江蘇省南京市第二十九中學(xué)初中部 崔寧寧
改革一直在路上,形式一直在變化,但不變的是——數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從來不是“被告知式”的,數(shù)學(xué)教學(xué)從來沒有固定的模式,因為數(shù)學(xué)的主旨在于思維和方法.
當(dāng)然,數(shù)學(xué)課堂自然是思維與方法的課堂,這個本質(zhì)不會因為課程內(nèi)容的不同而改變,亦不會因為課程類型的不同而改變,就算是一節(jié)概念課,也絕不僅僅是簡單的“告知概念”,其中一定蘊含著“本”和“源”,一定含有內(nèi)在的思維和方法.
下面以蘇科版教材數(shù)學(xué)九年級上冊“第2章‘對稱圖形——圓’”中“2.1圓(第2課時)”為例,感受“為思維與方法而教”的真正含義.
圓是平面幾何中的基本圖形之一,在幾何中有著重要地位.“圓”這一章的教學(xué)是初中平面幾何中最為復(fù)雜和特殊的,其中包含了圓自身眾多構(gòu)成要素和相關(guān)要素之間的關(guān)系,本節(jié)課就是具體研究與圓有關(guān)的元素、概念.本節(jié)是一節(jié)概念課,而且概念較多,這些概念是后面學(xué)習(xí)圓的有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ),對這些概念的理解是否透徹、準(zhǔn)確直接影響著后續(xù)圓的性質(zhì)的研究與學(xué)習(xí),可以說起著承上啟下的作用,而弄清它們之間的聯(lián)系與區(qū)別就能更好地幫助理解概念.
對于圓這個曲線型圖形,學(xué)生經(jīng)常會將它和直線型圖形孤立開,但圓中是存在直線型圖形的,所以通過一些問題加強(qiáng)將“曲線型”和“直線型”聯(lián)系起來看的意識;證明“直徑是一個圓中最長的弦”的方法學(xué)生很難想到,但是一旦學(xué)會這種方法,就會為后續(xù)的問題解決提供很大幫助.
課程標(biāo)準(zhǔn)要求理解弧、弦、圓心角、圓周角的概念;了解等圓、等弧的概念.學(xué)生如何不被動直接告知,而是能主動地比較清晰、透徹、準(zhǔn)確地理解這些概念呢?整個過程的定位都是在學(xué)生已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上(①對圓的定義、圓的兩要素的理解;②與研究三角形、四邊形等圖形有著類似的研究方法和經(jīng)驗),學(xué)生通過不斷操作畫圖、比較異同、歸納提煉,切身感受并主動、準(zhǔn)確理解這些概念,在此過程中感受類比、分類討論等數(shù)學(xué)思想,感悟研究問題的方法,促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展,提升“提出問題、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題”的能力.
基于上述分析,本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)及重、難點可確定如下:
(1)教學(xué)目標(biāo).
①在復(fù)習(xí)圓的定義這一情境中,經(jīng)歷實際操作、動手畫圖的過程,借助圖形直觀理解同圓、等圓、同心圓的概念;
②通過對三角形和四邊形研究對象和研究方法的回憶,思考與圓有關(guān)的研究對象,感受類比的思想方法,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維;
③經(jīng)歷研究與圓有關(guān)的“線”的內(nèi)容的過程,經(jīng)歷畫圖的過程,借助圖形直觀理解弦、弧的概念,經(jīng)歷畫弦的過程,觀察特殊弦(直徑)的特點,猜想弦和直徑的特殊關(guān)系,并證明;
④探索、討論、分析角與圓的位置關(guān)系,歸納圓心角和圓周角的概念,感受分類討論,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維;
⑤通過例題,初步感受圓與直線型圖形的聯(lián)系,在整個過程中增強(qiáng)提出問題、發(fā)現(xiàn)問題的能力.
(2)教學(xué)重點、難點
重點:借助圖形直觀理解與圓有關(guān)的概念,并弄清它們之間的聯(lián)系與區(qū)別,初步感受圓與直線型圖形的聯(lián)系.
難點:弄清與圓有關(guān)的概念之間的聯(lián)系與區(qū)別,證明“直徑是一個圓中最長的弦”,建立主動將直線型圖形的有關(guān)知識與圓的有關(guān)知識結(jié)合并加以使用的意識.
具備怎樣的條件可以確定一個圓?
設(shè)計說明:借助圓的集合定義這個學(xué)生已有的知識基礎(chǔ),復(fù)習(xí)圓的兩個基本要素的同時,引發(fā)“如果缺少一個要素會如何”的思考.
