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    具有惡化效應(yīng)與可控加工時(shí)間的工期指派排序問(wèn)題研究

    2019-12-10 02:44:38王吉波劉巍巍
    關(guān)鍵詞:指派工期排序

    王吉波,張 博,劉巍巍

    (1.沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 理學(xué)院,沈陽(yáng) 110136;2.沈陽(yáng)體育學(xué)院,管理與新聞傳播學(xué)院,沈陽(yáng) 110102;3.東北大學(xué),計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院,沈陽(yáng) 110169)

    1 提出描述

    設(shè)有n個(gè)工件J1,J2,,Jn要在一臺(tái)機(jī)器上加工,工件在加工過(guò)程中不可中斷,所有工件零時(shí)刻到達(dá)。本文研究工件的加工時(shí)間是消耗資源的線性函數(shù)的模型,即假定工件Ji的實(shí)際加工時(shí)間為

    (1)

    2 主要結(jié)論

    引理1(WEI等[15],WANG等[16])對(duì)于給定的排序π=[π(1),,π(n)],工件π(i)的完成時(shí)間和實(shí)際加工時(shí)間分別是:

    (2)

    (3)

    證明:與文獻(xiàn)BRUCKER[20]和LIU等[21]中的證明方法類似。

    假設(shè)一個(gè)虛擬的任務(wù)J0,其權(quán)重是ω0,處理時(shí)間是p0=0(任務(wù)J0在0時(shí)刻調(diào)度,即π(0)=0),可以得到:

    (4)

    證明:與文獻(xiàn)BRUCKER[20]的證明方法類似。

    (5)

    證明:與文獻(xiàn)LIU等[21]的證明方法類似。

    (6)

    其中

    Ω1=λ1+bλ2+b(1+b)λ3++b(1+b)n-2λn

    Ω2=λ2+bλ3+b(1+b)λ4++b(1+b)n-3λn

    Ωn-1=λn-1+bλn

    Ωn=λn

    (7)

    對(duì)于共同工期(CON)指派方法,

    (8)

    對(duì)于松弛工期(SLK)指派方法,

    (9)

    =δ(λ1+bλ2+b(1+b)λ3++b(1+b)n-2λn)(pπ(1)-βπ(1)uπ(1))+

    δ(λ2+bλ3+b(1+b)λ4++b(1+b)n-3λn)(pπ(2)-βπ(2)uπ(2))+

    δ(λ3+bλ4+b(1+b)λ5++b(1+b)n-4λn)(pπ(3)-βπ(3)uπ(3))++

    δ(λn-1+bλn)(pπ(n-1)-βπ(n-1)uπ(n-1))+

    δλn(pπ(n)-βπ(n)uπ(n))+

    其中Ω1=λ1+bλ2+b(1+b)λ3++b(1+b)n-2λn

    Ω2=λ2+bλ3+b(1+b)λ4++b(1+b)n-3λn

    Ωn-1=λn-1+bλn

    Ωn=λn

    對(duì)于松弛工期(SLK)工期指派,證明方法相似。

    從引理5,通過(guò)對(duì)式(6)中的uπ(i)(i=1,2,,n)求一階導(dǎo)數(shù),并令導(dǎo)數(shù)式子等于0,就可以求得最優(yōu)uπ(i),由此得到如下引理。

    (10)

    其中Ωi(i=1,2,,n)是由式(7)給出。

    設(shè)二進(jìn)制變量Xir=1表示工件Ji排在位置r,否則Xir=0。從式(6)可知,最優(yōu)排序(工件序列)能通過(guò)下面的線性指派問(wèn)題得到。

    (11)

    S.T.

    (12)

    (13)

    Xir=0或1,i,r=1,2,,n

    (14)

    其中

    (15)

    Ωr由式(7)給出。

    通過(guò)以上引理和分析,對(duì)問(wèn)題

    算法1

    步驟1 對(duì)于CON共同工期指派問(wèn)題,通過(guò)引理3計(jì)算k;對(duì)于SLK松弛工期指派問(wèn)題,通過(guò)引理4計(jì)算l;

    步驟2 通過(guò)式(11)~(15)解決線性指派問(wèn)題,從而得到最優(yōu)排序;

    步驟3 通過(guò)引理6(式(10))計(jì)算最優(yōu)資源分配;

    步驟4 對(duì)共同工期CON指派方法,計(jì)算工期dopt=Cπ(k),對(duì)松弛工期SLK指派方法,計(jì)算qopt=Cπ(I)。

    定理1算法1能在時(shí)間復(fù)雜度O(n3)內(nèi)解決問(wèn)題

    證明根據(jù)引理1-6和線性指派問(wèn)題,可得算法1的正確性。步驟2線性指派問(wèn)題的復(fù)雜性為O(n3),步驟1,3,4的復(fù)雜性為O(n),因此算法1總的時(shí)間復(fù)雜性為O(n3)。

    為了詳細(xì)說(shuō)明算法1的計(jì)算過(guò)程,我們舉出如下的例子:

    例1:本例僅考慮共同工期的情況(松弛工期情況計(jì)算步驟相似)。n=7,δ=0.5,b=0.05,位置權(quán)重分別是ω0=2,ω1=7,ω2=4,ω3=5,ω4=8,ω5=2,ω6=6,ω7=1,在表1中,給出了關(guān)于工件參數(shù)的其它數(shù)據(jù)。

    表1 例子1的相關(guān)數(shù)據(jù)

    表2 例1中λir的值(黑色字體為最優(yōu)解)

    3 結(jié)論

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