基于多部件串聯(lián)系統(tǒng)的屏蔽數(shù)據(jù)在恒定應(yīng)力下的最優(yōu)設(shè)計(jì)

王 秀

(溫州大學(xué)數(shù)理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035)

近年來，為了滿足市場與消費(fèi)者的要求，產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)變得越來越復(fù)雜，在不同的數(shù)據(jù)類型下如何更好地評估產(chǎn)品的可靠性變得極其重要.跟最初研究可靠性的產(chǎn)品相比，現(xiàn)在的大部分產(chǎn)品系統(tǒng)失效的失效機(jī)理不再單一化，而呈現(xiàn)多種失效機(jī)理共存的特征，對此類數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析會更加接近現(xiàn)實(shí)產(chǎn)品的真實(shí)數(shù)據(jù)分析.由于一些原因，如缺乏檢測失效機(jī)能設(shè)備、成本和時(shí)間的限定、檢測對產(chǎn)品造成的破壞等，壽命試驗(yàn)中往往觀測不到精確的失效機(jī)理，但可以觀測到產(chǎn)品可能失效機(jī)理的最大集合，稱這種失效機(jī)理未知的觀測數(shù)據(jù)為屏蔽數(shù)據(jù).

屏蔽數(shù)據(jù)的廣泛存在吸引了大量學(xué)者用多種統(tǒng)計(jì)方法去探索.屏蔽數(shù)據(jù)問題最早由Friedman等[1]提出，主要討論了完全屏蔽數(shù)據(jù)在兩部件壽命試驗(yàn)中的運(yùn)用.Usher等[2]最早給出了屏蔽數(shù)據(jù)的定義，并推出了三部件壽命試驗(yàn)服從指數(shù)分布時(shí)模型參數(shù)極大似然估計(jì).Mukhopadhyay等[3]將壽命試驗(yàn)推廣到多個(gè)部件的情況.Xu等[4-7]深入研究了不同場景下屏蔽數(shù)據(jù)的貝葉斯分析.文獻(xiàn)[8]討論了兩部件串聯(lián)系統(tǒng)壽命試驗(yàn)變點(diǎn)模型的貝葉斯參數(shù)估計(jì)問題.對于壽命試驗(yàn)的最優(yōu)設(shè)計(jì)通常有兩種，一種是用Fisher信息陣來設(shè)計(jì)，另一種是由漸進(jìn)方差來設(shè)計(jì)，分別對應(yīng)D-最優(yōu)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則和V-最優(yōu)最優(yōu)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則.Bai等[9-10]分別研究了競爭失效產(chǎn)品壽命數(shù)據(jù)服從指數(shù)分布時(shí)的簡單步加試驗(yàn)和服從威布爾分布的簡單梯度試驗(yàn)最優(yōu)設(shè)計(jì)問題.文獻(xiàn)[11-12]研究了指數(shù)分布場合下多個(gè)競爭機(jī)理多應(yīng)力下恒定加速試驗(yàn)的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題.文獻(xiàn)[13]研究了Marshall-Olkin多元指數(shù)分布有關(guān)的加速試驗(yàn)的最優(yōu)設(shè)計(jì)問題.文獻(xiàn)[14]給出了兩種最優(yōu)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則的關(guān)系，并加以應(yīng)用.文獻(xiàn)[15-17]研究了Gumbel指數(shù)分布的競爭失效數(shù)據(jù)在加速壽命試驗(yàn)下的最優(yōu)設(shè)計(jì)問題.文獻(xiàn)[18]研究了費(fèi)用控制下的最優(yōu)設(shè)計(jì)問題.在壽命試驗(yàn)中[19-21]，雖然屏蔽數(shù)據(jù)和最優(yōu)設(shè)計(jì)問題的研究均已成熟，但至今仍未有人研究壽命試驗(yàn)的失效數(shù)據(jù)為屏蔽數(shù)據(jù)時(shí)有關(guān)的最優(yōu)設(shè)計(jì)問題.

