相關變步長自適應算法在TDLAS系統(tǒng)中的應用

吳 臣，武 斌，陳 志，張永明

(1.天津城建大學計算機與信息工程學院，天津 300384；2.天津大學，精密測試技術(shù)及儀器國家重點實驗室，天津 300072)

0 引言

可調(diào)諧二極管激光吸收光譜(TDLAS)技術(shù)為基于朗伯-比爾定律(lambert-beer law)的紅外吸收光譜檢測技術(shù)的一種，在痕量氣體檢測中通常采用波長調(diào)制光譜(WMS)技術(shù)加入正弦調(diào)制信號，其中以鎖相放大器解調(diào)二次諧波信號從而反演氣體濃度最為常用[1-2]。測量系統(tǒng)中應用電路所產(chǎn)生的噪聲、光強調(diào)制中伴隨的剩余幅度調(diào)制(RAM)等噪聲會導致檢測結(jié)果信噪比低，使系統(tǒng)難以實現(xiàn)痕量氣體的高精度檢測[3]。目前，在TDLAS技術(shù)中常用的數(shù)字濾波方法有：Gabor變換[4]、加權(quán)滑動平均濾波算法[5]、奇異值分解矩陣分析方法[6]等，雖然提升了一定的信噪比，但對噪聲變化的適應性較差，因此采取自適應濾波算法以提升系統(tǒng)信噪比。

基于最小均方誤差(LMS)的自適應濾波算法能夠根據(jù)噪聲變化自適應調(diào)整濾波器權(quán)值系數(shù)以達到最優(yōu)濾波效果，而定步長LSM算法存在收斂速度與穩(wěn)態(tài)精度方面的矛盾，為解決此矛盾，覃景繁等提出的基于Sigmoid函數(shù)的SVSLMS自適應濾波算法[7]，路翠華等提出的基于箕舌線的變步長自適應算法[8]，盧炳乾等提出的基于正弦函數(shù)的新變步長LMS算法[9]，上述算法構(gòu)建了步長因子與誤差信號功率的函數(shù)關系，而在TDLAS系統(tǒng)噪聲消除應用中，算法收斂階段誤差信號是對不含噪聲的原始信號的最佳估計，所以原始信號的增大會使步長增大，影響算法的穩(wěn)態(tài)精度。文獻[10]所述MVSSLMS利用誤差信號前后時刻的自相關時間均值作為自變量對步長進行調(diào)節(jié)[10]，但在算法收斂階段其自相關均值較小，從而容易導致步長在算法未收斂前達到最小值，導致算法早熟。

為了更好地在TDLAS檢測系統(tǒng)中應用自適應濾波算法，本文提出的C-VSSLMS采用了新的步長更新函數(shù)并以輸入信號與誤差信號的相關系數(shù)調(diào)整步長因子，減弱了原始信號變化對步長的影響，應用仿真測試使用Simulink仿真平臺構(gòu)建TDLAS系統(tǒng)模型，并在信號處理部分嵌入基于改進算法的自適應濾波器，實驗結(jié)果表明改進算法在保證穩(wěn)態(tài)精度的同時具備了更快的收斂速度，并且對系統(tǒng)噪聲具備良好的抑制作用，達到了預期的效果。

1 TDLAS系統(tǒng)噪聲來源

在基于TDLAS技術(shù)的氣體檢測系統(tǒng)中，噪聲主要包括兩大部分，其一為殘余幅度調(diào)制(RAM)引起的基線漂移噪聲，其二為探測器噪聲等隨機噪聲。

激光器輸出波長在待測氣體可吸收峰附近小范圍掃描的同時，以波長調(diào)制技術(shù)對激光的波長進行高頻正弦調(diào)制，與此同時，激光器的輸出光強也會被調(diào)制，激光器光強調(diào)制分為線性調(diào)制和非線性調(diào)制，其中非線性部分會帶來剩余幅度調(diào)制(RAM)噪聲，RAM在二次諧波的檢測中會引入奇次諧波分量，導致二次諧波信號的線型畸變等問題，對氣體濃度反演造成影響[11-13]，輸出光強I(t)可表示為

