自然生長(zhǎng)，花自芬芳
——基于人教版“24.1.3圓心角、弧、弦”的教學(xué)思考

重慶市璧山中學(xué) 王 偉

江蘇省南京市竹山中學(xué) 黃秀旺

生長(zhǎng)課堂就是要學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、探究問題和解決問題，要達(dá)到的目的就是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的“熱戀”，簡(jiǎn)單地說，對(duì)已學(xué)知識(shí)有一種“依戀”，對(duì)未知有一種“暗戀”.要實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)者對(duì)數(shù)學(xué)自然生長(zhǎng)，就需要在知識(shí)呈現(xiàn)、方法尋找、結(jié)論探索、例題引申和課堂小結(jié)上合情演繹.

最近，筆者執(zhí)教人教版“24.1.3圓心角、弧、弦”一課.何謂生長(zhǎng)課堂？生長(zhǎng)在何處？筆者結(jié)合課前思考、課中實(shí)施和課后啟迪，行之成文，與讀者分享.

一、課前思考

為了上好這節(jié)課，我在思考：今天教什么？怎樣調(diào)動(dòng)學(xué)生？然后換位思考：我們今天應(yīng)該學(xué)什么？為什么要學(xué)習(xí)這個(gè)知識(shí)？打算怎么學(xué)？由此，由“教什么、怎么教”轉(zhuǎn)化為“學(xué)什么、怎么學(xué)”，把學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)變?yōu)橹鲃?dòng)學(xué)習(xí)，在這樣的拷問下，對(duì)本課進(jìn)行細(xì)化考量：

（1）學(xué)生怎么才能想到將“圓心角、弧、弦”等不同屬性的圖形揉捏在一起？

（2）學(xué)生怎么能想到利用旋轉(zhuǎn)方法去探究“圓心角、弧、弦”的關(guān)系？

（3）學(xué)生對(duì)“圓心角、弧、弦”的關(guān)系這一結(jié)論有多大提升的空間？

（4）學(xué)生如何才能將教材例題與教輔習(xí)題有效契合？

（5）課堂小結(jié)如何做到讓學(xué)生有更多期許？

……

經(jīng)過這樣長(zhǎng)時(shí)間考慮，課堂設(shè)計(jì)逐漸清晰，先將課堂實(shí)施呈現(xiàn)如下.

二、課中實(shí)施

1.今天你認(rèn)為應(yīng)該學(xué)習(xí)什么內(nèi)容？

在這樣的問題拷問下，我進(jìn)行了如下設(shè)計(jì).

師：圓美嗎？美在哪里？

生1：美，美在具有對(duì)稱性，而且有無數(shù)條對(duì)稱軸；還美在旋轉(zhuǎn)任意角度都不變，具有旋轉(zhuǎn)不變性.

師：對(duì)于圓的對(duì)稱性，我們重點(diǎn)研究了什么？

生2：弦，學(xué)習(xí)了垂徑定理.

師：那你認(rèn)為今天應(yīng)該研究什么？

生3：弧.

師：什么是弧呢？

生4：圓上兩點(diǎn)之間的部分，如弧AB（如圖1）.

師：如果我們定下了弧的兩個(gè)端點(diǎn)，弧就確定了嗎？確定一條弧關(guān)鍵是定出什么？

生5：如果定下了弧的兩個(gè)端點(diǎn)，那么這條弧就確定了.

師：很好，如果一條弧AB的兩個(gè)端點(diǎn)確定了，那么還有哪些元素也確定了呢？

生6：弦AB和∠AOB.

師：請(qǐng)你上臺(tái)畫一畫.（如圖2）

師：∠AOB有何特點(diǎn)？你能給它取個(gè)名字嗎？

生7：頂點(diǎn)在圓心，叫圓心角.

師：你認(rèn)為今天我們應(yīng)該研究什么內(nèi)容呢？

生8：圓心角、弧、弦的關(guān)系.（點(diǎn)題，如圖2）

圖1

圖2

板書，如圖3所示：

圖3

點(diǎn)評(píng)：為什么要學(xué)習(xí)圓心角、弧、弦的關(guān)系，不是教師強(qiáng)加的，而是自然而然的生成，學(xué)生更愿意接受，課堂氣氛探究味漸濃，板書優(yōu)美，富有啟發(fā)性.

2.你打算如何學(xué)習(xí)？

師：等弧就是弧能夠重合的兩條弧，有哪些方式可以實(shí)現(xiàn)重合？

生9：翻折、平移和旋轉(zhuǎn).

師：你打算用哪種方式研究圓心角、弧、弦的關(guān)系呢？

生9：旋轉(zhuǎn).

動(dòng)畫演示（如圖4）.

圖4

3.你對(duì)結(jié)論有什么認(rèn)知？

師：你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？

生9：相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧也相等.

師：大家對(duì)這個(gè)結(jié)論有異議嗎？

生10：要加上“在同圓或等圓中”，因?yàn)榈然≈淮嬖谟谕瑘A或等圓中.