實施反思:實際教學(xué)中,學(xué)生對“確定”的意義不太理解,此時引導(dǎo)學(xué)生回憶:在學(xué)習(xí)“兩點確定一條直線”時“確定”的意義——“有且只有”,從而理解題意是需要畫出的圓有且只有一個.
問題1:對于圓的兩要素,如果缺少一個要素會如何呢?你如何思考?
圖1
追問1:如圖1,若以已知點O為圓心畫圓,可以畫多少個圓?這些圓有何特征?
追問2:若以2cm為半徑畫圓,可以畫多少個圓?這些圓有何特征?
請學(xué)生畫在學(xué)習(xí)單上.
追問3:同圓或等圓有什么共同特征?
歸納1:同圓或等圓的半徑相等.
設(shè)計說明:①在明確圓的基本要素之后,讓學(xué)生進(jìn)行實際操作、動手畫圖,進(jìn)一步感受這樣的唯一圓,同時為后續(xù)去掉一個條件做準(zhǔn)備,并感受簡單的“分類”思想——去半徑或去圓心,通過自己畫圖,借助圖形直觀理解同圓、等圓、同心圓的概念.②同圓或等圓的共同特征是圓的很多性質(zhì)的大前提,不可忽視.
實施反思:①問題1和追問1均可解決,而對于追問2,學(xué)生只能回答半徑相等這一特點,對于等圓的“互相重合”這一本質(zhì)還無法認(rèn)知,實際教學(xué)中,通過“將兩個半徑相等的圓進(jìn)行平移會發(fā)生什么”來幫助學(xué)生理解等圓的本質(zhì)是“互相重合”,并且為后面介紹等弧做準(zhǔn)備.②同圓或等圓的共同特征的語言描述,學(xué)生是用兩句話概括的,此處的實際教學(xué)中,教師引導(dǎo)學(xué)生用一句話概括,并提醒大前提不可缺.與圓有關(guān)的一些性質(zhì)的語言描述對學(xué)生來說是難點,這需要教師慢慢引導(dǎo),切不可操之過急!
問題2:對于三角形和四邊形,我們主要研究了它們的哪些內(nèi)容?用了哪些方法?根據(jù)你的經(jīng)驗,對于圓,我們可以研究它的哪些內(nèi)容?
設(shè)計說明:①任何事物不會無緣無故存在,都會有它發(fā)生、發(fā)展的道理.圓的相關(guān)元素較多,如果直接告知,一來易混淆,不易理解,二來也不知為何要引入這些元素,即只知其然卻不知其所以然.初中數(shù)學(xué)要慢慢從小學(xué)的先動后思往先思后動轉(zhuǎn)變.因此在對三角形、四邊形研究對象的認(rèn)知基礎(chǔ)上,對研究內(nèi)容進(jìn)行回憶,啟發(fā)學(xué)生對圖形研究方法進(jìn)行思考,提升思維力,真正做到“為思維與方法而教”.只要學(xué)生的回答與三角形、四邊形研究對象有關(guān),教師都應(yīng)該給予鼓勵,并強(qiáng)調(diào)圖形的研究對象.②下一個問題中啟發(fā)學(xué)生通過類比對圓的研究對象進(jìn)行思考和挖掘.對于圓的研究對象,學(xué)生的回答同樣可以是開放的,無論表達(dá)是否準(zhǔn)確,教師都應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生往正確的方向思考.
實施反思:①實際教學(xué)中,學(xué)生的回答多種多樣:三角形的邊、角,三角形中的線段和角,三角形三邊之間的關(guān)系、三角之間的關(guān)系,四邊形的邊、角、對角線,特殊三角形和特殊四邊形的性質(zhì)和判定,還有對稱性等.當(dāng)然,教師引導(dǎo)學(xué)生對研究對象進(jìn)行分類整理,從而對于圓的研究對象引導(dǎo)學(xué)生往正確的方向思考.②經(jīng)歷前面的共同回憶,借鑒已有研究圖形的經(jīng)驗,實際教學(xué)中,對于圓的研究對象,學(xué)生的回答為:與圓有關(guān)的線,與圓有關(guān)的角,圓的邊,圓的對稱性等.
追問1:(問題探究)與圓有關(guān)的線是什么?在哪里呢?你能在圖2中盡可能多地畫出一些與圓有關(guān)的“線”嗎?你會關(guān)注哪些?(讓學(xué)生盡可能多地畫,并說出所畫的這些“線”的異同)
圖2
圖3
定義歸納:(1)連接圓上任意兩點的線段叫作弦.經(jīng)過圓心的弦叫作直徑.如圖3,弦CD、直徑AB.
