三角形內(nèi)角和180°該如何說(shuō)明*
——小學(xué)數(shù)學(xué)中的合情推理和演繹推理

□ 章勤瓊 杜婭茹

推理能力屬于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的十大核心概念之一，也是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中明確提出的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。推理是形式邏輯術(shù)語(yǔ)，是一種重要的思維形式，即由一個(gè)或幾個(gè)已知命題推出一個(gè)新命題的思維形式。[1]推理在人們認(rèn)識(shí)客觀世界的過(guò)程中發(fā)揮著巨大的作用，要推理出正確的結(jié)論，需要有兩個(gè)條件，一是推理前提是真判斷，二是推理形式正確。[2]因此，只要推理前提為真，推理過(guò)程正確，結(jié)論就一定正確。

“三角形的內(nèi)角和”是小學(xué)階段“圖形與幾何”領(lǐng)域一節(jié)很有代表性的經(jīng)典課例。從數(shù)學(xué)內(nèi)容來(lái)看，邊和角是三角形的重要屬性，屬于必須掌握的重要知識(shí)。更重要的是，這一內(nèi)容對(duì)于學(xué)生推理能力的培養(yǎng)有著非常重要的價(jià)值。教材通過(guò)“量角”“拼角”和“折角”等方式，讓學(xué)生經(jīng)歷說(shuō)明三角形內(nèi)角和是180°的過(guò)程，這是一種合情推理①Plausible Reasoning，也譯成似真推理或似然推理。的方式。現(xiàn)在很多教師的教學(xué)中，會(huì)在上述內(nèi)容之后加入演繹推理的內(nèi)容。

那么，對(duì)于小學(xué)生而言，三角形的內(nèi)角和是180°，應(yīng)該以怎樣的方式進(jìn)行說(shuō)明比較合適？合情推理和演繹推理在教學(xué)中又該如何落實(shí)？我們應(yīng)該對(duì)相關(guān)概念進(jìn)行梳理，進(jìn)而對(duì)教學(xué)有進(jìn)一步的思考。

一、課堂上的合情推理“合情”嗎？

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出，推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)，通過(guò)歸納和類比等推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。[3]

一般來(lái)說(shuō)，小學(xué)階段應(yīng)更關(guān)注學(xué)生探索與發(fā)現(xiàn)的過(guò)程。因此，實(shí)際教學(xué)會(huì)偏重于合情推理的內(nèi)容，或者說(shuō)合情推理會(huì)多于演繹推理。[4]合情推理是數(shù)學(xué)家波利亞對(duì)歸納推理、類比推理等或然性推理（即推理的結(jié)論不一定成立的推理）的特稱。它是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)，通過(guò)歸納、類比等推斷某些結(jié)果，是一種合乎情理、好像為真的推理。[5]

對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)，三角形的內(nèi)角和這個(gè)內(nèi)容，有兩方面的學(xué)習(xí)價(jià)值。一是知道三角形內(nèi)角和是180°這個(gè)知識(shí)；二是經(jīng)歷探索三角形內(nèi)角和并進(jìn)行說(shuō)明的過(guò)程。但由于學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)的增多，三角形內(nèi)角和是180°這個(gè)結(jié)論，很多學(xué)生都已經(jīng)知道。在知識(shí)性的結(jié)論已經(jīng)知道的情況下，這節(jié)課學(xué)生還需要獲得什么？對(duì)很多教師來(lái)說(shuō)，這是比較難處理的事。事實(shí)上，已經(jīng)知道內(nèi)角和為180°，并不影響這節(jié)課的教學(xué)，可以考慮轉(zhuǎn)變教學(xué)重點(diǎn)，不放在探索內(nèi)角和的度數(shù)上，而是在已經(jīng)知道了內(nèi)角和是180°的情況下，有沒(méi)有辦法說(shuō)明為什么內(nèi)角和是180°呢？

一般來(lái)說(shuō)，“三角形的內(nèi)角和”的教學(xué)中都會(huì)有這樣幾個(gè)環(huán)節(jié)，先提出問(wèn)題，然后經(jīng)歷觀察嘗試、猜想、驗(yàn)證、一般化等過(guò)程。通常是讓學(xué)生通過(guò)量角得到內(nèi)角和接近180°，在此基礎(chǔ)上提出猜想“內(nèi)角和可能是180°”。接著就用多種方法進(jìn)行驗(yàn)證，比如剪下來(lái)拼一拼或者折一折等方法，驗(yàn)證三個(gè)角剛好可以拼成180°。這是合情推理的過(guò)程，在猜想之后通過(guò)操作活動(dòng)進(jìn)行驗(yàn)證，得到猜想的結(jié)果為真。

