伽利略的諸多靈感來(lái)自對(duì)單擺的研究

田川

(重慶市第八中學(xué)校 重慶 400030)

伽利略真算得上是一個(gè)傳奇人物．光是出生與離世就很巧．

伽利略于1564年(大明嘉靖四十三年)2月15日生于意大利比薩，三天后偉大的文藝復(fù)興的藝術(shù)家米開朗基羅去世．這一巧合被科學(xué)史學(xué)家調(diào)侃為：“文藝復(fù)興從藝術(shù)向科學(xué)的過(guò)渡”[1]．

1642年(大明崇禎十五年，離明亡還有兩年)注定也是不平凡的一年，這年冬天伽利略離世，幾天后一個(gè)遺腹子出生，這個(gè)嬰兒就是大名鼎鼎的牛頓．

提及到伽利略的出版物非常多．但是系統(tǒng)分析他的思考方式的文章卻并不多見，本文從單擺給伽利略帶來(lái)的啟發(fā)的角度呈現(xiàn)“伽利略是怎么想的”．這就是寫作本文的目的．

故事還得從基督徒的必修課——去教堂禮拜開始說(shuō)起．

還在大學(xué)學(xué)醫(yī)的伽利略在一次禮拜中開小差，心不在焉地望著天花板上擺動(dòng)的蠟燭架子，它的擺動(dòng)幅度越來(lái)越小，最終停下來(lái)．伽利略尋思著：“既然每次擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，那么每次擺動(dòng)的時(shí)間會(huì)不會(huì)越來(lái)越短呢”．作為醫(yī)學(xué)生的伽利略用自己的脈搏作為計(jì)時(shí)器．測(cè)量結(jié)果讓他感到驚訝：“盡管每次擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，但每次擺動(dòng)的時(shí)間卻總是一樣的”．

回到家中，他用各種不同長(zhǎng)度的繩子綁了不同重量的石頭做實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明：“長(zhǎng)度一定時(shí)，不管綁的是重石頭還是輕石頭，擺動(dòng)周期都相同”．這就是單擺的等時(shí)性．

當(dāng)時(shí)他正在學(xué)醫(yī)，就根據(jù)這個(gè)發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)了一種脈搏儀，用標(biāo)準(zhǔn)的單擺測(cè)量患者的脈搏，這是他對(duì)醫(yī)學(xué)的最后一次貢獻(xiàn)．最初因?yàn)檠芯繂螖[而帶來(lái)的成功感能夠讓伽利略興奮到什么樣的程度我們無(wú)法揣度，但對(duì)單擺的研究改變了他的志向，他改變了在大學(xué)中的學(xué)習(xí)科目，開始研究數(shù)學(xué)和自然哲學(xué)，從此走上了科學(xué)家的道路[2]．從他留下的書信與著作中可以看到單擺是他科學(xué)發(fā)現(xiàn)中的靈感源泉．

1 因兩個(gè)輕重?cái)[球下擺的同步聯(lián)想到兩個(gè)輕重物下落的同步

擺球的下擺是重力造成的．如圖1所示，不管輕重的石頭，在同樣的高度能夠同步的下擺．那么兩個(gè)質(zhì)量不同的物體“會(huì)不會(huì)”也同步下落呢．如果是這樣的話，兩個(gè)一輕一重的鐵球從同樣高釋放就會(huì)同時(shí)落地．

然而這時(shí)的靈光一現(xiàn)與已有的亞里士多德的觀點(diǎn)相左．認(rèn)知沖突產(chǎn)生的強(qiáng)烈好奇心催生了伽利略徹底研究自由落體的決心．

圖1 由兩個(gè)輕重?cái)[球下擺的同步聯(lián)想到兩個(gè)輕重物下落的同步

2 由單擺的等時(shí)性發(fā)現(xiàn)等時(shí)圓現(xiàn)象

兩個(gè)具有相同擺長(zhǎng)的單擺具有相同的周期．而這一周期與擺的擺動(dòng)幅度無(wú)關(guān)．如圖2(a)所示，將擺球從O點(diǎn)拉至B點(diǎn)釋放，球從B點(diǎn)擺回O點(diǎn)用時(shí)間為t，那么將擺球從O點(diǎn)拉至A點(diǎn)后釋放，球從A點(diǎn)擺回O點(diǎn)的時(shí)間也為t．

圖2 由單擺的等時(shí)性猜測(cè)小球沿AO板與沿BO板滑到O點(diǎn)的時(shí)間會(huì)不會(huì)相等

接下來(lái)，伽利略進(jìn)行了一個(gè)有趣的思考：如果將AO，BO用(光滑的)平板連接，如圖2(b)所示，讓小球分別從A，B滾至O點(diǎn)，那么誰(shuí)先到O點(diǎn)呢？

以上猜想成為了伽利略研究等時(shí)圓的動(dòng)機(jī)．在他的著作里，伽利略寫道：“院士(伽利略在書中自稱院士)曾清楚地說(shuō)明，下落的時(shí)間沿著所有的弦都是相同的，不管它們所對(duì)應(yīng)的弧是怎樣的，對(duì)于180°的弧，即沿著直徑自由下落．以及對(duì)100°，60°，10°，2°的弧都是一樣的．當(dāng)然這些弧都終止在圓與水平面相切的最低點(diǎn)[3]．”

如圖3所示，ad，bd，cd是豎直面內(nèi)3根固定的光滑細(xì)桿，a，b，c，d位于同一圓周上，a點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)，d點(diǎn)為最低點(diǎn)．每根桿上都放著一個(gè)小球，3個(gè)小球分別從a，b，c處釋放(初速度為零)，用t1，t2，t3依次表示小球到達(dá)d所用的時(shí)間，求證：t1=t2=t3．

