基于坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)法的最差用戶位置算法研究

王爾申，曲萍萍，黃煜峰,房啟志，龐 濤， 趙為平

(沈陽(yáng)航空航天大學(xué) a.電子信息工程學(xué)院;b.遼寧省通用航空重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，沈陽(yáng) 110136)

隨著衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的發(fā)展，導(dǎo)航系統(tǒng)的完好性受到越來(lái)越多的關(guān)注[1]。基本導(dǎo)航服務(wù)性能中，完好性是關(guān)鍵的性能指標(biāo)之一。衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的完好性可以有效保障用戶在使用導(dǎo)航系統(tǒng)時(shí)的安全性和可靠性[2-3]。完好性中的WUL表示空間信號(hào)的軌道誤差在衛(wèi)星覆蓋域內(nèi)所導(dǎo)致的偽距誤差最大的位置，它可以為空間信號(hào)精度(SISA)和完好性標(biāo)志(IF)提供重要的完好性信息，WUL用來(lái)表示衛(wèi)星SISE中的軌道誤差在衛(wèi)星服務(wù)區(qū)域內(nèi)所導(dǎo)致的用戶誤差最大的位置[4-5]。WUL的計(jì)算對(duì)用戶測(cè)距誤差的計(jì)算，以及為導(dǎo)航系統(tǒng)更好地提供完好性服務(wù)具有重要的意義[6]。

已有文獻(xiàn)提出的WUL算法可以分為格網(wǎng)搜索法和臨界圓法兩類[9-10]。其中，網(wǎng)格搜索法的原理相對(duì)簡(jiǎn)單，通過(guò)將衛(wèi)星覆蓋范圍劃分網(wǎng)格單元的方法，計(jì)算并搜索出在其覆蓋區(qū)域內(nèi)由衛(wèi)星軌道誤差所導(dǎo)致的用戶偽距誤差最大的點(diǎn)[11]；臨界圓法首先要通過(guò)衛(wèi)星的仰角確定其可視域，再根據(jù)球面幾何原理得到WUL點(diǎn)的坐標(biāo)[12]。相關(guān)的研究結(jié)果表明格網(wǎng)搜索法比較直觀簡(jiǎn)單，但算法耗時(shí)和精度與網(wǎng)間距的選擇密切相關(guān)，并且運(yùn)算效率較低[13-14]。臨界圓法具有較高精度，但其算法的復(fù)雜度較高，且算法具有較多的迭代搜索次數(shù)。

針對(duì)傳統(tǒng)算法存在的復(fù)雜度較高和迭代次數(shù)較多的問(wèn)題，采用了基于坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)公式的臨界圓法改進(jìn)算法，簡(jiǎn)稱為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)法。通過(guò)該方法可以減少方位角修正產(chǎn)生的搜索次數(shù)，而方位角修正是影響計(jì)算效率的主要因素，因此改進(jìn)的方法能夠有效提高計(jì)算效率。最后將傳統(tǒng)的臨界圓法計(jì)算得到的點(diǎn)作為真實(shí)值，對(duì)兩種計(jì)算方法進(jìn)行了仿真對(duì)比，采用GPS數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真驗(yàn)證。仿真結(jié)果表明，改進(jìn)的算法能夠減少搜索次數(shù)，并具有較高的精度。

1 改進(jìn)的臨界圓法基本原理

1.1 坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)公式

傳統(tǒng)的臨界圓法在計(jì)算過(guò)程中產(chǎn)生誤差，使得到的WUL點(diǎn)與地心到衛(wèi)星的矢量和軌道誤差矢量不在同一個(gè)平面內(nèi)，因此需要在球模型下對(duì)方位角進(jìn)行修正來(lái)使WUL點(diǎn)與兩個(gè)矢量位于同一個(gè)平面上，而方位角修正會(huì)產(chǎn)生較多的迭代搜索次數(shù)[2]。

針對(duì)傳統(tǒng)臨界圓算法的缺點(diǎn)，引入了坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)公式來(lái)改進(jìn)球模型下的最壞用戶位置坐標(biāo)的計(jì)算。坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)法基于羅德里格旋轉(zhuǎn)公式，羅德里格旋轉(zhuǎn)公式是計(jì)算三維空間中，一個(gè)向量繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)給定角度以后得到的新向量的計(jì)算公式，被廣泛應(yīng)用于空間解析幾何和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等領(lǐng)域。

通過(guò)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)法得到的WUL點(diǎn)，與地心到衛(wèi)星的矢量和軌道誤差矢量在同一個(gè)平面上，省略了方位角修正產(chǎn)生的迭代次數(shù)，能夠有效提高計(jì)算效率。

坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)方法的基本原理如圖1所示。

圖1 羅德里格旋轉(zhuǎn)公式原理示意圖

(1)

(2)

(3)

則旋轉(zhuǎn)后的向量表示為：

(4)

(5)

此時(shí)得到的點(diǎn)即為球模型下的最壞用戶位置點(diǎn)。

1.2 基于球模型下的WUL點(diǎn)計(jì)算步驟

改進(jìn)的臨界圓法運(yùn)用1.1節(jié)中的公式對(duì)球模型下的WUL點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算。首先將地球看成規(guī)則的球體，如圖2所示。

圖2 法向量

具體的計(jì)算步驟如下：

(1)通過(guò)OF和OA的單位矢量，確定法向量和旋轉(zhuǎn)角度；

(2)將OF繞法向量旋轉(zhuǎn)一定角度，得到球模型下的WUL點(diǎn)；

(3)將球模型下的WUL點(diǎn)轉(zhuǎn)換到橢球模型下；

(4)對(duì)橢球模型下的點(diǎn)進(jìn)行距離修正和邊界修正，將修正后的角度帶入到步驟(1)中重新計(jì)算，直到滿足精度要求。

對(duì)于傳統(tǒng)的計(jì)算方法，在得到A、F的坐標(biāo)后，通過(guò)計(jì)算得到AF的方位角，進(jìn)而得到WUL點(diǎn)，而由于在對(duì)方位角計(jì)算過(guò)程中產(chǎn)生的誤差，會(huì)使得到的WUL點(diǎn)和A、F點(diǎn)不在同一個(gè)平面上，在對(duì)AF方位角進(jìn)行修正過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生大量的迭代，從而影響計(jì)算效率。

1.3 基于球模型下的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)方向

在確定旋轉(zhuǎn)軸后，需要確定坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的方向，具體方法如圖3所示。根據(jù)γ的不同主要分為兩種情況：γ>90°和γ≤90°。

圖3 旋轉(zhuǎn)方向確定

1.4 基于橢球模型的WUL坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和修正

由于地球并非規(guī)則球體，因此要將1.1節(jié)中得到的球模型下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到橢球模型下：球模型的WUL記為WULs，橢球模型下的坐標(biāo)記為WULest，曲率半徑為：

(6)

其中Re是地球長(zhǎng)半軸，f是扁率，φW是球模型下的緯度，λW為經(jīng)度。

ROW為地球中心到WULest點(diǎn)的距離為：

ROW=RN

(7)

則ECEF坐標(biāo)系下的WUL坐標(biāo)為：

(8)

得到WUL點(diǎn)后，需要對(duì)其進(jìn)行距離修正。

當(dāng)投影點(diǎn)在衛(wèi)星可視域外時(shí)，需要修正如下：

Δθ=θ-θ0

(9)

β=β+Δθ

(10)

把修正后的中心角β代入球形模型公式進(jìn)行迭代,直到滿足精度要求。

修正坐標(biāo)點(diǎn)后，還需要對(duì)WUL點(diǎn)的邊界進(jìn)行確定，具體方法如下：

(1)如果投影點(diǎn)在衛(wèi)星可視域外，即α>α0。WULs在衛(wèi)星可視域邊界上，在這種情況下，Δα將不能用來(lái)進(jìn)行距離修正?？梢允褂媒刂垢叨冉莵?lái)調(diào)整β進(jìn)行修正。如果θ<θ0，投影點(diǎn)在可視域外，此時(shí)需要進(jìn)行邊界修正，直到滿足精度。如果θ>θ0，投影點(diǎn)在可視域內(nèi)，采用傳統(tǒng)臨界圓法，修正結(jié)果即為WULs點(diǎn)。

(2)如果投影點(diǎn)在衛(wèi)星可視域內(nèi)，即α≤α0。WULs在衛(wèi)星可視域內(nèi)。如果θ<θ0，投影點(diǎn)在可視域外，如果θ>θ0。則該點(diǎn)即為WULs點(diǎn)；如果θ<θ0，則投影點(diǎn)在可視域外，需要做邊界修正，將θ0限制在可視域邊界上。

2 算法仿真驗(yàn)證與結(jié)果

2.1 坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)法仿真結(jié)果

使用IGS下載的2017年6月11日兩小時(shí)的GPS廣播星歷和精密星歷來(lái)進(jìn)行仿真驗(yàn)證。IGS提供間隔15min的精密星歷，而導(dǎo)航星歷的間隔為30s，因此需要對(duì)精密星歷進(jìn)行內(nèi)插，得到與廣播星歷對(duì)應(yīng)時(shí)間的衛(wèi)星位置和鐘差數(shù)據(jù)。選取10階滑動(dòng)式拉格朗日插值法對(duì)精密星歷進(jìn)行分段內(nèi)插，取待插節(jié)點(diǎn)的前后各5組數(shù)據(jù)作為插值區(qū)間。

