江蘇省連云港市海州實驗中學(xué) 丁 波
數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)指出,為適應(yīng)人才培養(yǎng)的需要,數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用與創(chuàng)新意識.方程的應(yīng)用體現(xiàn)了方程模型用于解決實際問題的過程,激發(fā)了學(xué)生的應(yīng)用與創(chuàng)新意識,加強(qiáng)了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系.本文以用一元二次方程解應(yīng)用題為例,做一探討.列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟包括:(1)審清題意,明確已知量、未知量及問題中的數(shù)量關(guān)系;(2)設(shè)未知數(shù),包括直接設(shè)未知數(shù)與間接設(shè)未知數(shù);(3)列方程,根據(jù)能反映應(yīng)用題全部含義的等量關(guān)系,用代數(shù)式表示等量關(guān)系中的量,然后列出方程;(4)解方程;(5)檢驗并作答.在現(xiàn)實生活中,一元二次方程有諸多應(yīng)用,主要表現(xiàn)在以下幾個方面:
解決有關(guān)平均增長率(或降低率)問題時,一般選擇公式a(1+x)2=b[或a(1-x)2=b],其中a是增長(或降低)前的量,x是平均增長率(或降低率),2是增長(或降低)的次數(shù),b是增長(或降低)后的量.
例1為做好響應(yīng)國家“精準(zhǔn)扶貧”號召,連云港2017年擬投入1280萬元資金用于異地安置,且投入資金按照規(guī)劃逐年遞增,2019年在2017年的基礎(chǔ)上遞增投入資金1600萬元.
(1)從2017年至2019年,連云港在異地安置投入的資金年平均增長率為多少?
(2)在2019年具體實施異地安置過程中,連云港規(guī)劃投入資金大于或等于500萬元用于獎勵優(yōu)先搬遷租房的家庭,規(guī)劃前800戶(包含第800戶)一戶一天獎勵10元,800戶以后一戶一天獎勵5元,按照租房400天進(jìn)行計算,求2019年連云港享受到優(yōu)先搬遷租房獎勵的至少有多少戶.
解析:(1)設(shè)連云港在異地安置投入的資金年平均增長率為x.
依據(jù)題設(shè),得1280(1+x)2=1280+1600,解得x=0.5或x=-2.5(舍去).
答:從2017年到2019年,連云港在異地安置投入的資金年平均增長率為50%.
(2)設(shè)2019年連云港享受到優(yōu)先搬遷租房獎勵的有a戶.
依據(jù)題設(shè),得800×10×400+(a-800)×5×400≥5000000,解得a≥1700.
答:2019年連云港享受到優(yōu)先搬遷租房獎勵的至少有1700戶.
評注:本題增長后的量不是1600萬元,而是(1280+1600)萬元;一元二次方程的解通常有兩個,這兩個不一定都符合題意,要舍去不符合題意的解,這就是方程的解與實際問題的解之間的差異.
“每每問題”指“每降低多少單價,就增加多少銷量”或者“每增加多少單價,就減少多少銷量”.其解題的關(guān)鍵在于找到單價變化量與銷量變化量之間的變化規(guī)律,然后根據(jù)“總利潤=每單位利潤×銷售量”列一元二次方程.
例22019年6月18日是重慶直轄22年的紀(jì)念日.22年來,巴渝大地發(fā)生了翻天覆地的變化,一大波網(wǎng)紅景點(diǎn)成為城市新地標(biāo)的同時,也見證著城市面貌的改變,并讓一大批重慶特產(chǎn)走出重慶,享譽(yù)世界.在網(wǎng)紅景點(diǎn)洪崖洞,某重慶特產(chǎn)專賣店銷售特產(chǎn)合川桃片,其進(jìn)價為每千克15元,按每千克30元出售,平均每天可售出100千克,后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),單價每降低1元,則平均每天的銷量可增加20千克.
(1)若該專賣店合川桃片3月31日的銷量為280千克,則該天每千克的售價為多少元?
(2)若該專賣店想4月1日的獲利比(1)中3月31日的獲利多320元,則每千克合川桃片應(yīng)為多少元?
解析:(1)設(shè)該天每千克的售價為x元.
根據(jù)題意,得100+20(30-x)=280,解得x=21.
答:該天每千克的售價為21元.
(2)設(shè)每千克合川桃片應(yīng)為y元.
根據(jù)題意,得(y-15)[100+20(30-y)]=(21-15)×280+320,解得y=25.
答:每千克合川桃片應(yīng)為25元.
評注:對于“每每問題”,在列方程時,要根據(jù)“總利潤=每單位利潤×銷售量”,還要用到以下數(shù)量關(guān)系:每單位利潤=售價-進(jìn)價,銷售量=原銷售量+增加的銷售量.
一元二次方程在圖形面積問題中的應(yīng)用,包括修路問題、做鏡框問題、做紙盒問題、雞舍問題等,通常都要利用矩形面積計算公式“長×寬=矩形面積”建立一元二次方程,在確定長或?qū)挄r,要根據(jù)題意在原來的基礎(chǔ)上或加或減,形成一個代數(shù)式.
例3某書店積極響應(yīng)政府“改革創(chuàng)新,奮發(fā)有為”的號召,舉辦“讀書節(jié)“系列活動.活動中故事類圖書的標(biāo)價是典籍類圖書標(biāo)價的1.5倍,若顧客用540元購買圖書,能單獨(dú)購買故事類圖書的數(shù)量恰好比單獨(dú)購買典籍類圖書的數(shù)量少10本.