(1)

因此系統(tǒng)中光電探測器輸出信號：

Iout(t)=I1(t)+I2(t)+N(t)

(2)

式中：I1(t)為激光器輸出光強調(diào)制線性部分經(jīng)光電探測器輸出的原始信號；I2(t)為激光光強調(diào)制的非線性部分，其會引起與被測特征無關的RAM噪聲；噪聲N(t)主要包括散粒噪聲、熱噪聲等，這部分噪聲具備白噪聲的頻譜特性。

2 基于相關系數(shù)的變步長自適應濾波

2.1 自適應濾波原理

基于LMS自適應濾波算法原理框圖如圖1所示，信號源包括原始信號s(i)以及噪聲n(i)，其作為自適應濾波器的期望信號d(i)輸入，針對期望信號中噪聲分量的估計信號作為自適應濾波器的輸入信號x(i)，濾波器輸出信號為y(i)，系統(tǒng)輸出的誤差信號為e(i)。其基本原理為經(jīng)基于最小均方誤差算法的迭代公式對數(shù)字濾波器的權(quán)系數(shù)W(i)進行自適應調(diào)節(jié)使濾波的輸出信號對期望信號中的噪聲分量進行逼近，當e(i)取最小值時即為原始信號s(i)的最佳估計。

圖1 自適應噪聲抵消原理框圖

基于最小均方誤差的自適應濾波算法中常用的迭代公式為

(3)

由式(3)可知，步長因子μ為固定值，從而選取較小的步長因子會導致算法前期收斂速度慢，迭代周期過長；而選取較大的步長因子雖然會使算法收斂速度快，但算法后期相對較大的步長因子導致算法穩(wěn)態(tài)誤差增大[13]，變步長算法的核心思想為算法初始階段有較大步長以加快收斂，在趨于收斂階段步長緩慢下降以具備較好的穩(wěn)態(tài)誤差[14]，故采用變步長自適應濾波算法。

2.2 改進的變步長自適應濾波算法

通過對TDLAS系統(tǒng)噪聲的分析可知在時域上存在原始信號與噪聲互不相關的特點，故變步長自適應濾波算法以輸入信號x(i)與誤差信號e(i)的相關性大小作為步長因子更新的自變量，并且在步長因子μ(i)更新的非線性函數(shù)模型選擇上以sinc函數(shù)為基本原型，通過對sinc函數(shù)的翻轉(zhuǎn)平移變換以滿足變步長的調(diào)整原則，而為了克服所選步長調(diào)整函數(shù)自變量定義域范圍過大導致步長過大從而使算法難以收斂的缺點，采用輸入信號與誤差信號的相關系數(shù)R[x(i),e(i)]作為自變量，其取值范圍為(0,1)，從而削弱了定義域范圍過大對步長因子取值的影響，由此可得步長μ(i)與R[x(i),e(i)]的表達式為

(5)

式中：β控制步長取值；α控制函數(shù)線型。

改變α、β2個參數(shù)對函數(shù)模型的影響如圖2所示。

圖2 參數(shù)β，α變化對函數(shù)模型的影響

由圖2可知，參數(shù)β控制步長的取值，步長μ與β成類正比關系，為了保證收斂階段算法具備較小的穩(wěn)態(tài)誤差，初始步長不宜過大，參數(shù)β選值應盡量小于1；參數(shù)α控制函數(shù)線型，由圖2可知，α值較大時算法前期步長不會過快衰減且線型越接近理想變化，但α的增大伴隨著算法復雜度的增加，使系統(tǒng)響應時間變長，因此綜合分析，對于參數(shù)α的取值應酌情選取在3～5，該參數(shù)范圍可以在保證算法穩(wěn)定性的前提下使算法前期具備較快的收斂速度。

