機(jī)械臂運動學(xué)建模及解算方法綜述

冷 舒，吳 克，居鶴華

(1. 南京航空航天大學(xué)航天學(xué)院，南京 210016；2. 北京空間飛行器總體設(shè)計部，北京 100094)

0 引 言

隨著機(jī)械臂在工業(yè)、航天等多個領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用[1-2](見圖1)，提高機(jī)械臂運動控制系統(tǒng)的精度引起了相關(guān)研究人員的廣泛關(guān)注，其中機(jī)械臂運動學(xué)建模及求解是決定運動精度的重要一環(huán)。運動學(xué)從功能上可分為正運動學(xué)及逆運動學(xué)，正運動學(xué)通過給定機(jī)械臂的關(guān)節(jié)角度獲取機(jī)械臂桿件某一點的位置及姿態(tài)。逆運動學(xué)通過給定機(jī)械臂末端的位置及姿態(tài)計算機(jī)械臂各關(guān)節(jié)的運動量，其中逆運動學(xué)是運動學(xué)建模及求解的難點。機(jī)械臂正運動學(xué)模型為機(jī)械臂遞歸動力學(xué)控制的每一步提供了桿件質(zhì)心位置及關(guān)節(jié)位置，而機(jī)械臂逆運動學(xué)與機(jī)械臂運動規(guī)劃是密不可分的。圖2體現(xiàn)了機(jī)械臂運動學(xué)在整個機(jī)械臂力位控制系統(tǒng)中的作用。

工程中絕大多數(shù)機(jī)械臂都是串聯(lián)結(jié)構(gòu)，故本文主要調(diào)研該類型結(jié)構(gòu)的運動學(xué)建模方法。求解方法主要分為解析法、數(shù)值解法及人工智能法。

圖1 航天機(jī)械臂及工業(yè)機(jī)械臂Fig.1 Manipulators in aerospace and industry

圖2 機(jī)械臂運動學(xué)在力位控制系統(tǒng)中的作用Fig.2 Manipulator kinematics in the control system

1 機(jī)械臂運動學(xué)建模的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

對機(jī)械臂運動學(xué)建模時通常采用兩種坐標(biāo)系。其一是1965年Denavit及Hartenberg在文獻(xiàn)[3]中提出的DH系，其二是結(jié)合零位參考系的POE模型。

1.1 DH系

DH系及DH參數(shù)表示了用關(guān)節(jié)連接的相鄰兩根桿件間的坐標(biāo)系及坐標(biāo)參數(shù)。其中ak,ck,αk為結(jié)構(gòu)參數(shù)，定義了相鄰兩個關(guān)節(jié)間的固定值，φk為運動參數(shù)，表示關(guān)節(jié)的運動量。Craig在專著[4]中介紹了建立改進(jìn)DH系的方法。改進(jìn)DH系與傳統(tǒng)DH系的不同之處在于，DH參數(shù)與桿件之間的對應(yīng)關(guān)系成為主要目標(biāo)，而DH參數(shù)與關(guān)節(jié)之間的對應(yīng)關(guān)系被視為次要因素。改進(jìn)DH系在理論推導(dǎo)時物理意義更加明確，方便工程人員應(yīng)用。后文介紹的各正逆運動學(xué)建模及求解方法時，都是以改進(jìn)DH系為基礎(chǔ)進(jìn)行推導(dǎo)的。因此本文直接將改進(jìn)DH系稱為DH系，其定義如圖3所示：

圖3 DH系及DH參數(shù)Fig.3 DH frame and DH parameter

給定關(guān)節(jié)k-1及關(guān)節(jié)k，改進(jìn)DH系的建系過程如下：

1)令zk-1及zk分別為關(guān)節(jié)k-1及關(guān)節(jié)k的轉(zhuǎn)動軸。

2)做zk-1及zk的公垂線，定義為xk，其中xk與zk-1交點定義為Ok*，xk與zk交點定義為Ok。

3)點Ok-1與點Ok*的距離記為ck。

4)點Ok*與Ok的距離記為ak。

5)軸zk-1與軸zk間的夾角為αk。

DH系在機(jī)械臂運動學(xué)建模及求解中起到重要作用，但其存在一個缺點，即建系時相鄰桿件間的DH系旋轉(zhuǎn)不連續(xù)，故在相鄰兩系的z軸平行時，DH系存在奇異性。

1.2 POE模型

文獻(xiàn)[5]中介紹了第二種坐標(biāo)系，該方法將系統(tǒng)各關(guān)節(jié)的運動軸矢量統(tǒng)一到同一個笛卡爾坐標(biāo)系下，該笛卡爾坐標(biāo)系作為整個系統(tǒng)的參考坐標(biāo)系，也稱零位參考系。進(jìn)一步以李群為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，用指數(shù)坐標(biāo)形式描述剛體的轉(zhuǎn)動，用旋量描述剛體在三維空間中的六自由度運動。剛體轉(zhuǎn)動示意圖如圖4所示，其中ω是剛體轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動軸。該坐標(biāo)系不存在DH系的缺點，在求解過程中不存在奇異過程。

