中國(guó)HPM發(fā)展之路*

□ 岳增成

中國(guó)有燦爛的古代數(shù)學(xué)文明，數(shù)學(xué)史的研究也有較長(zhǎng)的歷史，并取得了不錯(cuò)的成就。中國(guó)的HPM（History and Pedagogy of Mathematics，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育）研究起步卻相當(dāng)晚，僅有十幾年的時(shí)間，但已成為數(shù)學(xué)教育中最具活力的方向之一，有著自己獨(dú)特的貢獻(xiàn)。然而，與國(guó)際HPM 40余年的發(fā)展相比，中國(guó)的HPM研究時(shí)間尚短，還處于發(fā)展階段，因此任重而道遠(yuǎn)。為了更好地發(fā)展HPM研究，我們既需要他山之石，也需要認(rèn)清自己，本文將從縱向上梳理中國(guó)HPM的發(fā)展，以為中國(guó)HPM的發(fā)展帶來(lái)啟示。

一、從分離走向融合

HPM在中國(guó)出現(xiàn)的標(biāo)志性事件是2005年第一屆全國(guó)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育會(huì)議的召開(kāi)。在此之前及HPM出現(xiàn)的早期，由于方向上的藩籬，數(shù)學(xué)史聚焦于特殊性事件研究，數(shù)學(xué)具有普遍性與抽象性的特征，而數(shù)學(xué)教育則指向健全的人的培養(yǎng)，[1][2]數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)教育研究沿著兩條互不相干的路徑展開(kāi)。一是在數(shù)學(xué)史領(lǐng)域，與國(guó)外HPM出現(xiàn)之前的情形一樣，我國(guó)早已有一些著名的數(shù)學(xué)史家在研究數(shù)學(xué)史、講授數(shù)學(xué)史課程的過(guò)程中，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值；一些數(shù)學(xué)史研究者從20世紀(jì)末開(kāi)始在研究數(shù)學(xué)史的過(guò)程中，加入了教育的視角，試圖通過(guò)教育取向的數(shù)學(xué)史研究為數(shù)學(xué)教育教學(xué)帶來(lái)啟示，并開(kāi)發(fā)了一些較難實(shí)施的教學(xué)設(shè)計(jì)。一是教學(xué)實(shí)踐層面，教材編寫(xiě)者在教材中點(diǎn)綴式地編入一些數(shù)學(xué)家的圖片，介紹中國(guó)古代數(shù)學(xué)的一些成就，教師通過(guò)在課堂中附加式地講解一些數(shù)學(xué)家的故事以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)主義情懷。這導(dǎo)致了數(shù)學(xué)的歷史順序、知識(shí)的邏輯順序、學(xué)生的認(rèn)知順序不能有機(jī)地整合在一起。但隨著國(guó)內(nèi)研究者對(duì)國(guó)外HPM教育價(jià)值的了解，人們對(duì)數(shù)學(xué)史教育價(jià)值的認(rèn)識(shí)不再局限于數(shù)學(xué)情感、動(dòng)機(jī)視角、激勵(lì)因素等，開(kāi)始認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)史對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)活動(dòng)本質(zhì)認(rèn)識(shí)等的重要作用，且隨著大量數(shù)學(xué)概念歷史相似性的驗(yàn)證，即學(xué)生對(duì)某些數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)與古代數(shù)學(xué)家對(duì)這些概念的認(rèn)識(shí)相似，學(xué)生對(duì)某些概念理解上的困難與歷史上數(shù)學(xué)家遭遇的障礙一致，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的關(guān)系開(kāi)始密切起來(lái)，HPM逐漸發(fā)展成為數(shù)學(xué)教育中的研究方向。

二、堅(jiān)守基礎(chǔ)與積極借鑒

HPM的發(fā)展離不開(kāi)學(xué)科基礎(chǔ)的堅(jiān)守、國(guó)外已有研究成果的借鑒。圖1展示了目前HPM內(nèi)部各個(gè)研究方向及其之間的關(guān)系。可見(jiàn)，教育取向的數(shù)學(xué)史研究是HPM的基礎(chǔ)，國(guó)外HPM研究成果的借鑒是大陸HPM發(fā)展的重要推動(dòng)力。

