（x1， y1），B（x2， y2），

將y=k（x-1）代入■+y2=1，消去y可得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，所以x1+x2=■，

因為線段AB的中點為M，所以xM =■=■，yM =■，（6分）

因為直線l1，l2的斜率的乘積為-■，所以直線l2的方程為y=-■（x-1），（7分）

同理可得xN =■，yN =■，

所以M（■， ■），N（■， ■），（9分）

設線段MN的中點為T，則T（■， 0），

所以S△OMN=■|OT||yM-yN |=■|■|=■×■=■×■≤■，（11分）

當且僅當2|k|=■，即k=±■時取等號，

所以△OMN面積的最大值為■.

【評注】本題第（2）問也涉及到橢圓中的三角形面積最值問題，最后把△OMN的面積用k表示，再運用基本不等式可得求解.

三、源頭探究

以下對前文真題進行源頭探究.

2020年新高考Ⅱ卷解答題的21題可以看成改編自2014年全國Ⅰ卷理科第20題：已知點A（2， 0），橢圓E：■+■=1（a>b>0）的離心率為■，F(xiàn)是橢圓的焦點，直線AF的斜率為■，O為坐標原點.

（1）求E的方程;

（2）設過點A的直線l與E相交于P，Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求l的方程.

四、備考建議

在高三一輪復習和二輪復習中，要打破畫地為牢，將坐標系與參數(shù)方程部分和圓與圓錐曲線部分的復習放在一起作為一個體系. 考生要嘗試運用一題多解，例如運用坐標系與參數(shù)方程中的參數(shù)方程法和伸縮變化法破解橢圓的最值、定值和定點問題，將極坐標方程化為直角坐標方程解答，將參數(shù)方程消參后化為普通方程解答，通過伸縮變化將橢圓問題化為關(guān)于圓的問題.通過這部分復習，要熟練運用函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，提高運算求解能力和推理論證能力，提升數(shù)學運算、邏輯推理和直觀想象的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

責任編輯 徐國堅