那么，如果以推理的要求來(lái)看上述過(guò)程，合情推理是否真的“合情”呢？筆者在一次聽(tīng)課過(guò)程中，在量角驗(yàn)證這一環(huán)節(jié)中，看到有學(xué)生在量出了兩個(gè)角分別是40°和70°后，利用180°減去這兩個(gè)角后，得到第三個(gè)角為70°，隨后又在求內(nèi)角和的時(shí)候?qū)⑦@三個(gè)角相加，得到180°。①本文中提到的學(xué)生作品都是較為普遍的現(xiàn)象，并非個(gè)案。下同。學(xué)生這樣的操作當(dāng)然是有問(wèn)題的，這與本節(jié)課推理能力培養(yǎng)的目標(biāo)是背道而馳的。無(wú)論哪一種推理，推理的每一步都是由作為前提的命題形式出發(fā)逐步得到作為結(jié)論的命題形式的過(guò)程。[6]也就是說(shuō)，在推理的每一個(gè)步驟中，都需要清楚區(qū)分前提和結(jié)論。在本節(jié)課中，三角形的內(nèi)角和是180°并不是給出的前提，而是需要證明的結(jié)論。因此，學(xué)生要有這樣的意識(shí)，盡管已經(jīng)知道這一知識(shí)結(jié)論，但在推理的過(guò)程中不能作為前提循環(huán)使用。這是“量”這個(gè)環(huán)節(jié)最值得注意的地方，推理的前提意識(shí)會(huì)比量角產(chǎn)生的誤差要如何處理更值得關(guān)注。

同樣，在“拼角”這個(gè)環(huán)節(jié)，則需要特別關(guān)注推理的邏輯過(guò)程是否指向結(jié)論的得出。譬如，有一次在課堂上，看到學(xué)生將三角形的三個(gè)內(nèi)角拼成如圖1的樣子。當(dāng)問(wèn)到這是在做什么的時(shí)候，學(xué)生說(shuō)，我拼成了一條直線，是平角，是180°，所以三角形內(nèi)角和是180°。很顯然，學(xué)生在這里的操作只是關(guān)注了表象的180°，甚至只關(guān)注了拼成直線，卻沒(méi)有意識(shí)到只有將三個(gè)內(nèi)角拼在一起，才能完成三角形的內(nèi)角和到平角的轉(zhuǎn)化，這樣的推理過(guò)程才正確，才能推出正確的結(jié)果。后面“折角”的環(huán)節(jié)也類似，需要關(guān)注何為前提何為結(jié)論，也需要特別注意過(guò)程的正確性。

圖1

二、課堂上的演繹推理足夠嚴(yán)謹(jǐn)嗎？

與合情推理并存的是，小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容中有很多演繹推理的內(nèi)容值得進(jìn)一步挖掘。[7]還是以“三角形的內(nèi)角和”為例，在如今的教學(xué)中，很多教師在學(xué)生經(jīng)歷“量”“拼”“折”這些操作性的說(shuō)明方式之后，會(huì)希望學(xué)生進(jìn)行一定程度的演繹證明。一般情況下，先從直角三角形入手，引導(dǎo)學(xué)生把長(zhǎng)方形沿對(duì)角線分成兩個(gè)一樣的直角三角形，長(zhǎng)方形四個(gè)直角的和是360°，三角形內(nèi)角和就是360°÷2=180°。在證明了直角三角形的內(nèi)角和是180°之后，再證明銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和也是180°。

讓學(xué)生進(jìn)行這樣演繹推理的嘗試很有價(jià)值。雖然從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，這樣的做法顯然算不上嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[證明。張奠宙曾指出，從四個(gè)角都是直角的四邊形出發(fā)，繞開(kāi)平行公理，嚴(yán)格地證明“三角形內(nèi)角和是180°”是錯(cuò)誤的，也是不可能的。[8]然而，從教學(xué)的角度來(lái)看，我們更要關(guān)注學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中能獲得什么。推理教學(xué)最重要的價(jià)值是讓學(xué)生形成說(shuō)理與論證的意識(shí)、能力和習(xí)慣，需要關(guān)注何為前提、是否為真，邏輯過(guò)程是否正確。而且，這些推理論證的每一步過(guò)程都是基于學(xué)生的基礎(chǔ)的，即前提和過(guò)程都是現(xiàn)階段學(xué)生能理解并接受的。

