巧變構(gòu)學(xué)材妙阻負(fù)遷移

易文華

變構(gòu)學(xué)材，指教師基于兒童視角和立場，依據(jù)自己的學(xué)科理解和教學(xué)風(fēng)格，從學(xué)生已有的認(rèn)知出發(fā)，對(duì)以教材為主的教學(xué)資源進(jìn)行挖掘、整合、拓展，在合乎教育教學(xué)規(guī)律和學(xué)生學(xué)習(xí)規(guī)律的基礎(chǔ)上，重組學(xué)習(xí)內(nèi)容（學(xué)材）結(jié)構(gòu)、優(yōu)化課堂（呈現(xiàn)）結(jié)構(gòu)、變調(diào)要素（關(guān)系）結(jié)構(gòu)等，形成適合學(xué)生自主學(xué)習(xí)的材料。《整式乘法——完全平方公式》是人教版八年級(jí)上冊第十四章第二節(jié)第二課時(shí)的內(nèi)容。學(xué)生之前學(xué)習(xí)了整式的乘除法和平方差公式，并能運(yùn)用法則和公式進(jìn)行計(jì)算，但某些舊知識(shí)會(huì)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)完全平方公式有負(fù)遷移的影響，教師可以變構(gòu)學(xué)材，有效阻止負(fù)遷移。

一、預(yù)見負(fù)遷移，在知識(shí)發(fā)生點(diǎn)變構(gòu)學(xué)材

學(xué)生學(xué)習(xí)完全平方公式，受積的乘方公式（ab）2=a2b2負(fù)遷移的影響，極易錯(cuò)誤地認(rèn)為（a±b）2=a2+b2。因此，筆者沒有采用教材上從特殊到一般的方法歸納公式，而是在知識(shí)發(fā)生點(diǎn)變構(gòu)學(xué)材，設(shè)計(jì)了一個(gè)故事作為引入：一天，聰明的阿凡提向一個(gè)貪婪的財(cái)主提出用兩塊邊長分別為a和b的正方形土地?fù)Q他的一塊邊長為（a+b）的正方形土地，財(cái)主心想：“一塊土地?fù)Q兩塊，劃算！”，當(dāng)即表示同意。幾日后，財(cái)主怒氣沖沖地找到阿凡提要求取消之前的交換，但阿凡提又提出用一塊邊長為（a-b）的正方形土地?fù)Q回財(cái)主的兩塊正方形土地。財(cái)主心想：“上回一塊地?fù)Q他兩塊地吃了虧，這回兩塊地?fù)Q一塊地，應(yīng)該不吃虧，就這么定了！”，于是財(cái)主完成了第二次交換，阿凡提臉上露出了微笑。

筆者提問：“財(cái)主為什么怒氣沖沖？阿凡提臉上為什么露出了微笑？”學(xué)生馬上會(huì)比較第一次交換中阿凡提的土地面積a2+b2，財(cái)主的土地面積（a+b）2，猜想（a+b）2比a2+b2大，財(cái)主因?yàn)槌蕴澚?，所以怒氣沖沖。第二次交換中阿凡提的土地面積是（a-b）2，財(cái)主的土地面積是a2+b2，猜想（a-b）2比a2+b2小，阿凡提占便宜了所以露出了微笑。學(xué)生從故事中抽象出數(shù)學(xué)問題后，筆者再引出本節(jié)課的課題：完全平方公式。

筆者通過引入故事，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，即把（a+b）2、（a-b）2與a2+b2進(jìn)行比較，猜想它們不相等，遵循了完全平方公式的自然生成過程，讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)發(fā)生的必要性、合理性。

二、弱化負(fù)遷移，在知識(shí)生長點(diǎn)變構(gòu)學(xué)材

故事引入使學(xué)生初步建立（a+b）2、（a-b）2和a2+b2在數(shù)量上不相等的感性認(rèn)識(shí)，但它們之間是怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？筆者設(shè)計(jì)了三個(gè)活動(dòng)弱化負(fù)遷移，在知識(shí)的生長點(diǎn)變構(gòu)學(xué)材對(duì)他們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行重組與改造。

筆者先把事先準(zhǔn)備的邊長分別為a和b的小正方形紙片發(fā)給學(xué)生，讓他們動(dòng)手拼圖，比較這兩個(gè)小正方形紙片的面積與右圖的大正方形的面積，寫出大正方形面積與兩個(gè)小正方形面積之和的數(shù)量關(guān)系（如下圖）。

