聯(lián)系除號歷史，豐富除法意義
——一則“你知道嗎”欄目內(nèi)容運用案例

□ 竺君斐 李雪蘭

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“數(shù)學(xué)文化作為教材的組成部分，應(yīng)滲透在整套教材中?！比私贪娼滩挠袡C滲透了數(shù)學(xué)文化內(nèi)容，開辟了“你知道嗎”欄目予以體現(xiàn)。如何挖掘教材中的這一內(nèi)容，讓數(shù)學(xué)文化浸潤課堂，讓數(shù)學(xué)課靈動豐盈？筆者結(jié)合“除號的由來”，談?wù)劸唧w的做法。

二年級下冊引入除法。先介紹平均分，包括等分，包含分；再明確平均分可以用除法表示。教材在該章節(jié)知識的練習(xí)后面，安排了“你知道嗎”欄目：“1659年，瑞士數(shù)學(xué)家拉恩（J.H.Rahn）在他的《代數(shù)》一書中，第一次用‘÷’表示除法?！彼劝藬?shù)學(xué)史料的介紹，除號的發(fā)明者是拉恩；又包括了除法意義的理解，觀察“÷”外形，進一步明確除法表示“平均分”。

把這一內(nèi)容安排在“除法的初步認(rèn)識”之后，可以看出教材編排意圖是希望將這一拓展內(nèi)容滲透到除法意義的教學(xué)與練習(xí)中。

一、播放視頻“除號的由來”，介紹除號歷史

【教學(xué)過程】

師：別看“÷”長得簡單，它的出現(xiàn)可是經(jīng)過了漫長的過程呢！接下來讓我們聽聽電腦老師的介紹吧！

1.播放視頻

（1）除號的雛形。

除號最初作為減號，在歐洲大陸被長期使用。

（2）除號的發(fā)展。

1544年，德國數(shù)學(xué)家施蒂費爾在他出版的《整數(shù)算術(shù)》中用半括號或一對半括號做除號，如8）24或8）24（，表示24÷8。1631年英國數(shù)學(xué)家奧屈特用“：”表示除或比，也有人用“—”表示除。

（3）除號的成型。

1659年，瑞士數(shù)學(xué)家拉恩在他的《代數(shù)》一書中最先提到了除號，用一根橫線把兩個圓點分開來，表示平均分成幾份的意思，第一次用“÷”表示除法，除號由此誕生。所以“÷”也叫拉恩記號。1668年，這本書被翻譯成英文出版，“÷”開始流行，一直沿用到現(xiàn)在。

2.師生問答，形成板書

師：同學(xué)們，聽了有關(guān)除號的介紹后，你覺得除號是由哪些符號演變過來的？

【教學(xué)意圖】學(xué)生通過觀看視頻，了解除號的發(fā)展歷程，知曉“÷”的發(fā)明者是拉恩，又叫拉恩記號。學(xué)生像聽故事一樣，隨著視頻的介紹走進除號，體會到“÷”漫長的演變過程，體會到為了簡潔、形象，數(shù)學(xué)家們不斷思考，不懈努力，勇于創(chuàng)新勇于挑戰(zhàn)的精神。這一精神的傳遞，有利于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，為學(xué)生播下學(xué)習(xí)的種子，這是文化的力量。