因此，相比從數(shù)學(xué)上探討這樣的方式是否足夠嚴(yán)謹(jǐn)，更重要的是給學(xué)生機(jī)會(huì)去思考其中的過(guò)程是否有理有據(jù)，能否接受①至少在班級(jí)同學(xué)這個(gè)“共同體”當(dāng)中是可以被接受的。。譬如，長(zhǎng)方形分成的兩個(gè)直角三角形是不是完全一樣，可以怎樣說(shuō)明？事實(shí)上，從學(xué)生的角度來(lái)看，要說(shuō)明由長(zhǎng)方形剪開(kāi)得到的兩個(gè)直角三角形能夠完全重合并不容易。因?yàn)殚L(zhǎng)方形跟正方形不一樣，沒(méi)法通過(guò)對(duì)折能夠重疊來(lái)說(shuō)明。因此，在教學(xué)中可以先由最特殊的等腰直角三角形開(kāi)始，學(xué)生通過(guò)正方形對(duì)折就能得到兩個(gè)完全一樣的三角形。再到長(zhǎng)方形，對(duì)折無(wú)法重合，那該如何說(shuō)明兩個(gè)三角形完全一樣？學(xué)生需要經(jīng)歷嘗試剪下來(lái)之后旋轉(zhuǎn)重合的過(guò)程。這當(dāng)然算不上嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[證明，但這樣一種說(shuō)服自己說(shuō)服同伴的經(jīng)驗(yàn)非常重要。在這樣的基礎(chǔ)上，下面一個(gè)問(wèn)題的討論顯得尤為重要。這里只說(shuō)明了這一個(gè)長(zhǎng)方形沿著對(duì)角線分開(kāi)的兩個(gè)直角三角形完全一樣，如何說(shuō)明所有直角三角形都是180°？我們知道，因?yàn)檫@個(gè)長(zhǎng)方形的選擇是隨意的，沒(méi)有任何額外的要求，所以可代表所有情況。但這樣一種“不失一般性”的思考是非常高階的思維，對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)很難理解。因此，學(xué)生需要思考，在說(shuō)明了一個(gè)直角三角形的內(nèi)角和是180°后，用什么方法能說(shuō)明所有直角三角形都是如此？當(dāng)長(zhǎng)方形改變時(shí)，什么變了，什么沒(méi)變？學(xué)生需要關(guān)注的是，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬都在變化，從而直角三角形的三條邊也都在變化，但兩個(gè)直角三角形之間的關(guān)系沒(méi)變，即將不同的長(zhǎng)方形沿對(duì)角線剪下來(lái)后的兩個(gè)三角形，旋轉(zhuǎn)之后都能夠重合，所以內(nèi)角和仍然是360°的一半。只有到了這里，才算是真正對(duì)直角三角形內(nèi)角和是180°說(shuō)清楚了。

這樣，直角三角形內(nèi)角和是180°就可以作為證明銳角三角形和鈍角三角形內(nèi)角和為180°的條件。在證明銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和是180°時(shí)，需要更加關(guān)注從學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，如何將這兩類三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，本文不再贅述。

三、兩點(diǎn)教學(xué)建議

像“三角形的內(nèi)角和”這樣的內(nèi)容的教學(xué)，應(yīng)該指向培養(yǎng)學(xué)生的推理能力等核心概念的學(xué)習(xí)，而不僅是掌握內(nèi)角和是180°這樣的知識(shí)性目標(biāo)，這一點(diǎn)應(yīng)當(dāng)成為教學(xué)的共識(shí)。關(guān)于推理能力的培養(yǎng)，需要注意以下兩點(diǎn)。

第一，關(guān)注學(xué)生的真實(shí)起點(diǎn)，培養(yǎng)其良好的思維習(xí)慣，真正將培養(yǎng)學(xué)生的推理能力落到教學(xué)的實(shí)處。小學(xué)生的推理能力有兩個(gè)特點(diǎn)，一個(gè)是天生敢想敢說(shuō)，喜歡問(wèn)問(wèn)題，具有有利于數(shù)學(xué)猜想的心理優(yōu)勢(shì)；另一個(gè)是兒童思維的抽象性、邏輯性處在逐步發(fā)展的過(guò)程中，有時(shí)也會(huì)隨心所欲，脫離數(shù)學(xué)事實(shí)提出想法。[9]如前文所述，小學(xué)生對(duì)于推理中前提和結(jié)論的區(qū)分就不清晰。培養(yǎng)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性需從平時(shí)教學(xué)的一點(diǎn)一滴中做起，因此，需要培養(yǎng)小學(xué)生“有根有據(jù)、有條有理”的思維習(xí)慣，在推理教學(xué)中切忌蜻蜓點(diǎn)水、似是而非。相比在一節(jié)課上同時(shí)追求合情推理與演繹推理但又都淺嘗輒止，讓學(xué)生深刻理解推理中的前提和結(jié)論，充分體會(huì)前提為真、形式正確，結(jié)論才正確的過(guò)程，更為重要。

第二，處理好合情推理和演繹推理的關(guān)系。如課標(biāo)中所說(shuō)，合情推理和演繹推理都是推理能力的重要組成部分，對(duì)于小學(xué)生推理能力的形成都不可或缺。然而，合情推理是個(gè)相對(duì)寬泛的概念，需要對(duì)推理能力的相關(guān)概念進(jìn)行進(jìn)一步的厘清，如演繹推理、歸納推理、類比推理等，更重要的是，要對(duì)這些推理之間的關(guān)系進(jìn)行梳理。小學(xué)數(shù)學(xué)中合情推理與演繹推理是相輔相成的，各自的作用不宜絕對(duì)化。[10]有研究者指出，如果過(guò)分強(qiáng)調(diào)“合情推理模式”，從而割裂歸納推理和演繹推理的聯(lián)系，則會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的教育功能造成損害。[11]事實(shí)上，如果僅僅強(qiáng)調(diào)“演繹推理模式”，亦是如此。此外，在小學(xué)階段推理的教學(xué)中，常常需要用到操作的方式，但需注意處理好操作與說(shuō)理的關(guān)系。[12]