江蘇省如皋市江安鎮(zhèn)江安實(shí)驗(yàn)學(xué)校 高 飛
新課程標(biāo)準(zhǔn)指出,教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的興趣,通過(guò)問(wèn)題的牽引,促使學(xué)生思考,使每個(gè)學(xué)生都能得個(gè)性化發(fā)展.一題多解面向全體學(xué)生,對(duì)學(xué)生個(gè)性化發(fā)展具有重要作用,特別是幾何問(wèn)題,有相當(dāng)一部分學(xué)生喜歡數(shù)學(xué),就在于幾何圖形的變換無(wú)窮.對(duì)多解的追求,使他們津津樂(lè)道,激發(fā)了他們思維的靈活性,下面,讓我們一起見(jiàn)證一題多解給我們帶來(lái)的快樂(lè).
問(wèn)題1:如圖1,在四邊形ABCD中,∠A=60°,∠B=90°,∠D=90°,且已知BC=2,CD=3,試求AB、AD的長(zhǎng)度.
圖1
圖2
解法1:如圖2,延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)E.
因?yàn)椤螧=90°,∠A=60°,根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°,得∠E=30°.
因?yàn)椤螦DC=∠CDE=90°,CD=3,根據(jù)在直角三角形中,30°的銳角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半,得Rt△CED中,CE=2CD=6,根據(jù)勾股定理,得
BE=BC+CE=8.
在Rt△AEB中,根據(jù)直角三角形中,30°的銳角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半,得AE=2AB.根據(jù)勾股定理,得AB2+BE2=AE2,即AB2+64=(2AB)2,則3AB2=64,解得.所以AE=2AB=,所以AD=AE-DE=
解法2:如圖3,延長(zhǎng)AB、CD交于點(diǎn)E.
∠A=60°,∠ABC=90°,∠D=90°,根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°,得∠E=30°,∠CBE=90°.
在Rt△BCE中,BC=2,根據(jù)直角三角形中,30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半,得CE=4.
所以DE=3+4=7.
根據(jù)直角三角形中,30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半,得AE=2AD=
圖3
圖4
解法3:如圖4,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CF⊥DE于點(diǎn)F,垂足分別是點(diǎn)E、F.
因?yàn)镈E⊥AB,CF⊥DE,∠B=90°,所以四邊形BCFE是矩形,所以EF=BC=2,BE=FC.
在Rt△AED中,∠A=60°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,得∠ADE=30°.根據(jù)直角三角形中,30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半,得AE=
∠CDF=90°-30°=60°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,得∠DCF=30°.
在Rt△DCF中,DC=3,根據(jù)直角三角形中,30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半,得根據(jù)勾股定理,得,所以
解法4:如圖5,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F,作∠BCD的平分線(xiàn)CE交AB于點(diǎn)E,F(xiàn)D與CE相交于點(diǎn)O.
因?yàn)椤螦=60°,∠B=90°,∠ADC=90°,根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°,得∠BCD=120°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,得∠ADF=30°,所以∠FDC=60°.
因?yàn)椤螧CD的平分線(xiàn)CE交AB于點(diǎn)E,所以∠OCD=∠ECB=60°,所以三角形OCD是等邊三角形.又因?yàn)镃D=3,所以O(shè)D=OC=CD=3.
在Rt△BCE中,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,得∠BEC=30°,根據(jù)直角三角形中,30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半,得EC=2BC=4,所以EO=4-3=1,根據(jù)勾股定理,得
在Rt△OEF中,∠BEC=30°,根據(jù)直角三角形中,30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半,得根據(jù)勾股定理,得
圖5
圖6
問(wèn)題2:如圖6,平行四邊形ABCD中,AD=2AB,點(diǎn)F、B、A、E在同一直線(xiàn)上,已知FB=AE=AB,試說(shuō)明DF⊥CE.
解法1:如圖6,四邊形ABCD是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行且相等,得CB=AD,CD=AB,且CB∥AD,CD∥EF.
因?yàn)锳D=2AB,F(xiàn)B=AE=AB,所以AD=AF,BC=BE,所以三角形AFD、三角形CBE都是等腰三角形.
根據(jù)等邊對(duì)等角,得∠1=∠F,∠2=∠E.
根據(jù)兩直線(xiàn)平行,內(nèi)錯(cuò)角相等,得∠3=∠F,∠4=∠E,所以∠1=∠3,∠2=∠4.
根據(jù)兩直線(xiàn)平行,同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ),得∠1+∠2+∠3+∠4=180°,所以2∠3+2∠4=180°,所以∠3+∠4=90°.
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,得∠COD=90°,所以DF⊥CE.
解法2:如圖7,連接MN、CF、BD、AC、DE.
四邊形ABCD是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行且相等,得CB=AD,CD=AB,且CB∥AD,CD∥EF.
因?yàn)锳D=2AB,F(xiàn)B=AE=AB,所以CD=FB,CD=AE.
根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,得四邊形CDBF是平行四邊形,四邊形CDEA是平行四邊形.
根據(jù)平行四邊形對(duì)角線(xiàn)互相平分,得CN=BN,DM=AM.
因?yàn)锳D=2AB,所以CN=CD=DM.
根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,得四邊形CNMD是平行四邊形.
根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形,得平行四邊形CNMD是菱形.
根據(jù)菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分,得DF⊥CE.
圖7
圖8
解法3:如圖8,連接BM、AN.
四邊形ABCD是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行且相等,得CB=AD,CD=AB,且CB∥AD,CD∥EF.
根據(jù)兩直線(xiàn)平行,內(nèi)錯(cuò)角相等,得∠CDN=∠BFN,∠NBF=∠NCD.
因?yàn)锳D=2AB,F(xiàn)B=AE=AB,所以CN=NB=AB=FB,則點(diǎn)A、F、N在以AF為直徑的同一個(gè)圓上,所以∠ANF=90°.
因?yàn)锳B=AE,所以AN是△BCE的中位線(xiàn).根據(jù)三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊且等于第三邊的一半,得AN∥CE,所以DF⊥CE.
解法4:如圖9,過(guò)點(diǎn)D作DG∥CE交BE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G.
圖9
四邊形ABCD是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行且相等,得CB=AD,CD=AB,且CB∥AD,CD∥EF.
根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形,得四邊形CDGE是平行四邊形,所以CD=EG.
因?yàn)锳D=2AB,F(xiàn)B=AE=AB,所以AD=AF=AG,所以點(diǎn)F、G、D在以FG為直徑的同一個(gè)圓上,所以∠FDG=90°.又因?yàn)镈G∥CE,所以DF⊥CE.
總之,教師的教學(xué)應(yīng)該建立在學(xué)生自身經(jīng)驗(yàn)、興趣與動(dòng)機(jī)的基礎(chǔ)上,教師一味地講,學(xué)生只是被動(dòng)接受,學(xué)生學(xué)到的是死知識(shí).教師應(yīng)讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,并有效探索問(wèn)題,而一題多解為學(xué)生提供了一個(gè)交流互動(dòng)的平臺(tái),讓學(xué)生在做中學(xué),在學(xué)中做,讓學(xué)生真正體會(huì)到了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣.F