根據(jù)對TDLAS系統(tǒng)噪聲分析中所述，噪聲與原始信號存在時域不相關的特性，因此本文采取以相關系數(shù)R[x(i),e(i)]作為步長因子更新函數(shù)的自變量，即：

(6)

由式(6)可知，相關系數(shù)R[x(i),e(i)]定量反映輸入信號x(i)與e(i)的相關性大小，x(i)為與噪聲相關的估計值，e(i)中存在原始信號分量與噪聲分量。在算法初期噪聲較強，x(i)與e(i)的相關性較大，即R[x(i),e(i)]的值較大，由式(5)知步長μ(i)亦較大，從而加快算法前期的收斂速度。在算法收斂階段，輸入信號x(i)經(jīng)自適應濾波器的調(diào)整逐漸逼近期望信號d(i)中的噪聲分量n(i)，此時誤差信號e(i)噪聲分量幾乎為0，即e(i)與x(i)相關性幾乎為0，由式(5)知步長μ(i)也近似為0，從而增加算法收斂階段的穩(wěn)態(tài)誤差，滿足了變步長自適應濾波算法的原理。文獻[7]SVSLMS算法、文獻[10]MVSSLMS算法與本文所提出的C-VSSLMS函數(shù)模型如圖3所示。

圖3 步長因子函數(shù)曲線模型

由圖3可知，本文算法在前期有較大步長從而加快收斂速度，與算法中期步長衰減相比MVSSLMS所述算法有更加平緩的過渡，從而克服MVSSLMS在中期衰減過快導致收斂階段步長過小的缺點，在算法收斂階段，相比文獻[11]所述SVSLMS算法，本文算法具備更為平緩的步長變化，從而降低了收斂階段的穩(wěn)態(tài)誤差，使算法具有更高的穩(wěn)態(tài)精度。

綜上所述，本文所述改進變步長自適應濾波算法迭代程序為

初始化

(1)x(0)=W(0)=[00…0]；

當i>0時，

(2)濾波：y(i)=xT(i)W(i)；

(3)誤差估計：e(i)=d(i)-y(i)；

(5)更新權(quán)值：W(i+1)=W(i)+2μ(i)e(i)x(i)。

2.3 基于改進算法的濾波器設計

在對TDLAS系統(tǒng)噪聲進行分析的基礎上，可以確定自適應濾波器的期望信號主要包括帶有氣體濃度信息的原始信號、剩余調(diào)制幅度(RAM)引起的偏移噪聲以及其他噪聲3部分，即：

(7)

式中：A為有用信號s(i)的系數(shù)；B為非線性部分幅值；C為具備白噪聲頻譜特性的噪聲幅值。

由式(7)可知，系統(tǒng)輸入的調(diào)制信號為單一頻率wa的正弦信號，而非線性部分頻率為輸入調(diào)制信號頻率的2倍，其他噪聲頻率較為復雜但幅值較小，因此三者近似可以作為互不相關信號。且幅值存在A>B>C，因此為了得到線性部分的原始信號，自適應濾波器要必須將剩余兩項進行有效濾除。

(8)

根據(jù)以上分析，改進后的基于變步長LMS算法的自適應濾波器的結(jié)構(gòu)框架如圖4所示。

圖4 改進的LMS自適應濾波器結(jié)構(gòu)框圖

改進的自適應濾波器結(jié)構(gòu)采用橫向FIR濾波結(jié)構(gòu)，以式(7)作為濾波器的期望信號，以式(8)作為自適應濾波器的輸入信號，即：

(9)

式中S(i)為原始信號。

由式(9)可知，濾波器輸入信號x(i)與期望信號d(i)中的噪聲分量具備較大相關性，而與原始信號s(i)相關性幾乎為0，故以輸入信號x(i)與誤差信號e(i)的互相關程度大小調(diào)整步長，以變步長自適應濾波算法對濾波器的權(quán)值系數(shù)進行自適應調(diào)整，從而輸入信號x(i)能夠完全預測期望信號中與之相關的噪聲分量，使濾波器輸出誤差信號e(i)達到原始信號s(i)的最優(yōu)估計，起到良好的去除噪聲的效果。