二、溝通除法與減法的關(guān)系

【教學(xué)過程】

1.復(fù)習(xí)減法

師：除號最初作為減號，在歐洲大陸長期使用，除法與減法之間是不是有一定的關(guān)系呢？

出示人教版一年級下冊第78頁例5。

師：同學(xué)們，這是一年級的內(nèi)容，我們是怎么解決這一問題的？同桌相互說一說。

（2）我們也可以用連續(xù)減9的方法算一算。

2.溝通減法與除法的關(guān)系

師：有12個橘子，每4個裝一袋，可以裝幾袋？

師：你可以用一年級的方法解決這個問題嗎？

學(xué)生在黑板上演示。

師：除法中的12，4，3分別表示減法的什么？

師：你能用二年級學(xué)過的方法來解決這個問題嗎？

通過有限元計算的裂尖應(yīng)力場和應(yīng)變場來計算J積分，得到在臨界載荷時沿厚度分布的J積分,如圖12所示。由圖可見，從試樣中心面到表面的J積分基本呈現(xiàn)變小趨勢，其中最大值為381.3kJ/m2，最小值為137.4kJ/m2，該范圍包含了按照GB/T 21143標(biāo)準(zhǔn)計算的J積分的起裂斷裂韌度值(351.4 kJ/m2)。另外，有限元計算的J積分平均值為293.1kJ/m2，記為JiFem，與光測試驗結(jié)果JiDic(293.4kJ/m2)接近。

學(xué)生在黑板上演示：12÷4＝3（袋）。

師：為什么可以用除法解決？（這個問題就是求12里面有幾個4，可以用除法解決）

（重點理解：除法里的“3”，表示12里面有3個4，減法中的“3”表示總數(shù)是12，減去4，可以連續(xù)減3次，正好減完。減法里面雖然不能直接找到3，但可以數(shù)出來。）

師：你覺得怎樣的減法可以用除法來表示？

小結(jié)：連續(xù)減去一個相同的數(shù)，可以用除法來解決。除法和減法有一定的關(guān)系。所以“-”和“÷”也有一點相似。

【教學(xué)意圖】在除號的演變過程中，我們發(fā)現(xiàn)，除法源自減法，在歐洲大陸長期用減號表示除法。如“12個橘子，每4個裝一袋，可以裝幾袋？”可用12連續(xù)減去4來表示。課堂上，為了引發(fā)學(xué)生的思考與回憶，教師提供了一年級教材中的例題。然后請學(xué)生找找減法、除法中各數(shù)之間的關(guān)系，溝通減法與除法之間的聯(lián)系?！俺柕挠蓙怼币曨l內(nèi)容，彌補了教材中“除法與減法內(nèi)在聯(lián)系例題缺失”的部分，加深了學(xué)生對加減乘除運算之間關(guān)聯(lián)的認(rèn)識。

三、豐富除法“平均分”的意義

【教學(xué)過程】

師：四位同學(xué)在“分橘子”，你覺得哪些圖既可以用減法，也可以用除法？先動筆寫一寫，再與同桌交流。

匯報交流：

小明的分法只能用減法，不能用除法。因為不是一樣多。

小紅的分法能用減法，也能用除法。因為每次拿走的一樣多。

小朵的分法能用減法，也能用除法。每分一輪，要拿走3個，需要分四次。

小亮要求總數(shù)，用加法。不能用減法，也不能用除法。

師：現(xiàn)在你覺得什么情況下既可以用減法，又可以用除法來表示？（連續(xù)減去相同的數(shù)，才可以既用減法，又用除法來表示）

師:小紅和小朵的分法，都表示平均分，這兩個算式中的12÷3=4表示的意思一樣嗎？

學(xué)生回答，教師通過操作幫助理解小朵的分法是等分除，表示把12平均分成3份，每份是4個。用減法表示是12-3-3-3-3=0，每一次拿走3個，可在每一盤子上放一個，需要拿4次，所以每一盤子上有4個。

師（小結(jié)）：小紅和小朵分得一樣多，所以既可以用減法，也可以用除法?！啊隆毙蜗蟮乇硎玖朔值倪^程與結(jié)果。

【教學(xué)意圖】這一環(huán)節(jié)設(shè)計的四道習(xí)題，讓學(xué)生判斷哪些情境既可以用減法，又可以用除法。辨析過程中進一步促使學(xué)生理解，分得同樣多才可以用兩種方法，強化除法“平均分”的意義。

這節(jié)“除法意義”鞏固練習(xí)課從數(shù)學(xué)史料——除號的演變歷史入手，溝通梳理了減法與除法的緊密聯(lián)系，又通過四道辨析題深入解釋除法“平均分”的含義，既滲透了數(shù)學(xué)文化，又豐富了“除法意義”。