圖1 HPM學(xué)科構(gòu)成及其相互關(guān)系

（一）教育取向數(shù)學(xué)史研究

教育取向的數(shù)學(xué)史研究是HPM的基礎(chǔ)，也正是因?yàn)橛辛怂?，其他方向的研究才得以順利開(kāi)展。盡管HPM萌芽于數(shù)學(xué)史教育價(jià)值的揭示，但它只是經(jīng)驗(yàn)思辨的結(jié)果，而教育取向的數(shù)學(xué)史研究則是數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系研究的開(kāi)端。在國(guó)外，從19世紀(jì)40年代開(kāi)始，泰爾凱（O.Terquem，1782—1862）、德摩根（De Morgan，1806—1971）、卡約黎（F.Cajori，1859—1930）等就基于數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值從教育的視角對(duì)數(shù)學(xué)史進(jìn)行研究，提出了某些歷史研究于教育教學(xué)的啟示。在中國(guó)，在HPM出現(xiàn)以前，也有一些數(shù)學(xué)史研究者對(duì)歷史上的人物與事件、概念與思想、運(yùn)算與法則、問(wèn)題與求解、公式與命題、工具與符號(hào)進(jìn)行了教育取向的數(shù)學(xué)史研究。HPM出現(xiàn)后，這些層面教育取向數(shù)學(xué)史的研究更為廣泛，且隨著數(shù)學(xué)史在教學(xué)實(shí)踐中的廣泛應(yīng)用，研究趨于實(shí)用，即教育取向數(shù)學(xué)史研究的出發(fā)點(diǎn)發(fā)生了轉(zhuǎn)移，不再為研究而研究，而是以實(shí)踐需求為導(dǎo)向，且隨著各級(jí)各類(lèi)學(xué)校對(duì)數(shù)學(xué)史的運(yùn)用，數(shù)學(xué)史著作或者數(shù)學(xué)著作中數(shù)學(xué)知識(shí)的研究已不能滿(mǎn)足教學(xué)需求。于是，HPM研究者將視角轉(zhuǎn)向?qū)ξ鞣皆缙跀?shù)學(xué)教科書(shū)的研究，他們基于幾十本或者上百本的西方早期教科書(shū)，搜尋出相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的記錄，在質(zhì)性分析的基礎(chǔ)上，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)意義上的分析，以得出相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的發(fā)展特點(diǎn)，并從中獲得解決目前教學(xué)難點(diǎn)的啟示。

（二）國(guó)外HPM研究成果借鑒

作為舶來(lái)品的HPM，在中國(guó)的發(fā)展離不開(kāi)對(duì)國(guó)外相關(guān)理論的借鑒，且HPM內(nèi)部各個(gè)方向都有所借鑒：從早期對(duì)HPM先驅(qū)教育理念的介紹、HPM歷史淵源的梳理、HPM教育價(jià)值的剖析，到后來(lái)大量中學(xué)數(shù)學(xué)概念歷史相似性的驗(yàn)證、發(fā)生教學(xué)法理論基礎(chǔ)的梳理及某些重要數(shù)學(xué)概念教學(xué)中發(fā)生教學(xué)法的應(yīng)用、HPM研究?jī)?nèi)容與方法的系統(tǒng)梳理，到現(xiàn)在對(duì)國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（International Congress of Mathematics Education）、HPM衛(wèi)星會(huì)議、歐洲暑期學(xué)校（European Summer University）等相關(guān)HPM活動(dòng)的系統(tǒng)介紹，國(guó)外數(shù)學(xué)教育雜志中刊登的HPM文章的統(tǒng)計(jì)，國(guó)外數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的評(píng)介，HPM與教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展關(guān)系的研究等?？梢?jiàn)，中國(guó)對(duì)國(guó)際HPM成果的借鑒，緊跟HPM國(guó)際發(fā)展的方向，大致沿著從關(guān)于“為何”“如何”之研究、教育取向的數(shù)學(xué)史研究、歷史相似性研究，到教學(xué)實(shí)踐與課例開(kāi)發(fā)、HPM與教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的順序開(kāi)展，且會(huì)根據(jù)需要對(duì)重要節(jié)點(diǎn)處國(guó)際HPM發(fā)展的現(xiàn)狀進(jìn)行剖析，比如對(duì)HPM歷史淵源、研究?jī)?nèi)容與方法的縱向梳理，對(duì)能代表某一時(shí)期發(fā)展?fàn)顩r的國(guó)際HPM會(huì)議進(jìn)行橫向的剖析。