3 仿真分析

3.1 改進算法性能仿真分析

本文利用Matlab對改進算法的濾波效果以及算法收斂性與穩(wěn)態(tài)精度等方面的性能進行模擬仿真分析，并將本文改進算法與所述其余2種改進算法在收斂速度與穩(wěn)定誤差方面進行仿真對比。

首先對所述改進算法的濾波性能進行模擬仿真，濾波器結(jié)構(gòu)采用8階FIR橫向濾波結(jié)構(gòu)，期望信號為幅值為1，頻率為10 Hz的正弦信號并混疊均值為0信噪比SNR=5 dB的高斯白噪聲，即d(t)=sin(20πt)+n(t)，n(t)=awgn[s(t),5]；濾波器的輸入信號為噪聲分量的估計值x(t)=0.5n(t)，采樣頻率為1 000 Hz，采樣點數(shù)為1 000點，步長調(diào)整參數(shù)β設置為0.01，α設置為4，濾波器權(quán)值初始值設置為0。算法仿真結(jié)果如圖5所示。

(a)原始信號s(i)波形

(b)加噪聲后的波形

(c)自適應濾波后輸出波形圖5 本文改進算法在時域中去噪效果

由圖5可以直觀地展現(xiàn)出本文算法在自適應濾波方面的良好性能，通過對比原始正弦信號與濾波器輸出信號波形，定性分析可知由于算法前期處于迭代期，輸出信號信噪比較低，而在經(jīng)過迭代階段到達穩(wěn)態(tài)后，輸出信號基本還原了原始的正弦信號并起到了良好地抑制噪聲的作用，因此通過Matlab對改進算法在時域中的濾波性能仿真，基本可以證明本算法具備了較好的濾波性能并且在算法達到穩(wěn)態(tài)之后具有良好的穩(wěn)定性。

圖6所示為本文算法與文獻[7]、文獻[10]所述2種算法的步長衰減仿真結(jié)果。文獻[7]中的SVSLMS算法較快地收斂到最小值，并且由于步長對誤差信號的變化較敏感，算法收斂后步長穩(wěn)定性較差；文獻[10]中算法初期有較大步長增快收斂性，但中期迅速衰減至最小值，收斂階段步長雖然平穩(wěn)但步長衰減過快導致算法收斂略慢；本文算法在算法初期具備較大步長并且較為緩慢地衰減至最小值，使算法能夠不影響其穩(wěn)態(tài)精度的同時具備更快的收斂性，與理論分析相符。

圖6 步長與迭代次數(shù)關系曲線

為了驗證本文所述算法在算法收斂性與穩(wěn)態(tài)誤差方面的優(yōu)勢，通過Matlab對算法收斂速度進行仿真，自適應濾波器結(jié)構(gòu)與參數(shù)如上述進行設置，依舊采用正弦波混疊高斯白噪聲作為濾波器的期望信號輸入，輸入信號為噪聲分量相關的估計值，迭代次數(shù)為500次，并將仿真結(jié)果與其他算法對比，仿真所得輸出誤差信號e(i)與正弦信號s(i)的均方誤差與迭代步長的關系曲線圖如圖7所示。

圖7 均方誤差與迭代次數(shù)關系曲線

從圖7可以直觀地看出本文算法在收斂速度方面明顯優(yōu)于其他2種算法，相比SVSLMS算法，改進算法在算法收斂階段具備了更好的穩(wěn)態(tài)誤差，相對文獻[10]本文算法雖然在臨近收斂階段穩(wěn)態(tài)誤差起伏略大但收斂速度要比它快近30次迭代次數(shù)。因此進一步說明了本文改進算法不僅在濾波方面具備良好的性能，并且在算法的收斂速度與穩(wěn)定性上也同樣具備優(yōu)越性。