師：剛才只是我們的猜想，接下要做什么？

生11：證明.

師：如何證明呢？

師：大家對(duì)這個(gè)結(jié)論還有新的發(fā)現(xiàn)嗎？

生13：在同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的弧相等，所對(duì)圓心角也相等.

生14：有點(diǎn)問題喲，一條弦對(duì)兩條弧，優(yōu)弧和劣弧，我認(rèn)為應(yīng)該描述為在同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的優(yōu)?。ɑ蛄踊。┫嗟?，所對(duì)圓心角也相等.

師：同學(xué)們敢于發(fā)現(xiàn)問題，值得表揚(yáng)，還有新的結(jié)論嗎？

生15：在同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的弦相等，所對(duì)的圓心角也相等.

師：你們能不能綜合起來呢？

生16：在同圓或等圓中，弧、弦、圓心角，如果有一組量相等，那么其余兩組量也分別相等.

點(diǎn)評(píng)：找到什么方法或途徑探究圓心角、弧、弦的關(guān)系是本課的難點(diǎn)，教師巧妙利用圓之美，得到旋轉(zhuǎn)不變性，前后呼應(yīng)，自成一體，可謂妙哉！

4.你對(duì)這個(gè)例題還可以提出哪些新的問題？

師：研究了圓心角、弧、弦的關(guān)系，接下我們?cè)撟鍪裁矗?/p>

眾生：練習(xí)

師：那好，請(qǐng)大家翻開課本第88頁.

練習(xí)1：如圖5，AB、CD是⊙O的兩條弦.

圖5

（1）如果AB=CD，那么___________，____________.

（2）如果弧AB=弧CD，那么__________________，___________________.

（3）如果∠AOB=∠COD，那么________________，______________.

學(xué)生練習(xí).

師：這里出現(xiàn)了OE⊥AB，OF⊥CD，過圓心作弦的垂線段，你能給它取一個(gè)合適的名字嗎？

生17：弦心距.

練習(xí)2：在⊙O中，如果AB=CD，OE⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥CD于點(diǎn)F，OE與OF相等嗎？為什么？

師：你還能提出什么問題？

生19：在⊙O中，如果OE=OF，OE⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥CD于點(diǎn)F，AB與CD相等嗎？為什么？

師：你對(duì)今天學(xué)習(xí)的圓心角、弧、弦的關(guān)系，有什么補(bǔ)充呢？

生20：在同圓或等圓中，弧、弦、圓心角、弦心距，如果有一組量相等，那么其余兩組量也分別相等.

師：看到OE=OF，OE⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥CD于點(diǎn)F，你還會(huì)聯(lián)想到以前學(xué)過的什么圖形？

生：（齊）角平分線，我可以提出如下問題.

（1）如圖6，在⊙O中，弦AB和CD相交于圓外一點(diǎn)P，OP平分∠APD，求證：AB=CD；

圖6

圖7

（2）如圖7，在⊙O中，弦AB和CD相交于圓內(nèi)一點(diǎn)P，AB=CD，求證：OP平分∠APD.

……

點(diǎn)評(píng)：對(duì)教材例題的合理開發(fā)，體現(xiàn)了教師駕馭教材的能力；學(xué)生提出問題，前后聯(lián)系，打開了學(xué)習(xí)的視野，點(diǎn)贊！

5.你對(duì)本課還有什么新的期待？

生21：我想知道弧的長(zhǎng)度的計(jì)算和弧的彎曲程度（弧的度數(shù)）.

生22：我發(fā)現(xiàn)弧確定了，弦、圓心角也確定了，但這條弧所對(duì)的頂點(diǎn)在圓上的角有很多個(gè)（圓周角），可以研究一下嗎？

……

點(diǎn)評(píng)：這節(jié)課結(jié)束了，學(xué)生意猶未盡，整節(jié)課學(xué)生處于高度集中的探究中，知識(shí)呈現(xiàn)、知識(shí)探究、能力提升合理展示.

三、課后啟迪

數(shù)學(xué)課堂生長(zhǎng)無處不在，應(yīng)該是自然的，自然得就像每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的呈現(xiàn)都是一場(chǎng)精心策劃的約會(huì)，而不是“偶遇”；每一種方法的尋找都是必然，而不是偶然；每一次結(jié)論的獲得都是新的起點(diǎn)，而不是終點(diǎn)；每一個(gè)例題的相遇都是玩味，而不是“魔魘”；每一次小結(jié)都有無限的期待，而不是終結(jié).

通過本課執(zhí)教和專家點(diǎn)評(píng)，筆者有如下啟迪.

1.生長(zhǎng)研究對(duì)象

生長(zhǎng)課堂首先是課堂研究對(duì)象的生長(zhǎng)，才能主動(dòng)走進(jìn)學(xué)生心靈.我們可以這樣設(shè)問：“今天應(yīng)該學(xué)什么？怎么想到的？”例如對(duì)于本課，可以有一系列問題：“垂線定理重點(diǎn)研究弦的問題，那么今天應(yīng)該研究什么？”“當(dāng)弧的兩個(gè)端點(diǎn)確定了，哪些元素也隨之確定？”“你認(rèn)為今天應(yīng)該學(xué)習(xí)什么？”這樣讓學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)，深情呼喚本節(jié)課研究的內(nèi)容，讓學(xué)生感覺到不是偶然，而是數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的必然.