三、在實(shí)踐與理論的互動(dòng)中，走向特色之路

HPM的發(fā)展，除了學(xué)科基礎(chǔ)的堅(jiān)守與國(guó)外研究成果的借鑒外，研究主題的多樣化、學(xué)派的創(chuàng)建是HPM專(zhuān)業(yè)發(fā)展與學(xué)科建設(shè)的重要標(biāo)志與推動(dòng)力量。[3]如前所述，中國(guó)HPM研究成果的借鑒過(guò)程也是一個(gè)研究主題不斷擴(kuò)充的過(guò)程，而學(xué)派的創(chuàng)建與研究主題的不斷擴(kuò)充緊密相關(guān)，因此這部分的論述將在研究主題介紹完之后進(jìn)行。中國(guó)HPM的發(fā)展之路，實(shí)際上也是一條特色之路。圖2展示的是中國(guó)HPM內(nèi)部最重要的兩個(gè)研究方向，HPM與教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展、教學(xué)實(shí)踐與課例開(kāi)發(fā)及其之間的關(guān)系，可見(jiàn)其核心恰是中國(guó)教育的特色之一——課例研究。

圖2 HPM驅(qū)動(dòng)下的教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展體系

（一）教學(xué)實(shí)踐與課例開(kāi)發(fā)

中國(guó)HPM的特色肇始于融入數(shù)學(xué)史的課例研究。在研究的初期，HPM研究者并沒(méi)有用過(guò)多的理論做指導(dǎo)，僅在教育取向數(shù)學(xué)史研究的基礎(chǔ)上，結(jié)合歷史相似性的調(diào)查，與教師合作開(kāi)發(fā)課例，試圖將知識(shí)的歷史發(fā)生順序、知識(shí)之間的邏輯順序、學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展順序融入相關(guān)主題的教學(xué)當(dāng)中，并盡量實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)史在知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀維度的目標(biāo)，試圖運(yùn)用數(shù)學(xué)史解決某些概念教學(xué)過(guò)程中存在的疑難問(wèn)題。隨著教學(xué)實(shí)踐的不斷推進(jìn)與課例的相繼開(kāi)發(fā)，研究者發(fā)現(xiàn)HPM實(shí)踐中的一些共性的問(wèn)題，開(kāi)始結(jié)合國(guó)外HPM的相關(guān)理論，比如教學(xué)實(shí)踐中運(yùn)用數(shù)學(xué)史的方式，提供直接的歷史信息，借鑒歷史進(jìn)行教學(xué)，發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)及其社會(huì)文化背景的深刻認(rèn)識(shí)，[4]點(diǎn)綴法、模塊法、基于歷史法，[5]總結(jié)出了數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的四種方式：附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式、重構(gòu)式，[6]數(shù)學(xué)史料選取的五項(xiàng)原則：趣味性、科學(xué)性、新穎性、可學(xué)性、有效性，數(shù)學(xué)史的六種教育價(jià)值：知識(shí)之諧、方法之美、探究之樂(lè)、能力之助、文化之魅、德育之效，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的課例研究流程：選題與準(zhǔn)備、研討與設(shè)計(jì)、實(shí)施與評(píng)價(jià)、分析與寫(xiě)作；[7]形成了HPM課例開(kāi)發(fā)驅(qū)動(dòng)下的、以HPM專(zhuān)家與授課教師為中心向外輻射到HPM研究團(tuán)隊(duì)、數(shù)學(xué)教師團(tuán)隊(duì)、教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展指導(dǎo)者團(tuán)隊(duì)而形成的HPM共同體（如圖3）。在HPM共同體的支持下，研究者以五項(xiàng)選取原則、四種融入方式、六種教育價(jià)值為指導(dǎo)原則，反哺于教學(xué)實(shí)踐，開(kāi)拓了數(shù)學(xué)史應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的新形式：從單個(gè)HPM課例的開(kāi)發(fā)，到某一單元多個(gè)連續(xù)知識(shí)點(diǎn)構(gòu)成的模塊的開(kāi)發(fā)，比如滬教版五年級(jí)上冊(cè)的“幾何小實(shí)踐”單元，包括平行四邊形、三角形、梯形三類(lèi)圖形的面積，到同一學(xué)段跨年級(jí)的模塊開(kāi)發(fā)；比如從滬教版二年級(jí)下冊(cè)“角的初步認(rèn)識(shí)”到四年級(jí)下冊(cè)的“角”，到跨學(xué)段模塊的開(kāi)發(fā)；比如從滬教版四年級(jí)下冊(cè)“位置的表示方法”（用數(shù)對(duì)表示物體的位置）到七年級(jí)下冊(cè)“平面直角坐標(biāo)系”。