追問2:(再次探究)如圖3,直徑與弦有何關(guān)系?
設(shè)計說明:①問題2僅僅是整體上把握我們的研究對象,追問1、追問2則是具體實施:與圓有關(guān)的“線”是怎樣的?在哪里?學(xué)生還是模糊的,因此,要通過學(xué)生動手操作在圓中畫一畫這些“線”,只要能觀察出這些“線”的異同(線段的端點與圓的位置關(guān)系,也有可能畫的是不同的直線與圓的位置關(guān)系),就有了分類標(biāo)準(zhǔn),將這些“線”先分類,再選擇特殊的研究,自然就理解了什么是弦,以及特殊的弦(位置上過圓心).此處盡可能讓學(xué)生自己歸納這些定義.②一般研究線段與線段的關(guān)系,包括位置和數(shù)量,所以此處設(shè)計追問2,也是發(fā)展思考問題的全面性.③追問1中的“線”,如果學(xué)生難以畫出“弧”,則再加追問來解決.
實施反思:①實際教學(xué)中,大部分學(xué)生最先畫出的是半徑、直徑,其次是非直徑的弦、切線、與圓相交的直線,也有少部分學(xué)生畫的是射線,但幾乎沒有學(xué)生畫弧,說明學(xué)生的思維還是固定在直線型的線,這和他們的認(rèn)知是有關(guān)系的.所畫的線雜亂無章,此時教師投影,將學(xué)生所畫的線進(jìn)行展示,通過“追問:這些線太多、太亂,你打算如何區(qū)分它們呢”,將這些“線”先分類.有的學(xué)生按線段、射線、直線來分,有的按線段的端點與圓的位置關(guān)系來分,還有的按線與圓的交點個數(shù)來分,最后教師引導(dǎo)按第二種分類.②實際教學(xué)中,證明直徑與弦的數(shù)量關(guān)系(直徑是最長的弦)時,學(xué)生很難想到方法,此時再“追問:直徑一定是最長的嗎?其他的弦一定比直徑短嗎”,引導(dǎo)學(xué)生任取一條非直徑的弦,證明此弦小于直徑即可.而這種方法,為后續(xù)的問題解決提供很大幫助.
追問3:(三次探究)你還能在圖2中再畫出一些與圓有關(guān)的其他類型的“線”嗎?
定義歸納:(2)圓上任意兩點間的部分叫作圓弧,簡稱弧,用符號“⌒”表示;
追問4:以點C、D為端點的兩條弧跟誰比較大些,跟誰比較小些?
(3)圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧,每條弧都叫作半圓.大于半圓的弧叫作優(yōu)弧,小于半圓的弧叫作劣弧.如圖3,以點C、D為端點的弧有兩條,其中表示同一條優(yōu)弧,為劣??;表示同一個半圓.
(4)能夠互相重合的弧叫作等弧.
(5)弦CD將圓分成兩條圓弧,這兩條弧都稱為弦CD所對的弧.
設(shè)計說明:①學(xué)生比較容易畫出弦、直徑等一些與圓有關(guān)的線,但這都屬于直線型圖形,對于弧,較難想到,故設(shè)計追問3.②對于弧的表示,可以以為例,但此時引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn):以點C、D為端點的弧有兩條到底表示哪一條呢?這兩條弧有何不同呢?從而說明引出優(yōu)弧、劣弧的必要性,并說明兩種弧的表示方法的不同處.③所有概念盡可能讓學(xué)生自己歸納.
實施反思:①實際教學(xué)中,追問3還是有學(xué)生想不到,于是又設(shè)置一些臺階,如:圓是曲線,與圓有關(guān)的線一定是直的嗎?②實際教學(xué)中,筆者認(rèn)為優(yōu)弧與劣弧的不同是難點.學(xué)生很快能說出以C、D為端點的兩條弧“一大一小”(此處描述不嚴(yán)謹(jǐn),只是先讓學(xué)生有個直覺上的感受),但是所謂大小一定是比較出來的,以目前知識儲備兩者無法直接比較,于是:“追問:跟誰比較大些,跟誰比較小些?”,從而找到中介——半圓,得到優(yōu)弧、劣弧概念.這種方法既不突兀,又符合學(xué)生的認(rèn)知水平.
問題3:(問題探究)你能畫出一些與圓有關(guān)的“角”嗎?你會關(guān)注哪些?(讓學(xué)生盡可能多地畫,并說出所畫的這些“角”的異同,即分類標(biāo)準(zhǔn),如圖4)定義歸納:(1)頂點在圓心的角叫作圓心角.圓心角與圓相交兩點間的弧稱為該圓心角所對的弧.
