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    對(duì)教材中點(diǎn)到直線的距離公式推導(dǎo)的建議

    2019-12-26 06:23:42甘肅省蘭州市第十八中學(xué)王立森
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2019年23期
    關(guān)鍵詞:高級(jí)中學(xué)教科書課本

    甘肅省蘭州市第十八中學(xué) 王立森

    對(duì)高中數(shù)學(xué)中“點(diǎn)到直線的距離公式”的引入推導(dǎo).人教版高級(jí)中學(xué)課本《平面解析幾何》全一冊(cè)(必修)第一章第1.10節(jié)中,用平面幾何和三角函數(shù)的知識(shí)推導(dǎo)出了點(diǎn)到直線的距離公式.這是一種“不經(jīng)分析”而又難以想到的推導(dǎo)方法,其推導(dǎo)過程實(shí)際是很繁雜的.全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(必修)課本《數(shù)學(xué)》第二冊(cè)(上)§7.3節(jié)和現(xiàn)行普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》(必修2)§3.3.3中都用平面幾何的知識(shí)(即作出三角形用等面積法)推導(dǎo)出了點(diǎn)到直線的距離公式,大家很容易想到這種方法,但推導(dǎo)過程也比較復(fù)雜.

    這兩種方法的具體過程大家看看課本就知道,筆者想每個(gè)任課教師在教學(xué)中都深有感觸,特別是第二種新修訂的現(xiàn)行教材中的方法與新教材改革的發(fā)展方向?qū)φ詹]有多大改觀和新穎之處,有必要重新修訂.點(diǎn)到直線的距離公式在高中數(shù)學(xué)中是很重要的知識(shí)點(diǎn),而在多年的教學(xué)中筆者感覺到學(xué)生只知道使用而不會(huì)推導(dǎo)、證明,有些學(xué)生甚至看不懂教材推理,因而對(duì)它的使用也很淡化.

    筆者認(rèn)為,平面解析幾何的性質(zhì)是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科,而用代數(shù)方法研究幾何問題,運(yùn)算量大是平面解析幾何的最大難點(diǎn),教師講解困難、學(xué)生理解也困難.若用向量來(lái)推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式,則可以減少這種繁雜的代數(shù)運(yùn)算,使學(xué)生容易理解和掌握,同時(shí)也符合現(xiàn)行教材改革的發(fā)展趨勢(shì).下面談?wù)勛约旱目捶ǎ?/p>

    一、建議將教材§7.3節(jié)后的閱讀材料《向量與直線》變?yōu)榻虒W(xué)內(nèi)容

    全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(必修)課本知識(shí)結(jié)構(gòu)的銜接、編排相對(duì)比較合理,而現(xiàn)行普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書的知識(shí)結(jié)構(gòu)的銜接、編排不夠好.若系統(tǒng)調(diào)整教材知識(shí)結(jié)構(gòu),特別在向量的概念和應(yīng)用上統(tǒng)一編寫一章,增加“直線的法向量”和“平面的法向量”的概念,可以解決平面幾何、空間立體幾何和平面解析幾何中的許多疑難問題.例如:將全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(必修)課本《數(shù)學(xué)》第二冊(cè)(上)§7.3節(jié)教材后的閱讀材料《向量與直線》加以編輯,突出直線“法向量”和直線的“點(diǎn)法式方程”作為正式教學(xué)內(nèi)容放到教材§7.2節(jié)后,這樣變更的目的使學(xué)生明確直線的“法向量”是決定直線的一個(gè)重要因素,通過推理直線的“點(diǎn)法式方程”使學(xué)生懂得,可以從直線l的方程Ax+By+C=0中直接觀察得到向量n=(A,B)為直線l的一個(gè)法向量,為推理點(diǎn)到直線的距離公式奠定基礎(chǔ).

    二、直線法向量的概念和直線的點(diǎn)法式方程

    若向量n與直線l垂直,則稱向量n為直線l的法向量.

    圖1

    如圖1,設(shè)直線l的法向量為n=(A,B)且經(jīng)過點(diǎn)P0(x0,y0),則點(diǎn)P(x,y)在直線l上的充要條件是則有,因?yàn)?,于是,直線l的點(diǎn)法式方程為A(x-x0)+B(y-y0)=0,即Ax+By-(Ax0+By0)=0,由此我們可以看出以直線一般式方程中的x、y項(xiàng)的系數(shù)為坐標(biāo)的向量n=(A,B)是直線l的一個(gè)法向量.

    三、用直線的法向量推理點(diǎn)到直線的距離公式

    在平面直角坐標(biāo)系中,如果已知某點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),已知直線l的方程是Ax+By+C=0,如何用直線的法向量推理點(diǎn)到直線的距離公式呢?

    圖2

    已知直線l的法向量為n=(A,B),如圖2,在直線l上任意取一點(diǎn)M(x′,y′),則向量的坐標(biāo)為(x0-x′,y0-y′).因?yàn)辄c(diǎn)P到直線l的距離d為向量在直線l的法向量n上的投影,設(shè)向量與n的夾角為,那么有:

    因?yàn)辄c(diǎn)M(x′,y′)在直線Ax+By+C=0上,則Ax′+By′+C=0,C=-(Ax′+By′),那么

    如果A=0或者B=0時(shí),上述公式仍然適用,于是得到點(diǎn)到直線的距離公式:

    這個(gè)推導(dǎo)過程與教材的推導(dǎo)相比容易多了,思維方法簡(jiǎn)單、易懂,注重了向量的學(xué)習(xí)和應(yīng)用,經(jīng)過幾屆學(xué)生的教學(xué)實(shí)踐,效果很好,同時(shí)激發(fā)了同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣.因此,建議新課程教材改革能按這個(gè)推導(dǎo)過程改編.W

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