圖3 3個(gè)小球同時(shí)到d點(diǎn)

伽利略在他的著作中證明了t1=t2=t3，但他的證明方法比較復(fù)雜．為了便于讀者理解，接下來(lái)我們采用牛頓運(yùn)動(dòng)定律來(lái)證明伽利略的猜想．對(duì)小球，受重力和支持力，將重力沿桿的方向和垂直桿的方向正交分解，根據(jù)牛頓第二定律得小球做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度為a=gsinθ(θ為桿與水平方向的夾角)，小球的位移s=2Rsinθ，所以

可以看出t與θ無(wú)關(guān)，即

t1=t2=t3

3 由單擺下擺與上擺的等高性感知到“能量”守恒

沒有證據(jù)表明伽利略認(rèn)識(shí)到了能量的概念．然而在伽利略的著作中不難嗅出關(guān)于能量守恒的味道：“一個(gè)重物從一個(gè)高度下落到地面而獲得的動(dòng)量(伽利略書中的動(dòng)量的定義是重量與速度的乘積[4]，并不是現(xiàn)代意義上的動(dòng)量)非常可能是把它帶到那個(gè)高度所需要的動(dòng)量．”

將上面這句話中的動(dòng)量改換成動(dòng)能的話，不就是能量守恒了嗎？但關(guān)鍵是伽利略為何會(huì)產(chǎn)生以上的想法呢？

伽利略在著作中接著寫道：“如同在一個(gè)相當(dāng)重的擺上所清楚看到的，當(dāng)把它由鉛垂(即豎直方向)拉倒50°或60°時(shí)，它會(huì)精確地獲得足以把它帶到一個(gè)相等的高度的速度和力[5]．”

顯然伽利略所謂的“速度和力”的表述不夠準(zhǔn)確，實(shí)際上伽利略想要表達(dá)的就是現(xiàn)在我們所說(shuō)的能量．

4 從在單擺的中垂線上“釘釘子”到產(chǎn)生斜面實(shí)驗(yàn)的構(gòu)思

伽利略的理想斜面實(shí)驗(yàn)是物理學(xué)中十大經(jīng)典實(shí)驗(yàn)之一．是物理學(xué)史上觀察實(shí)驗(yàn)與科學(xué)推理相結(jié)合的典范，是對(duì)學(xué)生科學(xué)方法教育的典型素材，是牛頓第一定律的關(guān)鍵點(diǎn)[6]．

我們不禁要問(wèn)，伽利略是如何構(gòu)思這個(gè)實(shí)驗(yàn)的，他的靈感是什么．伽利略在他的著作中回答了這個(gè)問(wèn)題．“設(shè)想這頁(yè)紙就是一面垂直的墻，其上釘進(jìn)一枚釘子；從釘子上以一根鉛直細(xì)線AB，比方說(shuō)6英尺長(zhǎng)，懸掛1盎司的鉛彈，在這面墻上畫一條水平線DC，與鉛直線AB成直角，而鉛直線AB離墻大約有兩尺寬，如圖4(a)所示.

現(xiàn)在把線AB與所系的球移到AC的位置然后使其自由；首先觀察到它沿著弧CBD下落，通過(guò)點(diǎn)B，然后沿著弧BD運(yùn)動(dòng)直到幾乎達(dá)到水平線CD，稍有偏差是由于空氣與弦的阻力造成的；由此我們可以正確地推斷，球沿著弧CB下落，在到達(dá)點(diǎn)B時(shí)獲得了一個(gè)動(dòng)量，它剛好足以使球沿著一段類似的弧BD到達(dá)相同的高度．多次重復(fù)這個(gè)實(shí)驗(yàn)后，讓我們先在墻上靠近垂線AB釘入一枚釘子，比方說(shuō)在E或F處，要讓它突出一些寬度，以便栓著子彈的線沿弧CB到達(dá)B時(shí)，可以碰著釘子E然后迫使它沿著以E為圓心的弧BG運(yùn)動(dòng)．因此我們能夠看到，以前由點(diǎn)B開始沿著弧BD達(dá)到水平線CD的同一物體以同樣的動(dòng)量能夠做些什么．現(xiàn)在，先生們，你們將會(huì)高興地觀察到這個(gè)球擺動(dòng)到水平線上的點(diǎn)G，并且如果障礙安置在下方的點(diǎn)，比方說(shuō)在點(diǎn)F，你們會(huì)看到相同的事情，繞著它球會(huì)描出弧BI，球總是準(zhǔn)確地終止于CD線上[7]．”

根據(jù)單擺的等高擺動(dòng)，伽利略聯(lián)想到：如果一切接觸面都是光滑的，如圖4(b)所示.一個(gè)鋼珠從斜面的某一高度A處?kù)o止?jié)L下，由于受重力，沒有阻力產(chǎn)生損耗，那么它必定到達(dá)另一斜面的同一高度C，如果把斜面放平緩一些，也會(huì)出現(xiàn)同樣的情況，如D，如果斜面變成水平面，則鋼珠找不到同樣的高度而會(huì)一直保持一種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，永不停止運(yùn)動(dòng)下去[8]……

圖4 由單擺聯(lián)想到斜面

從上面的分析不難看出伽利略通過(guò)對(duì)單擺的研究萌生了“兩個(gè)鐵球同時(shí)落地”、等時(shí)圓、守恒觀念、斜面實(shí)驗(yàn)等一系列靈感．可見，伽利略正是通過(guò)單擺帶來(lái)的啟發(fā)，引領(lǐng)我們進(jìn)入了那個(gè)激動(dòng)人心的科學(xué)革命的歲月．