高中排列組合教學(xué)策略

鄭義

排列與組合是高中數(shù)學(xué)中較為特殊的部分，特殊性在于它研究的對象以及研究的方法都和學(xué)生已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)很不相同，內(nèi)容比較抽象，方法比較靈活。本文結(jié)合教學(xué)實(shí)際，討論如何引導(dǎo)學(xué)生理解和應(yīng)用排列與組合。

一、選取模型

選取模型是人來選東西，我們通常說的爭冠軍、選代表、占位置等，通俗的理解就是搶東西模型，分為有放回和不放回兩種。有放回就是重復(fù)使用，不停地做同一件事，典型的模型有學(xué)生參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的問題，如：學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)中，五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，若五名學(xué)生同時(shí)參加這四項(xiàng)比賽，則獲得冠軍的可能有多少種？

為了讓學(xué)生弄清楚這個(gè)問題，筆者模擬了一次運(yùn)動(dòng)會(huì)，請一位學(xué)生來當(dāng)裁判，另外請五位學(xué)生上來參加“比賽”。要怎樣解決問題呢？裁判說話了：“你們幾個(gè)站好了，現(xiàn)在我們比賽結(jié)束了，李三你是跳高冠軍，王二你是跑步冠軍……”話沒有說完，李三就不樂意了，大聲喊：“王二跑不贏我，跑步冠軍也是我?！睂W(xué)生哄堂大笑，王二也不服氣了：“這就是個(gè)游戲，跳高冠軍我也想要呢！”筆者乘機(jī)問學(xué)生：“現(xiàn)在怎么辦呢？都想要冠軍，但一個(gè)項(xiàng)目只有一個(gè)冠軍。”話沒有說完，裁判說：“我知道了，我們可以讓冠軍來選人，你們聽我指揮，第一個(gè)凳子代表跳高冠軍，你們誰想要？”五個(gè)人都站在了第一張凳子的前面，裁判在黑板上寫下數(shù)字5，“好，現(xiàn)在跑步冠軍呢？”五個(gè)人又齊刷刷地站在了第二張凳子前面，裁判再一次寫下5?！拔覀冎懒?，應(yīng)該是5的四次方?！睂W(xué)生異口同聲地答。筆者滿意地點(diǎn)點(diǎn)頭：“大家都不錯(cuò)，就是5的四次方。有沒有同學(xué)可以解釋清楚呢？”一名學(xué)生回答：“他們玩了4次，每次5人搶一個(gè)冠軍，這次搶了，不影響下一次，每次5種結(jié)果，4次就是4個(gè)5相乘，就是[54]?！?/p>

學(xué)生興趣高漲。筆者順勢拋出了不放回的例2：有3張電影票，5人同時(shí)被邀請去看電影，必須有人去，去幾個(gè)人自行決定，有多少種不同的安排方法？

這次有學(xué)生主動(dòng)請纓：“現(xiàn)在我們要解決的是看電影的問題，問題的關(guān)鍵在于一定要有人去，但是不知道幾個(gè)人去，所以我們可以借助老師的辦法，請幾個(gè)同學(xué)來演一遍?！庇谑俏鍌€(gè)同學(xué)被選中了，“第一次去一個(gè)人，有5種方法，很清楚。第二次我們?nèi)蓚€(gè)人，有幾種方法呢？”“[C25]”“[A25]”，兩種聲音出來了?！昂?，現(xiàn)在我們假定是李毅和鄭波去吧，那么他們兩個(gè)人需不需要排序呢？”“不需要。”“所以答案很清楚，是[C25]”。在學(xué)生的掌聲中，他高興地走下了講臺(tái)?？磥韺W(xué)生已經(jīng)掌握了這種方法，能夠很熟練地運(yùn)用了。

二、分配模型

分配問題的本質(zhì)就是把東西按要求分好，通俗地理解就是分任務(wù)模型，分為分組和分配兩種類型。下面重點(diǎn)討論例4中的分組問題。

1.基本的分組問題

例如：六本不同的書，分為三組，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法？

（1）每組兩本;

（2）一組一本，一組二本，一組三本;

（3）一組四本，另外兩組各一本。

這里的難點(diǎn)就是（1）中的平均分配問題。同時(shí)，分組與順序無關(guān)，是組合問題。筆者先請學(xué)生說出自己的想法與答案，果然大家都認(rèn)可[C26][C24][C22]=90（種）。教師先請一位學(xué)生上來當(dāng)裁判，請他找6位學(xué)生并給他們編號(hào)，在每位學(xué)生身上粘好號(hào)牌。兩個(gè)學(xué)生為一個(gè)組合，站在一起。大家記住組合編號(hào)，先不拆組，但是可以換順序①（1，2）（3，4）（5，6）;②（1，2）（5，6）（3，4）;③（3，4）（1，2）（5，6）;④（3，4）（5，6）（1，2）;⑤（5，6）（1，2）（3，4）;⑥（5，6）（3，4）（1，2）。寫了6種情況后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)再寫就和上面一樣了。接下來重新組合一遍：⑦（1，2）（3，5）（4，6）……？（4，6）（3，5）（1，2）;到第12組完了之后，又要拆組合了？（1，2）（4，5）（3，6）……？（3，6）（4，5）（1，2）……雖然有90種，筆者只讓學(xué)生寫了30組。其他的依此類推，讓他們仔細(xì)觀察。

已知的30組是不是30種情況？如果不是，哪些是相同的，為什么？設(shè)紅藍(lán)隊(duì)辯論，紅隊(duì)認(rèn)為是30組，藍(lán)隊(duì)認(rèn)為是5組，核心在于1～6，7～12……是相同的還是不同的？關(guān)鍵是分組后有沒有順序，這里是沒有順序的。大家參加舞會(huì)跳舞的時(shí)候，挑好舞伴，跟隨音樂起舞，不停地跳，不停地?fù)Q位置，但是舞伴并沒有換，所以關(guān)鍵是分組。1～6分組是一樣的，實(shí)際上就是一個(gè)分組。之前的分組方法實(shí)際上加入了組的順序，因此還應(yīng)取消分組的順序，即除以組數(shù)的全排列數(shù)[A33]，所以分法是[C26C24C22A33]=15（種）。

學(xué)生提出疑問：（2）（3）非平均分配要除嗎？筆者馬上又接著剛才演一遍，（2）中個(gè)數(shù)完全不相同，分組后就不能換位置了，而（3）是兩組相同，所以還要除以[A22]?？傊?，分組時(shí)，平均分配可以交換，交換后結(jié)果相同，要除以組數(shù)全排列;非平均分配不能交換，沒有重復(fù)，不用除。

2.基本的分配問題

（一）定向分配問題：六本不同的書，分給甲、乙、丙三人，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法？①甲兩本、乙兩本、丙兩本;②甲一本、乙兩本、丙三本;③甲四本、乙一本、丙一本。

（二）不定向分配問題：六本不同的書，分給甲、乙、丙三人，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法？①每人兩本;②一人一本、一人兩本、一人三本;③一人四本、一人一本、一人一本。

學(xué)生通過以上分析不難得出解不定向分配題的一般原則：先分組后排列。

以上是教學(xué)排列組合的分析過程，排列、組合的問題復(fù)雜而有趣，教學(xué)中滲透了多種思維方法和技巧，對于難以理解的，盡量讓學(xué)生去演一遍，以加深理解。

（作者單位：武漢市蔡甸區(qū)漢陽一中）