用多元函數(shù)值域法巧解一個(gè)最值問題

貴州省畢節(jié)市梁才學(xué)校 (551700) 翁文建

題目設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c,d∈[-2,2]，且a+b+c+d=0，求a3+b3+c3+d3的最大值.

分析：根據(jù)文[1]指出：求多元函數(shù)的值域問題有兩個(gè)方法，一是特殊的化為一元函數(shù)求值域，二是一般的認(rèn)定一個(gè)元為自變量，其余元作常量，逐步求一元含參函數(shù)值域，最后求一元函數(shù)值域，由于題目的次數(shù)沒超過三次，故可用約束條件a+b+c+d=0消去一元化為約束條件為不等式組的三元函數(shù)求最值，最容易想道的導(dǎo)數(shù)法，但很繁，下面用二次函數(shù)性質(zhì)和三元均值不等式簡(jiǎn)解.

解法1：令z=a3+b3+c3+d3，由a+b+c+d=0得d=-(a+b+c)，又-2≤d≤2，則-2≤a+b+c≤2，∴z=a3+b3+c3-(a+b+c)3=a3-(a+b+c)3+b3+c3=[a-(a+b+c)][a2+a(a+b+c)+(a+b+c)2]+b3+c3

=-(b+c)[3a2+3a(b+c)+(b+c)2]+b3+c3=-3(b+c)[a2+a(b+c)]-(b+c)3+b3+c3=-3(b+c)[a2+a(b+c)]-(3b2c+3bc2)

當(dāng)b+c=0時(shí)，z=0；

注：解法1雖然只用了二次函數(shù)性質(zhì)和均值不等式，但仍然很繁，可以再簡(jiǎn)單些，只用均值不等式解

解法2：在解法1中，得到z=-3(b+c)[a2+a(b+c)]-3bc(b+c)后，繼續(xù)化簡(jiǎn)z=-3(b+c)[a2+a(b+c)]-3bc(b+c)=-3(b+c)[a2+a(b+c)+bc]=-3(b+c)(a+b)(a+c).

當(dāng)b+c=0時(shí)，z=0；

當(dāng)b+c>0時(shí)，z=-3(b+c)(a+b)(a+c)=3(b+c)(-a-b)(a+c)

=3(b+c)(a+b)(-a-c)