2018年高考理綜新課標卷Ⅲ第17題的多種解法

劉朝龍

(貴陽市烏當中學 貴州 貴陽 550018)

A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍

1 應用平拋運動規(guī)律及數(shù)學方法求解

解法一：設斜面的傾角為θ，由題意可知兩小球平拋過程的位移與水平方向的夾角也均為θ，設小球落至斜面時速度與水平方向的夾角為α，因為

tanα=2tanθ

故兩小球落至斜面時速度與水平方向的夾角也相等．

如圖1所示，由相似三角形可知

解得v甲=2v乙，故選項A正確．

圖1 速度分解

點評：此方法應用平拋運動tanα=2tanθ的二級結(jié)論，將速度矢量進行正交分解，再運用數(shù)學中兩相似三角形對應邊比值相等，便可快速而正確地解答此題．

解法二：設斜面的傾角為θ，由題意可知兩小球平拋過程的位移與水平方向的夾角也均為θ，設小球落至斜面時速度與水平方向的夾角為α，因為

tanα=2tanθ

故兩小球落至斜面時速度與水平方向的夾角也相等．

如圖1所示，由三角函數(shù)可知

v=v甲cosα

由上面兩式解得v甲=2v乙，故選項A正確．

點評：此方法與解法一的區(qū)別在于使用的數(shù)學工具不同．前者應用的是相似三角形，而后者運用的數(shù)學知識是直角三角形中的余弦函數(shù)．

解法三：設斜面的傾角為θ，由題意可知兩小球平拋過程的位移與水平方向的夾角也是均為θ，設小球落至斜面時速度與水平方向的夾角為α，因為

tanα=2tanθ

故兩小球落至斜面時速度與水平方向的夾角也相等．小球落至斜面時，設甲、乙兩小球在豎直方向的速度大小分別為vy甲,vy乙．

如圖1所示，由三角函數(shù)可知

vy甲=vtanα

根據(jù)勾股定理有

聯(lián)立解得v甲=2v乙，故選項A正確．

點評：此方法與解法二相比，區(qū)別也是數(shù)學工具：將解法二的直角三角形的余弦函數(shù)換為正切函數(shù)，同時運用勾股定理聯(lián)立解答．

解法四：由題意可知，兩小球平拋過程的位移與水平方向的夾角相等，設甲、乙小球平拋運動的時間分別為t甲和t乙．由圖可知，兩小球的水平位移大小與豎直位移大小之比相等．

根據(jù)平拋運動的規(guī)律，有

解得

t甲=2t乙

小球落至斜面時，設甲、乙兩小球在豎直方向的速度大小分別為vy甲，vy乙．根據(jù)平拋運動的規(guī)律vy=gt可知

vy甲=2vy乙

由于落至斜面時，小球甲速度的水平分量和豎直分量都是小球乙速度的水平分量和豎直分量的2倍，說明兩小球的水平速度與豎直速度構(gòu)成的兩個直角三角形相似．由相似三角形規(guī)律可知斜邊也是2倍，即

v甲=2v乙

故A選項正確．

當然，此解法得出vy甲=2vy乙結(jié)論后，也可以直接應用勾股定理得出v甲=2v乙．

點評：此方法是一種常規(guī)解法，也是大多數(shù)考生采用的方法．需要考生熟練地掌握平拋運動的基本規(guī)律，熟知解答平拋運動采用的矢量分解法及相關的數(shù)學知識．

2 應用動能定理及能量守恒定律求解

解法五：由題意可知，兩小球平拋過程的位移與水平方向的夾角相等，設甲、乙小球平拋運動的時間分別為t甲，t乙．由圖1可知，兩小球的水平位移大小與豎直位移大小之比相等．

根據(jù)平拋運動的規(guī)律，有

解得t甲=2t乙.

h甲=4h乙

設甲、乙兩小球的質(zhì)量均為m，由動能定理得

聯(lián)立解得v甲=2v乙，故選項A正確．

點評：動能定理是一個重要的物理規(guī)律，在中學物理中有著廣泛的應用，是高中階段處理物理問題的主要學科思維之一．使用此方法能夠彰顯考生的學科素養(yǎng)，同時也顯示出對物理知識的綜合應用能力．

解法六：由題意可知，兩小球平拋過程的位移與水平方向的夾角相等，設甲、乙小球平拋運動的時間分別為t甲，t乙．由圖1可知，兩小球的水平位移大小與豎直位移大小之比相等．

根據(jù)平拋運動的規(guī)律，有

解得t甲=2t乙.

設小球落至斜面時，甲、乙兩小球下落的高度分別為h甲，h乙，由平拋運動的規(guī)律

可知

h甲=4h乙

設甲、乙兩小球的質(zhì)量均為m，所以，平拋過程中小球甲重力勢能的減少量是小球乙重力勢能的減少量的4倍，根據(jù)機械能守恒定律可知，小球甲動能增加量是小球乙動能增加量的4倍，即

聯(lián)立解得

v甲=2v乙

故A選項正確．

點評：能量守恒定律是一切物理過程遵循的基本規(guī)律．能量守恒應該是貫穿整個物理學的一個重要理念，它不僅僅是某一兩個章節(jié)的內(nèi)容．因此，在高三備考復習中，應該引導學生構(gòu)建完備的物理學科知識體系．

3 運用動量定理求解

解法七：若小球運動過程中初、末動量分別為px，p，落至斜面時，豎直方向的分動量為py，根據(jù)動量定理有

I=p-px

根據(jù)矢量運算法則，由圖2可知

py=p-px

即

I=py

圖2 動量分解

設甲、乙小球質(zhì)量均為m，平拋運動的時間分別為t甲，t乙，甲、乙兩小球在豎直方向的速度大小分別為vy甲，vy乙，則可得

mgt甲=mvy甲

mgt乙=mvy乙

根據(jù)平拋運動的規(guī)律，由三角函數(shù)可知

聯(lián)立解得

vy甲=2vy乙

由于落至斜面時，小球甲速度的水平分量和豎直分量都是小球乙速度的水平分量和豎直分量的2倍，根據(jù)勾股定理可知

v甲=2v乙

故A選項正確．

點評：動量定理是選修3-5內(nèi)容，在2017年以前屬于選考模塊，受到諸多因素的制約，動量定理的相關內(nèi)容與動力學的綜合較少，師生的重視程度不夠．而且，在矢量運算中，三角形法則的應用沒有平行四邊形法則的應用廣泛，故這種解法在以上7種方法中較生僻．

教學啟示：本題在2018年高考理綜新課標卷Ⅲ物理試題中難度中等，題干簡潔，考查的方法多樣，留給學生發(fā)散的思維空間較大，屬于一題多解的試題．從高考選拔功能的角度看，此題是一道好題．一題多解，是指對一道習題，采用多種方式求解．由于所用的物理規(guī)律及方法不同，可以實現(xiàn)從多個側(cè)面深入認識和理解同一運動規(guī)律．此題的一題多解，涉及平拋運動的規(guī)律、牛頓運動定律、動能定理、機械能守恒定律、動量定理及各種數(shù)學方法．因此，在物理教學中要注意鍛煉學生一題多解的能力，尤其是在高三復習備考中，多嘗試此類習題，既能鞏固不同的物理知識和規(guī)律、方法和技巧，同時也能培養(yǎng)學生的發(fā)散思維和創(chuàng)新能力，激發(fā)學生學習物理的興趣和對問題探究的欲望．