圖4
(2)頂點在圓上,并且兩邊都和圓相交的角叫作圓周角.
圖5
設(shè)計說明:①這個探究活動與問題2類比進(jìn)行,旨在讓學(xué)生在圓中畫些“角”,只要能觀察出這些“角”的異同(角的要素——頂點和邊與圓的位置關(guān)系),就有了分類標(biāo)準(zhǔn),將這些“角”先分類,再選擇特殊的研究.②此處將圓周角的定義提前給出,主要是分類討論過程的一個整體性、連貫性的呈現(xiàn),學(xué)生在考慮與圓有關(guān)的角時,可以一氣呵成考慮,而且這對圓周角和圓心角的定義的形成,也極有好處.③此處盡可能讓學(xué)生自己歸納這些定義.
實施反思:畫與圓有關(guān)的“角”和對所畫的角進(jìn)行分類是難點,實際教學(xué)中,畫全的很少,但也不是不可能,只要能想到借鑒與圓有關(guān)的“線”的分類,還是可以想到關(guān)注角的頂點與圓的位置關(guān)系,進(jìn)而關(guān)注角的另一元素“邊”與圓的位置關(guān)系進(jìn)行二級分類.當(dāng)然,沒有想到也沒關(guān)系,數(shù)學(xué)思維與方法的教學(xué)從來不是一朝一夕達(dá)成的,只要慢慢積累就一定可以.
典型例題:例1如圖6,點A、B和點C、D分別在以點O為圓心的兩個同心圓上,且∠AOB=∠COD.∠C與∠D相等嗎?為什么?
圖6
例2在圖7中,畫出⊙O的兩條直徑,依次連接這兩條直徑的端點,得到一個四邊形.判斷這個四邊形的形狀,并說明理由.
圖7
圖8
例3如圖8,CD是⊙O的直徑,點E在⊙O上,A為DC的延長線上一點,連接AE,交⊙O于點B,且AB=OC,試判斷∠EOD與∠A之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
設(shè)計說明:例1是教材中的例題,例2是教材中的練習(xí)加以改編而來的,例3是教材中的“思考與探索”.①這3個例題都是對本節(jié)課所學(xué)圓的有關(guān)知識和基本概念的鞏固,如:圓心角、圓周角、弧、弦、同圓或等圓的半徑相等.②通過這3個例題,引導(dǎo)學(xué)生將直線型圖形的有關(guān)知識與圓的有關(guān)知識結(jié)合起來加以運用.③關(guān)注圓中的隱含條件(半徑相等)和圓中常用輔助線(連接半徑).④讓學(xué)生知道關(guān)于圓的幾何基本表達(dá).
舉例說說“圓的家族”中又新增添了哪些新成員.它們有什么聯(lián)系與區(qū)別嗎?
舉例說說你收獲了哪些方法.圓與直線型圖形有什么聯(lián)系?
接下來我們將研究圓的什么內(nèi)容呢?
設(shè)計說明:以問題的形式復(fù)習(xí)與圓有關(guān)的基本概念,總結(jié)分類討論、類比的思想方法,并將曲線型的圓與直線型圖形結(jié)合,將知識整合,形成新的知識結(jié)構(gòu).讓學(xué)生自己提出如何研究圓,延續(xù)著開頭對研究對象思考的整體性,為后續(xù)研究做鋪墊,同時增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力.
對于有很多概念的概念課,絕不僅僅是簡單的“告知概念”,直接灌輸不僅容易記不住,而且容易混淆,一定含有內(nèi)在的思維和方法,當(dāng)自己親身經(jīng)歷概念形成的過程后,很多事物就自然生成了,不是被動灌輸,而是主動探究.同時在此過程中,很自然感受到分類和類比的必要性,不是為了要有數(shù)學(xué)思想方法而硬加進(jìn)去的.
整節(jié)課學(xué)生都是在用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維分析世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.在幾何學(xué)習(xí)中感悟研究方法,感悟研究圖形的途徑,學(xué)生對所研究的內(nèi)容有了整體把握,不僅有利于學(xué)生主動探究,而且對后續(xù)研究有幫助,正所謂“站得高方能看得遠(yuǎn)”!
“授人以魚”不如“授人以漁”,這是每一個教育工作者的追求.讓思維真正主導(dǎo)課堂,才能彰顯數(shù)學(xué)教學(xué)的本色.