基于加罰方法的向列型液晶流問題的一階時間半離散格式

龔 歡

(溫州大學數(shù)理與電子信息工程學院，浙江溫州 325035)

在本文中，考慮以下的流體動力學模型：

其中，t∈(0,T]，Ω?R2是一個有界凸區(qū)域，且邊界光滑.u(x,t):Ω×[0,T]→?2和p(x,t):Ω×[0,T]→?分別代表速度和壓力.b(x,t):Ω×[0,T]→S，其中S是?2中的單位圓，代表著宏觀分子取向.f:Ω×[0,T]→?2為外力.常數(shù)μ,λ,γ為三個正常數(shù)分別表示著粘性系數(shù)、彈性系數(shù)和弛豫時間系數(shù).?b⊙?b為2×2矩陣.如果b是一個常映射，則上述系統(tǒng)簡化為不可壓縮Navier-Stokes方程[1]，如果u=0，則上述系統(tǒng)簡化為熱調(diào)和映照[2].

為了研究方程（1）-（3），賦予如下的初始條件和邊界條件：

其中n表示在?Ω中單位外法向量，這里要求初始向量函數(shù)u0和b0滿足條件divu0=0和|b0|=1.

方程（1）-（3）首先是由林芳華教授在文獻[3]中作為Ericksen-Leslie模型的簡化模型導出的，用于描述由Ericksen[4-5]和Leslie[6]所提出的向列型液晶流動模型，它是在流動速度u和類似于旋轉(zhuǎn)液晶流的微觀取向b的影響下對材料時間演化的宏觀連續(xù)描述.但研究系統(tǒng)（1）-（5）的困難之一是非線性約束|b|=1，通常的方法是采用Ginzburg-Landau加罰函數(shù)去代替（2）式中的2|?b|b，而不考慮非線性約束|b|=1.此時考慮如下的加罰問題：

其中ε＞0為加罰參數(shù).（6）-（8）式首先是由Lin和Liu在文[7]中引入的，文[7]證明了三維問題全局弱解和局部強解的存在性.然而由于解的估計很大程度上取決于ε，所以在（6）-（8）式中當ε趨于0時，加罰問題方程（6）-（8）的解是否趨于原問題方程（1）-（3）的解仍不清楚.

近幾年許多學者對向列液晶流動問題的數(shù)值方法也進行了研究，Liu和Walkington在文獻[8]中對加罰問題方程（6）-（8）的數(shù)值方法首先進行了研究，并采用3?Hermite有限元來逼近bε.為了避免使用Hermite有限元，隨后Liu和Walkington又在文[9]中研究了混合有限元方法，并構造了全隱格式，雖然該格式是無條件穩(wěn)定的，但每個時間步必須求解非線性問題而需消耗大量的數(shù)值求解時間，正如文[10]中所指出的，在文[8-9]中導出的誤差估計依賴于ε，這將導致非常小的時間步長為避免時間步長的強約束條件，Becker等在文[10]中通過引入研究了一種新的混合有限元方法，所提出的完全離散格式僅在求解wε時是非線性的，并且滿足離散的能量不等式.在文[10]中，Becker等證明了當h,τ→0時數(shù)值解的適定性和收斂性，并沒有給出誤差估計.最近An和Su在文[11]中研究了求解（1）-（5）式的線性化半隱全離散有限元算法，在構造該算法時沒有考慮非線性約束條件|b|=1，并證明了該全離散有限元算法具有最優(yōu)階的有限元時空誤差估計.

本文將基于一種新的加罰方法，在不考慮非線性約束條件|b|=1的情況下，構造新的一階線性化時間半離散格式.在時間步長和加罰參數(shù)滿足τ=ο(ε)的條件下，我們證明了所構造的半離散算法具有一階時間收斂精度.

1 預備知識

本文采用標準的Sobolev空間記號[12].用(.,.)表示L2(Ω)的內(nèi)積，采用C,C0,C1,C2…表示正常數(shù)，它們可依賴于u,p,b,f,μ,λ,γ，但不依賴于加罰參數(shù)ε＞0和時間步長τ.

引入空間：

定義雙線性形式：

定義三線性形式：

通過積分可得到：

記正交投影算子PH:L2(Ω)→H，那么Stokes算子A定義為[1]：

關于問題（1）-（5）的適定性，首先引入如下定理.

定理1 若u0∈D(A)，b0∈H3(Ω)2和|b0|=1在Ω內(nèi)幾乎處處成立，對于給定的f∈L∞(0,T;H)∩L2(0,T;L4(Ω)2)，則存在T*＜T使得（1）-（5）式存在唯一的局部強解(u,p,b)并滿足[13]：

記0=t0＜t1＜…tN=T是時間間隔[0,T]的一個均勻化分割，時間步長，τ=T/N和tn=nτ.記un=u(x,tn)，pn=p(x,tn)，bn=b(x,tn)，fn=f(x,tn).對序列記取初始值B0=b0，U0=u0，構造如下的線性化加罰迭代格式：

為了研究上述迭代格式的時間收斂階，本文將應用如下的不等式：

2 主要結論

從（25）式中減去（18）式，并從（24）式、（26）式中減去（19）式得誤差方程為：

本文的主要結論如下.

定理2 在定理1的正則性條件下，對足夠小的ε＞0，若時間步長τ滿足τ=ο(ε)，則有：

證明：因為u0=U0=u0和b0=B0=b0，因此（30）式和（31）式對m=0成立.假設（30）式和（31）式對m≤n成立，根據(jù)數(shù)學歸納法，那么只需要證明（30）式和（31）式對m≤n+1也成立.（28）式乘以然后在Ω上積分可得到：

現(xiàn)在開始估計上式右端.根據(jù)

并使用（15）式，（16）式，（22）式，（30）式（對m≤n成立），Holder’s不等式和Young’s不等式，可估計I1如下：

其中C1＞0與C0無關.這里使用

再由|bn|=1可得：

利用Holder’s不等式和Young’s不等式，可估計I3如下：

這里使用

把I1,I2,I3和I4的估計帶入（32）式得到：

利用Holder’s不等式和Young’s不等式有：

其中C2＞0與C0無關.

再根據(jù)

有：

這里使用了（30）-（31）式（對m≤n成立）和

把I5,I6,I7帶入（36）式中可得：

其中C3＞0與C0無關.

把（35）式，（38）式，（39）式加起來，得：

使用離散的Gronwall’s不等式[14]，并根據(jù)τ=ο(ε)，存在足夠小的τ0＞0使得當τ＜τ0時有：

這樣就證明了定理2的結論.