圖1
圖2
(1)求活動中典籍類圖書的標(biāo)價.
(2)該店經(jīng)理為鼓勵廣大讀者購書,免費(fèi)為購買故事類的讀者贈送圖1所示的精致矩形包書紙.在圖1所示的包書紙示意圖中,虛線是折痕,陰影是裁剪掉的部分,四角均為大小相同的正方形,正方形的邊長為折疊進(jìn)去的寬度.已知該包書紙的面積為875cm2(含陰影部分),且正好可以包好圖2中的《中國故事》這本書,該書的長為21cm,寬為15cm,厚為1cm,求出該包書紙包這本書時折疊進(jìn)去的寬度.
解析:(1)設(shè)典籍類圖書的標(biāo)價為x元.
答:典籍類圖書的標(biāo)價為18元.
(2)設(shè)折疊進(jìn)去的寬度為ycm.
由題意得(2y+15×2+1)(2y+21)=875,化簡得y2+26y-56=0,則y=2或y=-28(不合題意,舍去).
答:折疊進(jìn)去的寬度為2cm.
評注:本題中矩形的長是三部分的和,矩形的寬是兩部分的和,這都需要根據(jù)題意認(rèn)真分析,所以審清題意是正確解答問題的前提條件,審題時我們需要抽出其中的數(shù)量關(guān)系,用數(shù)學(xué)符號加以表示,而舍去其他無關(guān)的內(nèi)容.
一元二次方程在動態(tài)幾何問題中的應(yīng)用,是由動點(diǎn)引起的圖形面積變化問題,這里起主要作用的變化量一般為運(yùn)動時間,然后用含運(yùn)動時間的代數(shù)式去描述變化過程中其他的量,如線段的長等,方程一般根據(jù)圖形面積去建立.
例4如圖3,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC、CD以2cm/s的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動;同時,點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段CD、DA以1cm/s的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(P、Q兩點(diǎn)中,只要有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn),則另一點(diǎn)立即停止運(yùn)動).
圖3
(1)運(yùn)動停止后,哪一點(diǎn)先到終點(diǎn)?另一點(diǎn)離終點(diǎn)還有多遠(yuǎn)?
(2)在運(yùn)動過程中,△APQ的面積能否等于22cm2?若能,需運(yùn)動多長時間?若不能,請說明理由.
解析:(1)點(diǎn)P從開始到運(yùn)動停止用的時間為:(12+6)÷2=9(s),點(diǎn)Q從開始到運(yùn)動停止用的時間為:(6+12)÷1=18(s).由9<18,只要有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn),則另一點(diǎn)立即停止運(yùn)動,得點(diǎn)P先到終點(diǎn),此時點(diǎn)Q離終點(diǎn)的距離是:(6+12)-1×9=9(cm).
答:點(diǎn)P先到終點(diǎn),此時點(diǎn)Q離終點(diǎn)的距離是9cm.
(2)在運(yùn)動過程中,△APQ的面積能等于22cm2,分兩種情況討論.
點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C的過程中,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為as.由△APQ 的面積等于22cm2,得,此方程無解.
點(diǎn)P從點(diǎn)C到點(diǎn)D的過程中,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為(b+6)s.由△APQ的面積等于22cm2,得,解得b1=1,b2=14(舍去),即需運(yùn)動6+1=7(s),△APQ的面積才能等于22cm2.
評注:本題中的動點(diǎn)因為在不同的線段上運(yùn)動,所以形成的圖形也在變化,因此本題分兩種情況進(jìn)行討論;在求圖形面積時,遇到不規(guī)則圖形時,要將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的和或差來解決.
握手問題與比賽問題道理是一樣的,在單循環(huán)比賽中有公式在雙循環(huán)比賽中有公式x(x-1)=n,其中x是參賽的隊數(shù),n是比賽的場數(shù).解答時先要判斷是單循環(huán)還是雙循環(huán),再套用公式.
例5為進(jìn)一步弘揚(yáng)“愛國、進(jìn)步、民主、科學(xué)”的五四精神,倡導(dǎo)“我運(yùn)動、我健康、我快樂”的生活方式,某縣團(tuán)委準(zhǔn)備組織一次共青團(tuán)員青年足球賽,參賽的每2個隊之間都要比賽1場,根據(jù)場地和時間等條件,賽程計劃安排9天,每天安排5場比賽,則該縣團(tuán)委應(yīng)邀請多少個足球隊參賽?
解析:該縣團(tuán)委應(yīng)邀請x個足球隊參賽.
每支球隊都需要與其他球隊賽(x-1)場,但2隊之間只有1場比賽,根據(jù)題意,得,整理得x2-x-90=0.
解得x1=-9(不合題意,舍去),x2=10.
答:該縣團(tuán)委應(yīng)邀請10個足球隊參賽.
評注:參賽的每2個隊之間都要比賽1場,所以此題是單循環(huán)比賽,所以套用公式,如果每2個隊之間要比賽2場,那么就是雙循環(huán)比賽.
當(dāng)然,一元二次方程的應(yīng)用遠(yuǎn)不止這些,還有諸如數(shù)字問題、其他學(xué)科問題等,因為它是一類最基本類型的方程,所以它在解決生產(chǎn)和生活問題、數(shù)學(xué)自身問題、其他學(xué)科問題中都有廣泛的應(yīng)用.它是反映現(xiàn)實生活數(shù)量關(guān)系的有效模型,只有在刷題—思考—刷題—思考的反復(fù)進(jìn)行中,才能不斷提升應(yīng)用一元二次方程解決實際問題的能力.