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    基于沖失濾波器的蚜蟲種群模型的Hopf分岔控制

    2019-12-30 08:11:46趙立純劉敬娜
    鞍山師范學(xué)院學(xué)報 2019年6期
    關(guān)鍵詞:特征方程網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)時滯

    王 歡,趙立純,,劉敬娜

    (1.遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧 大連 116029,2.鞍山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,遼寧 鞍山 114007)

    Hopf分岔是指當(dāng)分岔參數(shù)發(fā)生變化且經(jīng)過分岔值時,從平衡狀態(tài)產(chǎn)生孤立的周期運動的現(xiàn)象[1],它作為動態(tài)分岔的一種,在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、生物模型、機(jī)械工程、網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)等得到了廣泛應(yīng)用.如周帥,肖敏等人[2]將Hopf分岔理論應(yīng)用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),建立了一種非對稱雙環(huán)神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)模型,并選擇單環(huán)的時滯和為分岔參數(shù),利用Hopf分岔理論,得到了雙環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定條件和分岔判據(jù),為深入了解神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)行為機(jī)理奠定基礎(chǔ);張麗娟,王福昌等人[3]應(yīng)用Hopf分岔理論,對帶有擴(kuò)散和時滯效應(yīng)的傳染病模型進(jìn)行分析,得出了系統(tǒng)產(chǎn)生Hopf分岔的條件以及擴(kuò)散導(dǎo)致不穩(wěn)定、時滯導(dǎo)致失穩(wěn)的條件,為預(yù)測疾病的爆發(fā)提供了參考;蔣超,楊強(qiáng)等人[4]將Hopf分岔理論應(yīng)用于機(jī)械工程中,建立了雙質(zhì)體振動機(jī)系統(tǒng)的動力學(xué)方程,對系統(tǒng)進(jìn)行沖失濾波控制,并利用Hopf分岔定理,給出了Hopf分岔臨界位置和線性增益之間的關(guān)系、非線性增益與極限環(huán)幅值的關(guān)系,為振動器械的設(shè)計與控制提供依據(jù);Chol-ung Choe等人[5]將Hopf分岔理論應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中,采用多尺度法和主穩(wěn)定函數(shù)法,給出了網(wǎng)絡(luò)中時滯耦合穩(wěn)定軌道的判據(jù),為維持網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)穩(wěn)定提供一定參考.

    在蚜蟲生態(tài)系統(tǒng)中,蚜蟲及捕食性天敵種群呈消長動態(tài)規(guī)律,即隨著天敵種群數(shù)量的增長,蚜蟲數(shù)量隨之下降,其后天敵數(shù)量隨蚜蟲的減少而降低,進(jìn)而隨著天敵種群數(shù)量減少,蚜蟲種群數(shù)量上升[6].上述消長過程可能導(dǎo)致蚜蟲種群數(shù)量超過危害作物的程度,如果此危害發(fā)生在灌漿期,可以通過改變Hopf分岔位置將消長過程移至灌漿期前或延遲到灌漿期后.針對此現(xiàn)象,本文基于具有時滯效應(yīng)的蚜蟲種群模型,建立相應(yīng)的控制模型,根據(jù)Hopf分岔理論,設(shè)計控制器以避免蚜蟲種群的爆發(fā).

    1 模型建立與分析

    考慮以下蚜蟲種群模型[7]

    (1)

    其中x為蚜蟲種群密度,a是出生率減死亡率,b/2c是閾值密度.

    考慮氣候、自然天敵、蚜蟲種群自身代謝等諸多因素對蚜蟲種群數(shù)量的影響,魏雪瑩等用以下時滯模型表示環(huán)境對蚜蟲種群的調(diào)節(jié)作用:

    (2)

    其中a0(>0)為時滯參數(shù),m為常量.

    (3)

    結(jié)合模型(2)和(3),得

    (4)

    (5)

    實際上,模型(5)中的r1刻畫的是環(huán)境對蚜蟲種群的影響程度,為此本文將其作為模型的主要參數(shù),利用Hopf分岔理論,確定系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔的臨界位置,具體過程如下:

    (6)

    模型(6)在O(0,0,0)處的Jacobian矩陣為

    相應(yīng)的特征方程為

    f(λ)=|λE-J|=

    特征根為

    由模型發(fā)生Hopf分岔的條件,來確定模型(5)發(fā)生Hopf分岔的條件.

    (ⅰ)特征方程特征根實部為零,根據(jù)此條件r1應(yīng)滿足如下式子:

    (ⅱ)特征方程有一對虛特征根,根據(jù)此條件r1應(yīng)滿足如下式子:

    (ⅲ)特征根實部對參數(shù)的導(dǎo)數(shù)不為零,根據(jù)此條件r1應(yīng)滿足如下式子:

    綜上所述,得定理1.

    如果系統(tǒng)的Hopf分岔行為發(fā)生在農(nóng)作物的灌漿期內(nèi),可能會危害農(nóng)作物的生長,為此,通過設(shè)計控制器使Hopf分岔移到灌漿期前或延遲到灌漿期后.

    2 控制器設(shè)計

    對模型(5),如果蚜蟲種群的生存環(huán)境不能調(diào)節(jié)蚜蟲種群密度時,可采用人工調(diào)節(jié)天敵數(shù)量的方法對其進(jìn)行控制,相應(yīng)表達(dá)式為

    (7)

    其中z是天敵種群的密度,α是其吸收率,d是其自然死亡率.

    由(7)得

    (8)

    (9)

    結(jié)合模型(5)和模型(9)得具有沖失濾波器的蚜蟲種群控制模型

    (10)

    對模型(10),仍對平衡點A*(x*,y*,w*)進(jìn)行分析.為了研究線性控制對Hopf分岔位置的影響,對于模型(10),設(shè)

    u=p1(x-dw),

    (11)

    對式(10)作變換x1=x-x*,y1=y-y*,w1=w-w*,得

    (12)

    模型(12)在O(0,0,0)處的Jacobian矩陣為

    相應(yīng)的特征方程為

    f(λ)=|λE-J|=λ3+a1λ2+a2λ+a3=0,

    其中

    記Δ1=a1,Δ2=a1a2-a3.

    根據(jù)文獻(xiàn)[1],滿足以下條件時模型(10)產(chǎn)生Hopf分岔:

    (ⅰ)滿足Δ1=a1>0,根據(jù)此條件r1應(yīng)滿足

    (13)

    (ⅱ)滿足Δ2=a1a2-a3=0,根據(jù)此條件r1應(yīng)滿足

    (14)

    其中A=3c(x*)2-2bx*+r1mx*-a.

    (15)

    綜上所述,得定理2.

    定理2對模型(10),如果控制u=p1(x1-dw1),滿足式(13),(14),(15),則模型仍存在Hopf分岔,但Hopf分岔臨界位置發(fā)生改變.

    注由式(14)知,可通過調(diào)節(jié)線性控制增益p1來確定Hopf分岔位置,其中,p1>0時可將Hopf分岔位置前移,p1<0時可將其后移,從而使蚜蟲種群的最大值發(fā)生在農(nóng)作物灌漿期之外,以減少對農(nóng)作物的危害.

    3 數(shù)值仿真

    圖1 模型(5)控制前后的相平面圖

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