數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

白 輝

(徐州市銅山區(qū)伊莊鎮(zhèn)中心中學(xué) 江蘇徐州 221000)

形和數(shù)是數(shù)學(xué)中最基本的兩種研究對象[1]。從數(shù)學(xué)學(xué)科的具體特點(diǎn)來看，形與數(shù)這兩種要素可以在一定條件下實(shí)現(xiàn)相互轉(zhuǎn)化。所謂數(shù)形結(jié)合，主要是指把空間形式的形象直觀與數(shù)量關(guān)系的精確刻畫密切結(jié)合，并調(diào)用幾何與代數(shù)的雙面工具，揭露問題的深層結(jié)構(gòu)，進(jìn)而達(dá)到解決問題的目的的思維活動。從實(shí)際的教學(xué)情況來看，數(shù)形結(jié)合作為數(shù)學(xué)思想最重要的構(gòu)成內(nèi)容之一[2]，是貫穿于初中數(shù)學(xué)教學(xué)全過程的重要內(nèi)容之一，對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提高具有十分重要的意義。因此，在組織初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動時，教師應(yīng)對數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵有更準(zhǔn)確的理解，并根據(jù)實(shí)際的教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生具體的學(xué)習(xí)特點(diǎn)實(shí)施更有針對性的教學(xué)策略，不斷完善和優(yōu)化每一個教學(xué)環(huán)節(jié)，從而循序漸進(jìn)地促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量的提升。

一、以形化數(shù)

初中階段的數(shù)學(xué)知識已經(jīng)具有一定的抽象性與邏輯性[3]。這種知識特點(diǎn)主要是通過數(shù)量關(guān)系體現(xiàn)出來的。因此，學(xué)生有時難以理解和把握數(shù)量關(guān)系。與之相對應(yīng)，圖形的優(yōu)勢在于直觀和形象。在組織初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動時，教師可以構(gòu)建形與數(shù)之間的特定結(jié)構(gòu)關(guān)系，再根據(jù)這種結(jié)構(gòu)關(guān)系，將數(shù)量問題轉(zhuǎn)化為圖形問題，以幾何語言的直觀形式呈現(xiàn)代數(shù)語言，從而避免冗長、復(fù)雜的推理或計(jì)算，幫助學(xué)生理解抽象、晦澀的代數(shù)關(guān)系。

以“不等式的解集”為例，在此前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)對“不等式”的相關(guān)概念有了初步了解。比如，3x＞50這個不等式，筆者引導(dǎo)學(xué)生通過多次試值的方式計(jì)算出了解，讓學(xué)生初步認(rèn)識到了不等式解的無限性，并借此引出了“解集”的基本概念。為了使學(xué)生對不等式的解集有更加直觀的了解，筆者將數(shù)軸融入這一節(jié)的教學(xué)中，通過數(shù)軸，讓學(xué)生直觀地了解了不等式的解有無限多個，并幫助學(xué)生了解了不等式的解集和方程的解之間的區(qū)別。而在之后“一元一次不等式組”的教學(xué)中，數(shù)軸這種幾何圖形的優(yōu)勢體現(xiàn)得更充分。筆者帶領(lǐng)學(xué)生根據(jù)不等式的性質(zhì)求出不等式組中兩個不等式的解集，然后，將兩個解集在同一個數(shù)軸上表示出來，數(shù)軸上兩個解集的公共部分就是不等式組的解集。之后，結(jié)合不同情況的數(shù)軸，學(xué)生可以逐漸歸納出以下規(guī)律：同大取大，同小取小，小大大小中間找，小小大大無處找(沒有解)。最終，借助數(shù)軸，學(xué)生對不等式及不等式組的解集有了比較直觀的了解。