圖3 HPM共同體支持下的教學(xué)實(shí)踐與課例開(kāi)發(fā)

（二）HPM與教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展

1.在職教師的專(zhuān)業(yè)發(fā)展

在國(guó)外，高校研究團(tuán)隊(duì)運(yùn)用HPM對(duì)數(shù)學(xué)教師的培訓(xùn)往往以使教師具備進(jìn)行教育取向數(shù)學(xué)史研究的能力為目的，至于受訓(xùn)者能否將相關(guān)主題歷史研究的成果應(yīng)用于課堂教學(xué)，很少有研究予以關(guān)注。在我國(guó)，由于現(xiàn)代數(shù)學(xué)演繹推理體系與我國(guó)古代數(shù)學(xué)歸納推理傳統(tǒng)的不相一致，要想從中國(guó)古代、近代數(shù)學(xué)著作中查找概念的發(fā)生、發(fā)展的歷程難度較大，而對(duì)教師而言，查找、篩選外文文獻(xiàn)耗時(shí)多且困難大，即使教師具備了教育取向數(shù)學(xué)史研究的能力，“無(wú)米之炊”仍是無(wú)法跨越的“天塹”，與較好地將數(shù)學(xué)史應(yīng)用于教學(xué)還有相當(dāng)大的距離。因此，HPM研究團(tuán)隊(duì)采取指導(dǎo)教師開(kāi)發(fā)課例的形式（起初僅是HPM專(zhuān)家與授課教師之間的合作，后來(lái)發(fā)展到HPM研究團(tuán)隊(duì)與教師團(tuán)隊(duì)的合作，現(xiàn)在是如圖3所示的共同體中多個(gè)團(tuán)隊(duì)的合作）來(lái)促進(jìn)教師的專(zhuān)業(yè)發(fā)展：課例確定后，HPM研究團(tuán)隊(duì)查閱史料、選取素材，教師團(tuán)隊(duì)分析需求，然后，各個(gè)團(tuán)隊(duì)一起交流研討相關(guān)主題的設(shè)計(jì)，隨后，授課教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，在共同體的幫助下打磨教學(xué)設(shè)計(jì)、進(jìn)行試教，試教后各個(gè)團(tuán)隊(duì)根據(jù)教學(xué)效果進(jìn)行研討，提出修改的方向，試教與研討可能會(huì)進(jìn)行多輪，最后公開(kāi)課展示，授課教師整理教學(xué)實(shí)錄，撰寫(xiě)案例。在“做中學(xué)”的過(guò)程中，在投入大量時(shí)間、精力的保障下（一個(gè)課例的開(kāi)發(fā)甚至持續(xù)一個(gè)多月的時(shí)間），授課教師的知識(shí)實(shí)現(xiàn)了增長(zhǎng)，信念發(fā)生了轉(zhuǎn)變，盡管增長(zhǎng)的一些知識(shí)僅與開(kāi)發(fā)的課例相關(guān)。[8]

鑒于課例開(kāi)發(fā)投入較大的緣故，HPM共同體試圖最大限度地發(fā)揮HPM課例開(kāi)發(fā)過(guò)程以及開(kāi)發(fā)出的課例的作用，于是，他們借助教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展指導(dǎo)者，主要是教研員、名師工作室主持人的力量，讓更多的教師參與到授課教師HPM課例的展示中來(lái)。事實(shí)上，這僅是HPM案例教學(xué)的一種方式。雖然在這種HPM案例教學(xué)中教師能夠親臨教育現(xiàn)場(chǎng)，但與教師培訓(xùn)中的HPM案例教學(xué)相比，參與教育現(xiàn)場(chǎng)的HPM案例教學(xué)系統(tǒng)性不夠、針對(duì)性不強(qiáng)。教師培訓(xùn)中的HPM案例教學(xué)是一門(mén)系統(tǒng)課程，參與的教師以小組合作、獨(dú)立思考的形式參與任教學(xué)段多個(gè)HPM課例的研討。案例的研討從找出相關(guān)主題的教學(xué)難點(diǎn)開(kāi)始，然后培訓(xùn)者提供相關(guān)主題的歷史史料，受訓(xùn)者對(duì)史料進(jìn)行分析，討論史料能否解決教學(xué)難點(diǎn)問(wèn)題，培訓(xùn)者呈現(xiàn)已開(kāi)發(fā)的相關(guān)主題的課例，重點(diǎn)講述課例開(kāi)發(fā)者運(yùn)用數(shù)學(xué)史解決教學(xué)難點(diǎn)問(wèn)題的方式、方法，最后受訓(xùn)者對(duì)呈現(xiàn)的課例進(jìn)行討論。在整個(gè)案例教學(xué)的過(guò)程中，培訓(xùn)者滲透HPM的相關(guān)理論，從而使受訓(xùn)者對(duì)HPM有更為系統(tǒng)的了解。