在仿真中，當(dāng)α≤α0(α0≈0.24°)時(shí)，旋轉(zhuǎn)得到的WUL與真實(shí)值有較大的誤差，由坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)法得到的位置與真實(shí)值相差大于3°，有時(shí)會(huì)超過(guò)10°。有研究表明當(dāng)計(jì)算位置與真實(shí)位置夾角超過(guò)3°時(shí)對(duì)空間信號(hào)誤差的影響會(huì)達(dá)到米級(jí)[7]；而在仿真中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)α>α0時(shí)，得出的結(jié)果誤差小于0.1032°，對(duì)完好性的影響較小。文中采用臨界圓法和坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)法相結(jié)合進(jìn)行運(yùn)算。在絕大多數(shù)數(shù)情況下，WUL所在位置均為α>α0[11]，因此采用兩種方法結(jié)合能夠提高算法的運(yùn)算效率。即當(dāng)α>α0時(shí)采用坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)法來(lái)提高算法的運(yùn)算效率；而當(dāng)α≤α0時(shí)，選擇傳統(tǒng)臨界圓計(jì)算方法；圖4為臨界圓算法的迭代角度誤差變化。

圖4 角度誤差

從圖4中可以看到，在迭代21次后收斂到設(shè)定的誤差門限值內(nèi)，而對(duì)于傳統(tǒng)算法，其迭代次數(shù)平均大于24次。改進(jìn)方法迭代1次，因此改進(jìn)的方法能夠減少迭代次數(shù)。

如圖5、6所示為PRN9的WUL緯度和經(jīng)度計(jì)算結(jié)果。

由圖5和圖6可以看出，兩種方法計(jì)算的經(jīng)度和緯度基本完全重合。

2.2 坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)法仿真誤差

對(duì)傳統(tǒng)臨界圓法和坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)法進(jìn)行仿真，得到對(duì)應(yīng)PRN9的經(jīng)度和緯度誤差分別如圖7和圖8所示，仿真時(shí)段內(nèi)所有點(diǎn)均為，即所有仿真位置均為改進(jìn)的計(jì)算方法的計(jì)算結(jié)果。

圖5 PRN9 緯度

圖6 PRN9 經(jīng)度

從圖7和圖8看到，仿真結(jié)果中緯度誤差絕對(duì)值最大值為0.103 2°，經(jīng)度誤差絕對(duì)值最大值為0.0287°。有研究結(jié)果表明：在目前米級(jí)的定軌精度條件下，WUL所允許的方向誤差只要不超過(guò)3°就可以滿足GPS C/A碼的需求，能夠滿足絕大多數(shù)導(dǎo)航用戶的需求[11]，驗(yàn)證了改進(jìn)的算法在運(yùn)算精度上的可行性。而通過(guò)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)法得到的點(diǎn)避免了由于不共面而產(chǎn)生的方位角修正，減少了搜索次數(shù)；通過(guò)仿真數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)得出，臨界圓法查找平均25次找到WUL點(diǎn)，改進(jìn)的算法需要查找1次，因此改進(jìn)的算法能夠有效減少迭代次數(shù)。表1為將傳統(tǒng)臨界圓法得到的數(shù)據(jù)作為真值，與新的算法結(jié)果進(jìn)行對(duì)比選出的部分?jǐn)?shù)據(jù)，改進(jìn)的方法具有較高的精度。

圖7 緯度誤差

圖8 經(jīng)度誤差

表1 兩種方法計(jì)算結(jié)果對(duì)比 (°)

3 結(jié)論

文中通過(guò)使用坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)法，使旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)位于星下點(diǎn)和軌道誤差矢量組成的同一個(gè)平面上，減少了傳統(tǒng)算法中對(duì)方位角修正而產(chǎn)生的迭代次數(shù)，降低了算法的復(fù)雜度。使用IGS提供的GPS廣播星歷和精密星歷進(jìn)行仿真驗(yàn)證，仿真結(jié)果表明：相比于傳統(tǒng)的臨界圓算法，所提出的方法誤差絕對(duì)值小于，這種誤差對(duì)投影到WUL方向的空間信號(hào)誤差的影響很小，所提出的計(jì)算方法具有較高的精度，能夠有效降低運(yùn)算量。