圖4 剛體上一點繞ω軸的轉(zhuǎn)動[5]Fig.4 A point in the rigid body rotate around axis ω[5]

2 機(jī)械臂正運動學(xué)

求解n自由度機(jī)械臂正運動學(xué)時，已知機(jī)械臂所有關(guān)節(jié)角組成的矢量φ，機(jī)械臂桿件k末端位姿矢量為sk，s={s1,…，sk}。則系統(tǒng)正運動學(xué)模型用公式描述：

s=f(φ)

(1)

因機(jī)械臂具有串聯(lián)構(gòu)型，由文獻(xiàn)[4]可知其末端位姿能通過運動學(xué)的正向傳播求得，故首先建立相鄰桿件間的關(guān)節(jié)運動學(xué)模型。假設(shè)關(guān)節(jié)k及桿件k對應(yīng)的DH系為Fk，關(guān)節(jié)k繞zk轉(zhuǎn)動φk時，F(xiàn)k-1轉(zhuǎn)動至Fk的旋轉(zhuǎn)變換陣為：

(2)

其中，λk=cos(φk)，μk=sin(φk)，而Fk系原點Ok的運動值相對于Fk-1的原點Ok-1為：

(3)

用齊次變換陣k-1Tk描述體k運動，記為：

(4)

若使用文獻(xiàn)[5]中介紹的基于POE模型的剛體運動學(xué)表示法，則關(guān)節(jié)k轉(zhuǎn)動φk時，k-1Qk表示為：

1+sin(φk)ωk+(1-cos(φk))(ωk)2

(5)

剛體的平移值k-1rk=[xk,yk,zk]是k系原點在k-1系下的坐標(biāo)，如圖5所示。

圖5 POE模型中的平移Fig.5 Translation in the POE-based model

對于機(jī)械臂的任意桿件l，其末端位置sl表示為：

(6)

3 機(jī)械臂逆運動學(xué)

與式(1)類似，nDOF機(jī)械臂逆運動學(xué)模型也可用一個通式表示：

φ=f-1(s)

(7)

其中,s={s1,…,sn,q1,…,qn}，表示機(jī)械臂的末端位置及姿態(tài)。

3.1 幾何法

最早出現(xiàn)的求機(jī)械臂逆解的方法是幾何法，該方法不建立關(guān)節(jié)及桿件的DH系及DH參數(shù)，而是根據(jù)桿件間的平面幾何關(guān)系建立機(jī)械臂關(guān)節(jié)角與末端位置的約束方程。文獻(xiàn)[7]中提出了平面二自由度機(jī)械臂的逆運動學(xué)求解，如圖6所示。其中兩桿件的長度分別為l1,l2，兩個關(guān)節(jié)角度分別為θ1,θ2，根據(jù)系統(tǒng)的幾何關(guān)系列寫機(jī)械臂的運動學(xué)方程，從而得到機(jī)械臂末端位置與關(guān)節(jié)角的關(guān)系。在實際應(yīng)用中，根據(jù)已知的機(jī)械臂末端平面位置，反解兩個關(guān)節(jié)的角度分別為：

(8)

(9)

圖6 平面2DOF機(jī)械臂的幾何法解示意圖Fig.6 Geometry approach for a planer 2DOF manipulator

文獻(xiàn)[8]針對冗余自由度的平面機(jī)械臂提出了利用幾何法求機(jī)械臂逆解的方案，其定位方程為：

xtp=l1cos(θ1)+l2cos(θ1+θ2)+…+

lncos(θ1+…+θn)

ytp=l1sin(θ1)+l2sin(θ1+θ2)+…+

lnsin(θ1+…+θn)

(10)

為求解方程，假設(shè)θ1=α，θ2=θ3=…=θn=θ，引入兩個參數(shù)

(11)

其中,s只與θ相關(guān)，而γ用來求解α。從而得到相應(yīng)的解。該機(jī)械臂構(gòu)型及求解示意圖如圖7所示。

圖7 nDOF平面機(jī)械臂及其求解示意[8]Fig.7 Geometry approach for a planer nDOF manipulator[8]

幾何法為解析法在平面上的特例，部分文獻(xiàn)將其歸結(jié)至解析法中，也有文獻(xiàn)將其單獨作為一種方法介紹。從上文中的兩個例子可知其實用性較弱，下文將介紹工業(yè)及航天領(lǐng)域中最多應(yīng)用的兩種求機(jī)械臂逆運動學(xué)解的方法—解析法及數(shù)值法。

3.2 解析法

利用解析法求機(jī)械臂逆運動學(xué)解時，首先需要分析機(jī)械臂的關(guān)節(jié)個數(shù)及其結(jié)構(gòu)。在工業(yè)及航天領(lǐng)域中，三軸到七軸的機(jī)械臂都得到大量應(yīng)用，其中三軸到五軸機(jī)械臂主要用于深空探測任務(wù)中[9]，如我國嫦娥三號機(jī)械臂為三軸機(jī)械臂[10]，美國的洞察號安裝了四自由度機(jī)械臂，勇氣號與機(jī)遇號火星巡視器安裝了五軸機(jī)械臂[11-12]。工業(yè)機(jī)械臂與空間站機(jī)械臂通常具有六到七個關(guān)節(jié)。其中六自由度機(jī)械臂因具有工作空間大、運動靈活、非冗余等特點成為研究的首要目標(biāo)。而超過六軸的機(jī)械臂為冗余機(jī)械臂，?？醋?+m構(gòu)型，七軸機(jī)械臂通常用6+1構(gòu)型研究。因此本文主要介紹六自由度(DOFs)機(jī)械臂的逆運動學(xué)解法。對于關(guān)節(jié)個數(shù)3