本文對恒定應(yīng)力下多部件串聯(lián)系統(tǒng)的屏蔽數(shù)據(jù)最優(yōu)設(shè)計(jì)問題進(jìn)行了研究，首次給出了恒定應(yīng)力下多部件串聯(lián)系統(tǒng)屏蔽數(shù)據(jù)的最優(yōu)設(shè)計(jì)問題的解決方案.根據(jù)D-最優(yōu)和V-最優(yōu)準(zhǔn)則，分別給出成本控制下壽命數(shù)據(jù)為屏蔽數(shù)據(jù)時(shí)多部件串聯(lián)系統(tǒng)的D-最優(yōu)模型和V-最優(yōu)模型.基于D-最優(yōu)模型和V-最優(yōu)模型，給出了兩部件串聯(lián)系統(tǒng)和三部件串聯(lián)系統(tǒng)的最優(yōu)配置方案.

1 基本假設(shè)

為了方便建立模型，給出了幾個(gè)基本假設(shè)：

假設(shè)1：產(chǎn)品所使用的系統(tǒng)為多部件串聯(lián)系統(tǒng)，每個(gè)產(chǎn)品的系統(tǒng)均由J(≥2)個(gè)部件獨(dú)立串聯(lián)而成.

假設(shè)2：所使用的屏蔽數(shù)據(jù)是由n個(gè)相同系統(tǒng)的產(chǎn)品失效后的檢測數(shù)據(jù)組成，即本文的數(shù)據(jù)是全部失效后的檢測數(shù)據(jù).

假設(shè)3：本文的數(shù)據(jù)是在某一個(gè)部件失效而產(chǎn)生產(chǎn)品的失效，所以屏蔽數(shù)據(jù)中未檢測出失效機(jī)理的數(shù)據(jù)的失效部件均為MJ+1={1,2,…,J}.

假設(shè)4：每個(gè)產(chǎn)品的第j個(gè)部件的壽命均服從參數(shù)為λj的指數(shù)分布，即為其中表示產(chǎn)品是因?yàn)榈趈個(gè)部件失效而失效的產(chǎn)品系統(tǒng)的平均壽命，分布函數(shù)密度函數(shù)為可靠度函數(shù)為失效函數(shù)為

假設(shè)6：屏蔽概率為p，若則

2 極大似然估計(jì)與Fisher信息陣

2.1 極大似然估計(jì)

根據(jù)以上描述，可得似然函數(shù)：

設(shè)n個(gè)產(chǎn)品的壽命總時(shí)間為：帶入似然函數(shù)（1）并對其求對數(shù)，得：

2.2 Fisher信息陣

對數(shù)似然函數(shù)（2）求二階偏導(dǎo)，并求此負(fù)二階偏導(dǎo)的期望，可得如下的Fisher信息陣：

其中：

3 D-最優(yōu)模型和V-最優(yōu)模型

3.1 D-最優(yōu)模型

D-最優(yōu)是以參數(shù)估計(jì)的Fisher信息陣的行列式最大為準(zhǔn)則，也即是找到最優(yōu)的參數(shù)點(diǎn)λ1,λ2,…,λJ以及p的值，使得值達(dá)到最大.

常應(yīng)力下對n個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行失效檢測，每個(gè)產(chǎn)品檢測的失效成本為C1，每個(gè)產(chǎn)品的成本為C2，n個(gè)產(chǎn)品消耗的其他總成本為C0，對于此次試驗(yàn)的總預(yù)算為C，則可得約束條件：其中C1、C2、C0、C、n均已知.因此可得D-最優(yōu)的最優(yōu)化模型：

3.2 V-最優(yōu)模型

V-最優(yōu)是以常應(yīng)力下平均壽命估計(jì)的漸近方差最小為準(zhǔn)則，也即是找到最優(yōu)參數(shù)點(diǎn)λ1,λ2,…,λJ以及p的值，使得達(dá)到最小.