為此，教師站在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)的高度，分析已學(xué)知識(shí)與本課的聯(lián)系，合情鋪墊研究?jī)?nèi)容的基礎(chǔ)，通過類比和比較，研究出對(duì)象，這既是對(duì)已學(xué)知識(shí)的合理演繹，更有對(duì)未知的期許.

2.生長(zhǎng)研究方法

有了研究的對(duì)象，接下就是研究探究的方法，這是一節(jié)課的重、難點(diǎn).我們可以這樣設(shè)問：“打算怎么學(xué)？”為此，對(duì)于本課，可設(shè)計(jì)如下問題：“等弧就是弧能夠重合的兩條弧，有哪些方式可以實(shí)現(xiàn)重合？”“你打算用哪種方式研究圓心角、弧、弦的關(guān)系呢？”類比和對(duì)比已學(xué)的相關(guān)知識(shí)，誘導(dǎo)學(xué)生找到探究問題的途徑，并梳理出本課探究的路徑，將零散的知識(shí)串聯(lián)成線，課堂學(xué)習(xí)便能順利進(jìn)行，這是生長(zhǎng)課堂的核心.

3.生長(zhǎng)獲得結(jié)論

在探究的路徑中初步獲取結(jié)論，這并不是學(xué)習(xí)的終點(diǎn)，而是新的學(xué)習(xí)的起點(diǎn).一方面，對(duì)結(jié)論本身需要補(bǔ)充和完善，我們常常可以舉例說明，如生9“相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧也相等”；另一方面則是對(duì)結(jié)論的發(fā)展，如“在同圓或等圓中，弧、弦、圓心角、弦心距，如果有一組量相等，那么其余兩組量也分別相等”.

如果說舉反例是對(duì)現(xiàn)實(shí)結(jié)論前景的研判，發(fā)展則是對(duì)未來的期待……這是生長(zhǎng)課堂的力量.

4.生長(zhǎng)教材例題

教材例題都是編寫者精心設(shè)計(jì)的，雖然靜態(tài)呈現(xiàn)，但教師常?？梢再x予動(dòng)態(tài)的設(shè)計(jì)，為此不妨這樣設(shè)問：“你還能設(shè)計(jì)出什么問題？”例如，“看到OE=OF，OE⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥CD于點(diǎn)F，你還會(huì)聯(lián)想到以前學(xué)過的什么圖形？”鼓勵(lì)學(xué)生回顧已學(xué)知識(shí)，通過例題變式和整合，不斷創(chuàng)新，徜徉在自己設(shè)計(jì)的問題中，那數(shù)學(xué)題不再是“魔魘”，而是“玩”數(shù)學(xué)了，實(shí)現(xiàn)了課堂與作業(yè)無縫整合，教材與教輔有機(jī)契合，真正實(shí)現(xiàn)“一花一世界，一題一課堂”.

5.生長(zhǎng)課堂小結(jié)

課堂小結(jié)不是簡(jiǎn)單的回憶知識(shí)，好的小結(jié)更應(yīng)該激發(fā)學(xué)生對(duì)今后學(xué)習(xí)的期待.例如：“我想知道弧長(zhǎng)度的計(jì)算和弧的彎曲程度（弧的度數(shù)）.”“我發(fā)現(xiàn)弧確定了，弦、圓心角也確定了，但這條弧所對(duì)的頂點(diǎn)在圓上的角有很多個(gè)（圓周角），它們有什么性質(zhì)，可以研究一下嗎？”

這便是在學(xué)習(xí)中期待，在期待中學(xué)習(xí)……

數(shù)學(xué)課堂處處皆生長(zhǎng)，生長(zhǎng)課堂的魅力在于“不請(qǐng)自來”，因?yàn)樵谶@里既有知識(shí)呈現(xiàn)的探究，更有知識(shí)自身的發(fā)展；既有方法的尋找，更有思維的生長(zhǎng)；既有例題靜態(tài)的遇見，更有動(dòng)態(tài)的發(fā)散；既有現(xiàn)實(shí)的需求，更有對(duì)未來的期待.當(dāng)然生長(zhǎng)必須是自然的，合情合理的演繹，觸發(fā)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)與探究，自然生長(zhǎng)，花自芬芳.對(duì)教師來說，既要有數(shù)學(xué)情懷，站在數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的高度理解教材編寫意圖，把控好前后知識(shí)的聯(lián)系，又要有學(xué)生情懷，站在學(xué)習(xí)者的角度準(zhǔn)確設(shè)計(jì)好問題，鋪設(shè)好學(xué)生展示的平臺(tái)，讓學(xué)生與數(shù)學(xué)知識(shí)的相逢變得那么自然、那么美好.F