二、以數(shù)變形

盡管圖形在表現(xiàn)形式上十分直觀和形象，能夠?qū)⒊橄蟮乃季S有效呈現(xiàn)出來，但在定量時，學(xué)生依然需要借助代數(shù)進(jìn)行計(jì)算。也就是說，在數(shù)學(xué)活動中，單純的圖形模式通常是不具備實(shí)際意義的，尤其是在面對一些比較簡單或相對復(fù)雜的圖形時，如果不能從觀察中得出結(jié)論或規(guī)律，那么，研究者就要挖掘圖形中的隱含條件，將幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量問題，并通過一定的邏輯推理或分析、計(jì)算去解讀圖形的深層含義。因此，在數(shù)形結(jié)合模式中，以數(shù)變形同樣是一種十分重要的形式。

在“線段、角的軸對稱性”這一節(jié)中，“角平分線的性質(zhì)”是一個十分重要的知識點(diǎn)。在教學(xué)這一知識內(nèi)容時，筆者引導(dǎo)學(xué)生借助平分角的儀器的基本原理(三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等)，探索了用尺規(guī)繪制角平分線的基本方法。然后，學(xué)生動手折紙，進(jìn)行實(shí)踐。在操作中，學(xué)生觀察了折痕的長度(數(shù)量)，初步了解了角平分線的性質(zhì)。接著，筆者設(shè)計(jì)了這樣一個問題：在一張比例尺為1∶20 000厘米的地圖上，鐵路和公路相交成四個角。如果要在其中任意一個角的所在區(qū)域建造一個農(nóng)貿(mào)市場，并使其到鐵路與公路的距離均為600米，那么，這個農(nóng)貿(mào)市場應(yīng)該建于何處？請?jiān)趫D中標(biāo)示出來。學(xué)生根據(jù)角平分性質(zhì)的相關(guān)知識自主解答了這個問題。通過解決這個問題，學(xué)生熟練掌握了數(shù)量計(jì)算中角平分線(圖形)的性質(zhì)。

三、形數(shù)互變

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法解決一些比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時，僅靠“以形化數(shù)”或“以數(shù)變形”是比較難的。這就需要利用恰當(dāng)?shù)姆绞竭M(jìn)行數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化。形數(shù)互變的方式可以使學(xué)生對相關(guān)數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生更加全面的認(rèn)識，促使學(xué)生加深對知識的理解。

如“函數(shù)”是初中數(shù)學(xué)一個非常重要的組成部分。需要指出的是，函數(shù)是一個純代數(shù)意義的概念。僅用解析式法或者列表法，學(xué)生很難直觀了解函數(shù)概念的變化過程。而僅用函數(shù)圖像進(jìn)行理解，學(xué)生又難以深入理解函數(shù)的性質(zhì)。因此，在教學(xué)函數(shù)內(nèi)容時，筆者引導(dǎo)學(xué)生將函數(shù)中的有序?qū)崝?shù)對(x，y)在平面直角坐標(biāo)系中一一標(biāo)注出來，從而將函數(shù)關(guān)系及其圖像結(jié)合了起來。利用這種方法，筆者建立了平面圖形與函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，也建立了平面圖形特性與函數(shù)參數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系。以“一次函數(shù)”為例，解析式y(tǒng)=kx+b(k≠0)并沒有直觀體現(xiàn)系數(shù)k和常數(shù)b對函數(shù)變化趨勢的影響。于是，筆者引導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中建立了一次函數(shù)圖像。根據(jù)函數(shù)圖像經(jīng)過的象限及直線的變化趨勢，學(xué)生分析了k、b等數(shù)量對函數(shù)值的影響。最終，通過形數(shù)互變的方法，學(xué)生對函數(shù)的代數(shù)關(guān)系及其幾何性質(zhì)有了更加準(zhǔn)確的理解。

總體而言，數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)的重要數(shù)學(xué)思想。教材中很多知識都蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合的方法。因此，在組織初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動時，教師應(yīng)深入挖掘教材內(nèi)容，利用恰當(dāng)?shù)姆绞?，將?shù)形結(jié)合思想滲透于教學(xué)活動全過程中，促使學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想不斷發(fā)展。