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    尋根究源,還原本“意”
    ——一道圓錐曲線試題的命題背景探索

    2019-12-26 06:23:36江蘇省海門中學(xué)李乃洋
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2019年23期
    關(guān)鍵詞:半軸雙曲線焦點(diǎn)

    江蘇省海門中學(xué) 李乃洋

    圓錐曲線問題在高考或者競賽初賽試題中出現(xiàn)頻率較高,究其原因是其豐富的幾何特性與其解法的無窮魅力.在解決問題時(shí),有時(shí)我們還需更多思考命題者的命題源頭或者背景是什么,往往在一番探索之后,會(huì)對圓錐曲線理解更深一層.最近筆者在解決一道數(shù)學(xué)初賽試題時(shí),嘗試思考出題人出于何種命題的“依據(jù)”,于是帶著這個(gè)思考做了如下探索.

    一、試題呈現(xiàn)

    二、解法探究

    方案一:利用直線的參數(shù)方程簡化計(jì)算.

    解法1:因?yàn)榻裹c(diǎn)F(c,0),設(shè)直線l的傾斜角為α,則直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),且A,B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,將直線的參數(shù)方程代入雙曲線的方程得:

    化簡為(c2cos2α-a2)t2+(2b2ccosα)t+b4=0,

    因?yàn)椋麿F||AB|=|FA||FB|,所以c|t1-t2|=|t1|t2|,將上述結(jié)果代入化簡得2ac=b2,依據(jù)雙曲線中b2=c2-a2,可知e2-2e-1=0,又e>1,所以e=

    方案二:利用雙曲線的極坐標(biāo)方程簡化計(jì)算.

    解法2:以雙曲線的右焦點(diǎn)F為極點(diǎn),x軸正方向?yàn)闃O軸建立極坐標(biāo)系,則雙曲線的右支方程為(ρ>0),左支方程為,其中p為該焦點(diǎn)到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離(焦準(zhǔn)距).如下圖(考慮兩種情形)

    圖1-1

    圖1-2

    (1)在圖1-1中,交點(diǎn)位于右側(cè)同支,設(shè)點(diǎn)A(ρ,θ),則

    (2)在圖1-2中,如果交點(diǎn)位于兩側(cè)不同支,如交點(diǎn)A在右支,而B在左支,則(此時(shí)e2cosθ2>1).

    代入|OF||AB|=|FA||FB|得:

    以下同解法1,結(jié)果可知e2-2e-1=0,又e>1,所以e=

    解法反思:上述解法均是建立在圓錐曲線中焦半徑不同表示方式基礎(chǔ)之上,依據(jù)圓錐曲線第二定義(統(tǒng)一定義)解題.試題中條件“|OF|·|AB|=|FA|·|FB|”包含了焦半徑|FA|,|FB|,以及焦點(diǎn)弦長|AB|和半焦距|OF|這些幾何量,探究其與曲線離心率e的數(shù)量關(guān)系,自然讓我們思考試題命制的背景是什么?

    三、試題背景

    事實(shí)上,對于等式|OF|AB|=|FA||FB|做一變形,即|OF|·(|FA|+|FB|)=|FA|·|FB|可得而對于表達(dá)式,其含義我們熟悉表示圓錐曲線共線焦半徑的倒數(shù)和,通常其和為定值為焦準(zhǔn)距,e為離心率),于是我們以拋物線為例論證其關(guān)系(焦點(diǎn)在x正半軸,如圖2).

    圖2

    結(jié)論1:已知拋物線頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)F在x正半軸上,過焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A,B,則

    類比拋物線,我們也可以得到橢圓中結(jié)論.

    (證明略)

    一般在圓錐曲線中,很多性質(zhì)具有統(tǒng)一性,自然思考上述結(jié)論在雙曲線中是否成立?在解法2中,事實(shí)上我們已經(jīng)得到如下兩種情形:

    比較三種圓錐曲線上述結(jié)論形式,我們一定思考,如何將具有和諧統(tǒng)一的圓錐曲線結(jié)論統(tǒng)一,于是從產(chǎn)生異化的雙曲線入手,其實(shí),但是要考慮拋物線的離心率e=1,故我們可以把上述關(guān)系再整理,得到

    定理:已知焦點(diǎn)在x軸上的圓錐曲線(中心在坐標(biāo)原點(diǎn)),過x正半軸上的焦點(diǎn)F的直線l與曲線交于不同兩點(diǎn)A,B,焦準(zhǔn)距為p,離心率為e,則焦點(diǎn)弦長|AB|與焦半徑 |FA|,|FB|滿足關(guān)系

    由上述定理,不難發(fā)現(xiàn)開頭這道試題的命題背景即為探索圓錐曲線中焦點(diǎn)弦與焦半徑之間的關(guān)系,利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義我們可以有多種解法,但基于雙曲線的兩支情形,需要關(guān)注焦點(diǎn)弦的特殊性,在文1等文獻(xiàn)中,都出現(xiàn)了在圓錐曲線中這種定值結(jié)論,但對于雙曲線來說,過焦點(diǎn)的直線形成的兩個(gè)焦半徑倒數(shù)和是不確定的(只有焦點(diǎn)F內(nèi)分線段AB時(shí),結(jié)論正確).基于上述分析,再結(jié)合極坐標(biāo)方程,我們?nèi)菀椎玫饺缦峦普?

    推論1:已知焦點(diǎn)在x軸上的圓錐曲線(中心在坐標(biāo)原點(diǎn)),過x正半軸上的焦點(diǎn)F的直線l與曲線交于不同的兩點(diǎn)A,B,圓錐曲線的離心率為e,焦點(diǎn)到對應(yīng)準(zhǔn)線距離為p.若直線的傾斜角為θ,則焦點(diǎn)弦長公式為|AB|=

    推論2:已知焦點(diǎn)在x軸上的圓錐曲線(中心在坐標(biāo)原點(diǎn)),過x正半軸上的焦點(diǎn)F的直線l與曲線交于不同兩點(diǎn)A,B,圓錐曲線的離心率為e,焦點(diǎn)到對應(yīng)準(zhǔn)線距離為p.若則焦點(diǎn)弦長公式為

    且由圓錐曲線極坐標(biāo)公式(雙曲線兩支符號不同),可得,推論1得證.

    四、結(jié)束語

    通過對一道試題的探究,我們發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線中一共性性質(zhì),并通過解法探究及結(jié)論的論證,進(jìn)一步理解解析幾何的核心“用代數(shù)的方法研究幾何問題”,這正是我們解決問題需要掌握的策略,也是命題者更深的用“意”.數(shù)學(xué)家哈爾斯說過“問題是數(shù)學(xué)的心臟”,在平時(shí)解題中我們要養(yǎng)成“提出問題、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題,解決問題”的研究手段,提升讀懂、理解數(shù)學(xué)命題的能力.

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