3.2 改進算法應用仿真分析

為了驗證本文變步長自適應濾波算法在基于TDLAS痕量氣體檢測系統(tǒng)中的去除噪聲的效果，本文依據(jù)朗伯-比爾定律以及諧波檢測理論，并基于實際TDLAS系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，通過Matlab軟件的Simlink模塊庫對基于自適應濾波算法的模擬TDLAS系統(tǒng)進行建模仿真與分析，仿真系統(tǒng)主要包括光源模塊，洛倫茲線型函數(shù)仿真模塊，氣體吸收仿真模塊，光電探測器模塊與基于鎖相放大器的數(shù)據(jù)處理模塊，仿真系統(tǒng)整體結(jié)構(gòu)圖如圖8所示。

圖8 TDLAS仿真系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

系統(tǒng)仿真中低頻掃描信號采用頻率f為1 Hz、幅值A為1 V的鋸齒波，高頻調(diào)制信號采用頻率ωa為30 kHz，幅值Va為0.05 V的正弦信號，二者疊加作為激光調(diào)制信號輸入，氣體吸收譜線中心值V0為6 731 cm-1常數(shù)模塊，光強輸入I0為5 mW常數(shù)模塊，模擬氣體吸收線型采用洛倫茲線型，模擬氣體吸收池常數(shù)(壓強、光程長等)的乘積模塊為0.001，調(diào)制深度為2.2，隨機噪聲n(i)為均值為0、方差為0.01的高斯白噪聲，自適應濾波器結(jié)構(gòu)設置與信號輸入均采用前面濾波器設計部分所述，最后對系統(tǒng)進行仿真，光電探測器仿真模塊輸出信號如圖9所示。

由圖9可知，光電探測器輸出信號包含原始信號、非線性調(diào)制部分以及系統(tǒng)噪聲，當信號處理單元為普通FIR抗混疊濾波器時，信號經(jīng)采樣后直接由雙路正交鎖相放大器解調(diào)二次諧波信號，輸出的二次諧波信號如圖10所示，當輸出信號首先進行自適應濾波處理后經(jīng)鎖相放大器解調(diào)輸出的二次諧波信號如圖11所示。

由圖10所示輸出的二次諧波信號雖然經(jīng)過低通濾波器去除了大部分噪聲，但殘留噪聲依舊對線型影響較大，甚至導致二次諧波信號主峰畸變，影響對所測氣體濃度的反演。通過對光電探測器模塊輸出信號進行自適應濾波后，鎖相放大器的輸出二次諧波信號如圖11中實線所示，與虛線理想二次諧波信號基本吻合，通過計算降噪前后2次輸出信號信噪比可知，經(jīng)過自適應濾波器的降噪作用，鎖相放大器輸出信號的信噪比提升了14.75 dB，因此表明基于變步長自適應濾波算法的數(shù)字濾波器能夠有效提高系統(tǒng)輸出二次諧波的信噪比。

圖9 光電探測器模塊仿真輸出

圖10 含噪聲的二次諧波信號

圖11 經(jīng)自適應濾波后輸出的二次諧波信號

4 結(jié)論

本文旨在提升TDLAS痕量氣體檢測系統(tǒng)輸出二次諧波信號信噪比，設計基于改進變步長自適應數(shù)字濾波系統(tǒng)，對系統(tǒng)中剩余幅度調(diào)制引起的偏移噪聲以及隨機噪聲起到良好的抑制作用。算法中采用誤差信號與輸入信號相關性大小為自變量，并進行應用性仿真實驗，測試結(jié)果表明TDLAS仿真系統(tǒng)輸出信號信噪比明顯提升，能夠很大程度抑制非線性調(diào)制所引起的二次諧波線型畸變，達到實驗預期去噪效果。應用仿真對后期實際TDLAS檢測系統(tǒng)的信號處理部分植入自適應數(shù)字濾波算法提供了理論支持，并且本文算法適用性強易于硬件實現(xiàn)，具備很廣闊的實際應用前景。