立體幾何體積的三種常規(guī)解題方法分析

楊 徽

(重慶市酉陽(yáng)第一中學(xué)校 重慶酉陽(yáng) 409800)

引言

筆者從歷年的高考數(shù)學(xué)卷題目分布研究中發(fā)現(xiàn)，立體幾何在整張數(shù)學(xué)卷子中所占比例很大。立體幾何的題目一般會(huì)在選擇、填空題的最后幾題和大題的第二、三題的位置中分布，主要考查學(xué)生對(duì)立體幾何基本知識(shí)點(diǎn)的了解程度，以及對(duì)立體幾何與向量、平面幾何等知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合的理解能力。[1]

一、適當(dāng)分割，多個(gè)求和

一般的數(shù)學(xué)考題中，關(guān)于體積的計(jì)算，不會(huì)是一個(gè)簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的長(zhǎng)方體、正方體或是三棱錐，而是幾個(gè)長(zhǎng)方體、正方體的結(jié)合形成的多面體，求它們相結(jié)合形成的體積。[2]在此類型中，最常見的解題方法就是分割法，把多面體分割成幾個(gè)我們常見的立體幾何。然后，分別求出每個(gè)分割體的體積。最后，將所有的分割體體積相加，就能得出總體積了。例如，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，EF//AB，EF=1.5，EF與平面AC的距離為2。那么，該多面體的體積是多少？在本題中，由于多面體ABCDEF是一個(gè)不規(guī)則的立體幾何圖形，我們無(wú)法用常見的立體幾何的體積算法，去計(jì)算該多面體ABCDEF的體積。此時(shí)，我們便可以運(yùn)用分割法的知識(shí)，將多面體ABCDEF分割成常見的立體幾何，再進(jìn)行計(jì)算。我們先連接BE、CE構(gòu)成一個(gè)新的平面BCE，這個(gè)平面將多面體ABCDEF分割成了四棱錐E-ABCD和三棱錐E-BCF。此時(shí)，多面體ABCDEF的體積就等于四棱錐E-ABCD的體積加上三棱錐E-BCF的體積。教師可以引導(dǎo)學(xué)生得出V多面體ABCDEF=VE-ABCD+VE-BCF，在進(jìn)行求解。

二、先補(bǔ)后減，整體計(jì)算

第二種關(guān)于立體幾何體積的常見算法，是與分割法相對(duì)的補(bǔ)形法。我們把題中所給的多面體用常見的立體幾何加以拼湊，把它拼成常見的立體幾何。然后，在求出這個(gè)大的立體幾何的體積后，再把補(bǔ)上去的，小的立體幾何的體積算出來(lái)，兩者相減就能得出多面體的總體積了。例如，已知斜三棱柱的側(cè)面A1ACC1與平面ABC垂直，∠ABC是直角，BC=2，AC=，且AA1⊥A1C，AA1=A1C，求點(diǎn)C到側(cè)面A1ABB1的距離。

對(duì)于斜三棱柱ABC-A1B1C1。因?yàn)?，是斜三棱柱的緣故。所以，在?jì)算點(diǎn)C到平面A1ABB1D距離時(shí)，兩者是線面關(guān)系，線面關(guān)系會(huì)很難計(jì)算。此時(shí)，我們便可以運(yùn)用第二種計(jì)算立體幾何的體積算法—補(bǔ)形法。將斜三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)成一個(gè)平行六面體ABCM-A1B1C1M1。然后，我們?cè)僭O(shè)點(diǎn)C到平面A1ABB1D的距離為d，而在平行六面體ABCM-A1B1C1M1中，d也是平面A1ABB1與平面C1CMM1之間的距離，作A1D⊥AC于點(diǎn)D，作A1E⊥AB于點(diǎn)F。因?yàn)?，AA1=A1C，AC=，AA1⊥A1C。所以，A1D=。又因?yàn)椤螦BC是直角，BC=2。所以，AB=。因?yàn)?，?cè)面AA1CC1與底面ABC垂直，A1D⊥AC于點(diǎn)D。所以，A1D⊥AB，又A1E⊥AB于點(diǎn)F，已知AB⊥面A1ED。因而，AB⊥ED，又∠ABC是直角。所以，DE∥BC，D為AC中點(diǎn)，且，

三、等底等高，相互轉(zhuǎn)化

“等底等高，相互轉(zhuǎn)化”，即是我們常說(shuō)的等面積法。把原本不容易得出的底面面積或高，通過(guò)代替的方式轉(zhuǎn)化為比較容易得出的底面面積或高。當(dāng)我們?cè)谇笏拿骟wP-ABC的體積時(shí)，由于頂點(diǎn)P到底面ABC的距離h1不容易得出，我們可以換一個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，將四面體P-ABC換成四面體A-PBC。此時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，頂點(diǎn)A到面PBC的距離h2就可以很容易得出，從而我們可以計(jì)算出四面體A-PBC的體積，而這種簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化法就是我們常說(shuō)的等體積法。例如，在棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD=2，PD⊥底面ABCD，若PD=AD=l，請(qǐng)求出棱錐D-PBC的高。

∵底面ABCD是平行四邊形，且AB=2AD=2

∴AB=CD=2，AD=BC=1

又∵∠DAB=60°

∴由余弦定理可以算出BD=

∴BC⊥BD

又∵PD⊥底面ABCD

∴BC⊥PD

∴BC⊥平面PBD，BC⊥PB

在Rt▲PDB中

∵PB=2，V棱錐D-PBC=V棱錐D-PBC

即菱錐D-PBC的高為。

四、總結(jié)

總之，想要學(xué)好立體幾何，教師就要讓學(xué)生把立體幾何當(dāng)中的知識(shí)點(diǎn)理清楚。然后，在一般的基礎(chǔ)上理解體積計(jì)算的各種方法，明白每一種方法之間的變通，讓學(xué)生在實(shí)踐過(guò)程中能運(yùn)用這些巧妙的方法，更好地掌握該知識(shí)點(diǎn)。