接著，筆者指名學(xué)生帶著學(xué)案到講臺(tái)分享自己的發(fā)現(xiàn)。一名學(xué)生把兩個(gè)小正方形按對(duì)角的方法放在右圖中的大正方形里，發(fā)現(xiàn)（a+b）2比a2+b2大，大兩個(gè)長方形的面積，即2ab。另一名學(xué)生把兩個(gè)小正方形并排放，也發(fā)現(xiàn)（a+b）2比a2+b2大，大2ab。筆者追問：“（a+b）2與a2+b2之間是怎樣的數(shù)量關(guān)系？”學(xué)生齊答：“（a+b）2=a2+2ab+b2?！惫P者繼續(xù)追問：“通過拼圖探究的結(jié)論來看，我們對(duì)財(cái)主怒氣沖沖的猜想是正確的，那么財(cái)主吃了多少虧呢？”學(xué)生回答：“2ab?！?/p>

筆者讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，拼一拼，探究（a+b）2與 a2+b2的數(shù)量關(guān)系，通過分享探究成果，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力、小組合作交流意識(shí)和語言表達(dá)能力，發(fā)展了學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。在探究的過程中深刻體會(huì)和的完全平方公式，弱化積的乘方公式（ab）2=a2b2的負(fù)遷移，原來（a+b）2=a2+2ab+b2。

對(duì)于（a-b）2=a2-2ab+b2的探究，筆者預(yù)設(shè)了兩個(gè)方案。第一個(gè)方案是提問：“我們知道了（a+b）2=a2+2ab+b2，那么（a-b）2=？”沒有學(xué)生能把（a-b）2轉(zhuǎn)化為[a+（-b）]2，利用和的完全平方公式計(jì)算。于是筆者啟動(dòng)了第二個(gè)方案：如下圖，將邊長為a的正方形的邊長減少b，得到一個(gè)小正方形（陰影部分），請用兩種不同的方法表示小正方形的面積。

①直接表示方法?????????????? ，

②間接表示方法?????????????? 。

比較小正方形面積與a2+b2的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論。

學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)直接表示是（a-b）2，筆者請學(xué)生帶學(xué)案到講臺(tái)講解間接表示方法。一名學(xué)生說：“陰影部分的面積等于大正方形的面積a2減去上面的長方形面積ab，再減去右下角的長方形面積b（a-b），也就是等于a2-ab-b（a-b）?！绷硪幻麑W(xué)生說：“陰影部分的面積等于大正方形的面積a2減去右上角的正方形的面積b2，再減去左上角和右下角的兩個(gè)長方形的面積和2b（a-b），也就是a2-b2-2b（a-b）?！边€有一名學(xué)生說：“陰影部分的面積等于大正方形的面積a2減去上面長方形的面積ab，再減去右邊長方形的面積ab，右上角的小正方形被減了兩次，所以再加上它的面積b2，也就是a2-ab-ab+b2= a2-2ab+b2。”筆者適時(shí)追問：“（a-b）2與 a2+b2的數(shù)量關(guān)系是什么？通過拼圖探究的結(jié)論來看，我們對(duì)阿凡提露出微笑的猜想也是正確的，那么阿凡提占了多少便宜呢？這個(gè)故事又告訴我們什么？”學(xué)生齊答：“ （a-b）2 =a2-2ab+b2，從阿凡提的故事中體會(huì)到要學(xué)好數(shù)學(xué)，像阿凡提一樣多思考。”

學(xué)生在a>0、b>0的前提下根據(jù)圖形面積驗(yàn)證并理解了結(jié)論的幾何意義，但完全平方公式歸根結(jié)底還是一個(gè)代數(shù)公式，教學(xué)中還原其代數(shù)屬性不可或缺，筆者認(rèn)為這也是為什么在差的完全平方公式探究方案一中學(xué)生沒有想到用轉(zhuǎn)化思想“差化和”達(dá)成預(yù)設(shè)的重要原因。接下來，筆者讓他們從代數(shù)運(yùn)算的角度證明結(jié)論的一般性，即a、b為任意實(shí)數(shù)時(shí)的情形，從特殊到一般的探究經(jīng)驗(yàn)才能落地生根。在學(xué)生演板后，筆者追問：“代數(shù)運(yùn)算推理的依據(jù)是什么？”最后學(xué)生明確算理：完全平方公式推導(dǎo)依據(jù)是多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則。

學(xué)生經(jīng)歷了完全平方公式的發(fā)生和生長過程，筆者又設(shè)計(jì)了如下問題：

完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征：

①公式的左邊是?????????????????? ;

②公式的右邊有三項(xiàng)，??????????????? ;

請用文字表達(dá)完全平方公式????????????? 。

學(xué)生對(duì)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行細(xì)致地分析再認(rèn)，并進(jìn)行文字表達(dá)，從符號(hào)語言到文字語言的切換，使語言表達(dá)能力得到了培養(yǎng)，對(duì)完全平方公式的認(rèn)識(shí)由深入到深刻。

（作者單位：武漢市蔡甸區(qū)新農(nóng)中學(xué)）