因此，可得V-最優(yōu)的最優(yōu)化模型：

其中，此處的約束條件與D-最優(yōu)模型的約束條件一樣.

4 數(shù)值模擬

4.1 D-最優(yōu)模型的數(shù)值模擬

1）當(dāng)J=2時(shí)，假定n=50，C=1000，C0=200，C1=10，C2=12，則可得最優(yōu)解為：(n1,n2)=(1,9)或(n1,n2)=(9,1)，此時(shí)模型（5）的目標(biāo)函數(shù)的最大值為173.6111.

2）當(dāng)J=3時(shí)，假定n=50，C=1000，C0=200，C1=10，C2=12，則可得目標(biāo)函數(shù)的參數(shù)最優(yōu)解為：(n1,n2,n3)=(8,1,1)或(1,8,1)或(1,1,8)，此時(shí)模型（5）的目標(biāo)函數(shù)的最大值為195.3125.

根據(jù)定理1，可得參數(shù)值和參數(shù)比為：p=0.8，λ1:λ2:λ3=8:1:1或1:8:1或1:1:8，若可得Fisher信息陣行列式的最大值為0.2679184.

4.2 V-最優(yōu)模型的數(shù)值模擬

1）當(dāng)J=2時(shí)，假定n=50，C=1000，C0=200，C1=10，C2=12，則可得最優(yōu)解為：n1+n2=10，n1=1,2,…,9，此時(shí)模型（6）的目標(biāo)函數(shù)的最小值為2.169235.

2）當(dāng)J=3時(shí)，假定n=50，C=1000，C0=200，C1=10，C2=12，可得目標(biāo)函數(shù)的參數(shù)最優(yōu)解為：(n1,n2,n3)=(8,1,1),(7,1,2),…,(1,8,1)，此時(shí)模型（6）的目標(biāo)函數(shù)最小值為2.169235.

根據(jù)定理1，則其參數(shù)值比分別為：p=0.8，(λ1:λ2:λ3)=(8:1:1),(7:1:2),…,(1:1:8)，若可得近似方差的最小值為19.52312.

5 結(jié) 論

綜合上述給出的模擬結(jié)果，可以看出屏蔽概率p是與約束條件的成本控制范圍有關(guān)，參數(shù)λj取任意值，屏蔽概率p均取約束范圍內(nèi)的最大值.每個(gè)部件參數(shù)λj取值則與檢測該部件失效的產(chǎn)品數(shù)nj成正比，各個(gè)部件參數(shù)的實(shí)際大小是無法被估計(jì)，只能計(jì)算出其最優(yōu)比值.通過模擬可知，每個(gè)參數(shù)λj的取值也是相對對稱的.

在D-最優(yōu)模擬結(jié)果中可以發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)解個(gè)數(shù)為部件數(shù)J的倍數(shù)；在V-最優(yōu)模擬結(jié)果中可以發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)解是一個(gè)范圍，該范圍滿足此時(shí)K為一個(gè)固定的值，D-最優(yōu)和V-最優(yōu)的最終結(jié)果一致.

基于本文的研究方法和成果，將來可以從以下方面開展進(jìn)一步研究：研究多部件串聯(lián)系統(tǒng)的屏蔽數(shù)據(jù)在多個(gè)恒定應(yīng)力下加速壽命試驗(yàn)的最優(yōu)設(shè)計(jì)問題；對于多部件并聯(lián)系統(tǒng)，在成本控制下，研究壽命數(shù)據(jù)為屏蔽數(shù)據(jù)的產(chǎn)品在步加或步進(jìn)應(yīng)力下的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案；當(dāng)壽命分布為非指數(shù)分布或混合分布時(shí)，對前兩個(gè)最優(yōu)設(shè)計(jì)問題進(jìn)行研究.