但無(wú)論是HPM課例開(kāi)發(fā)還是HPM案例教學(xué)，對(duì)HPM理念的傳播作用有限，所以難度較小、投入精力較少，因此教師擅長(zhǎng)的課例應(yīng)用就成了傳播HPM理念、促進(jìn)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的重要方式之一。所謂的HPM課例應(yīng)用，就是教師搜索到相關(guān)主題已開(kāi)發(fā)的HPM課例后，按照“研讀教材、教參，對(duì)教學(xué)目標(biāo)、重難點(diǎn)進(jìn)行再定位；根據(jù)教學(xué)目標(biāo)、任教班級(jí)的實(shí)際情況，研讀已開(kāi)發(fā)的HPM課例，主要找出其中的問(wèn)題，并予以完善，進(jìn)行試講；根據(jù)試講效果，對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行再修改；反思課例應(yīng)用的全過(guò)程”的順序開(kāi)展活動(dòng)。對(duì)教師而言，HPM課例應(yīng)用也是“做中學(xué)”的方式之一，只是對(duì)HPM的認(rèn)識(shí)沒(méi)有HPM課例開(kāi)發(fā)深刻。

2.職前教師的專(zhuān)業(yè)發(fā)展

相對(duì)于在職教師，HPM驅(qū)動(dòng)下的職前教師培養(yǎng)途徑有所不同，且本科階段與研究生階段各有側(cè)重。于本科師范生而言，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)史課程以介紹歷史取向的數(shù)學(xué)史為主，但這種課程對(duì)職前教師將來(lái)學(xué)科教學(xué)用途不大，因此數(shù)學(xué)史課程的講授需要加入教育的視角，讓學(xué)生知悉數(shù)學(xué)史與教學(xué)內(nèi)容的關(guān)系，并輔以HPM案例教學(xué)，使師范生對(duì)數(shù)學(xué)史如何融入數(shù)學(xué)教學(xué)有一定的認(rèn)識(shí)。于研究生師范生而言，使其具備教育取向數(shù)學(xué)史研究的能力是課程設(shè)置的目標(biāo)，因此教育取向數(shù)學(xué)史研究成果的介紹是課程的重點(diǎn)，使其具備將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的能力是課程設(shè)置的愿景，因此，HPM案例教學(xué)是課程講授的又一重點(diǎn)，且與本科師范生相比，研究生師范生有較多的機(jī)會(huì)參與到HPM課例展示的現(xiàn)場(chǎng)中來(lái)，從而有較多機(jī)會(huì)參與教育現(xiàn)場(chǎng)的HPM案例教學(xué)。

四、未來(lái)的路

HPM在中國(guó)的發(fā)展取得了長(zhǎng)足的進(jìn)步，但仍有很大的發(fā)展空間。在未來(lái)的發(fā)展過(guò)程中，學(xué)科基礎(chǔ)仍要堅(jiān)守，國(guó)外的研究成果仍需借鑒，理論與實(shí)踐的互動(dòng)還需加強(qiáng)；同時(shí)，要進(jìn)一步完善HPM驅(qū)動(dòng)下的教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展體系，探索HPM驅(qū)動(dòng)下的教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的最佳入口與高效的路徑組合，畢竟目前HPM課例開(kāi)發(fā)這一入口難度大，且對(duì)路徑組合效果的研究缺失；此外，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教材的研究還需要進(jìn)一步加強(qiáng)，必須突破目前以顯性數(shù)學(xué)史研究為主的現(xiàn)狀，將數(shù)學(xué)史更多地以順應(yīng)式（教材正文各欄目中對(duì)歷史上數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行改編，使之具有適合于今日課堂教學(xué)的情境或?qū)傩裕?、重?gòu)式（教材正文各欄目中借鑒或重構(gòu)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展歷史，以發(fā)生法來(lái)呈現(xiàn)知識(shí)）[9]的形式編入數(shù)學(xué)教材，以便教師更好、更容易地將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)。