0T6=0T1·1T2·2T3·3T4·4T5·5T6

(12)

接著根據(jù)末端位置矢量0r6E及姿態(tài)四元數(shù)0q6，確定機(jī)械臂腕心位置0r3C，再根據(jù)腕心位置確定前三軸角度φ1,φ2,φ3，如式(13)所示。得到前三軸的姿態(tài)四元數(shù)0q3后，先根據(jù)0q6確定后三軸的姿態(tài)四元數(shù)3q6，再根據(jù)姿態(tài)對齊求得后三軸角度φ4,φ5,φ6。

圖8 機(jī)械臂分類Fig.8 Classification of the manipulator

(13)

(14)

最后將六個關(guān)節(jié)的所有角度組合在一起，得到16個實數(shù)解。具體流程如圖9所示。

圖9 6R機(jī)械臂逆運動學(xué)求解流程圖Fig.9 The flowchart for solving inverse kinematics of6R manipulators

解耦機(jī)械臂是一種理想構(gòu)型，但因機(jī)械加工及機(jī)構(gòu)裝配存在誤差，實際應(yīng)用中幾乎不存在解耦構(gòu)型的機(jī)械臂。用上述方法求非解耦機(jī)械臂的逆解會導(dǎo)致關(guān)節(jié)角存在計算誤差，從而在實際應(yīng)用出現(xiàn)定位精度偏低等問題，進(jìn)而可能出現(xiàn)碰撞等嚴(yán)重問題。此時求通用機(jī)械臂逆運動學(xué)的解析法應(yīng)運而生。

斯坦福大學(xué)的Raghavan及Roth[13]提出了一種通用六軸機(jī)械臂的消元法，該方法首先列出如式所示的機(jī)械臂定位方程組，其中每個方程是一個六元二次多項式方程。作者先將方程變?yōu)?

(15)

根據(jù)0T6最后兩列與φ6無關(guān)的特點可以將φ6消元。此時等式左側(cè)只有φ1,φ2等式右側(cè)有φ3,φ4,φ5，表達(dá)式如式所示：其中s1表示sin(θ1)，c1表示cos(θ1)。

(16)

其中,P是14×8階常數(shù)矩陣,而B是含φ3的14×9階矩陣。此時φ1,φ2可以用φ3,φ4,φ5進(jìn)行替換，接著再消元φ4,φ5得到一個只有φ3的16階多項式。求解該多項式得到φ3的所有解，最后將φ3依次代入式中，迭代求得其他各關(guān)節(jié)的所有解。仿真結(jié)果表明該方法對于六軸通用機(jī)械臂依然成立。Manocha等[14]在文獻(xiàn)[13]的基礎(chǔ)上優(yōu)化了求解該方程的方法。將式消元φ1,φ2后得到。

(17)

其中,Axy為3×3的矩陣，b為12×1的矢量，0為3×3的零矩陣。A中的每一個元素都只含有φ3，φ3為A的特征根。式成立的條件為det(A)=0，其中det(A)表示矩陣A的行列式。det(A)=0也可得到一個只有φ3的16階多項式，求解得到φ3的所有值。利用該方法求解速度可提升至11ms。上述兩種方法都以DH系為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)建立了逆運動學(xué)模型，但由DH系的缺陷可知，它們在求解過程中存在奇異性。

隨著雙四元數(shù)概念[15]的提出，Husty等[16]利用雙四元數(shù)結(jié)合Segre流型求通用6R機(jī)械臂的逆解。他們將一個6R串聯(lián)機(jī)械臂從中間分開變?yōu)槎€開環(huán)的3R串鏈，斷點左右的兩個坐標(biāo)系ΣL=ΣR。上述3R串鏈都是只用一個參數(shù)表示的Segre流型，每個流型由四個超平面組成。兩個Segre流型的16個交點表示機(jī)械臂逆運動學(xué)的16個逆解，超平面方程由四個參數(shù)化表示的矢量的行列式等于零得到。數(shù)值仿真結(jié)果表明，16個逆解中有二個為實數(shù)解而其他14個為虛數(shù)解。北京郵電大學(xué)的Qiao等[17]利用雙四元數(shù)表示機(jī)械臂的定位方程，使得該方程變?yōu)殛P(guān)節(jié)角組合的多重線性型，并通過Dixon結(jié)式求解該定位方程。其數(shù)值仿真結(jié)果表明，16個解中有四個解是實數(shù)解有12個解為虛數(shù)解。上述方法求解速度較快，但表達(dá)式比較復(fù)雜，在實踐中需要工程人員有很強(qiáng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)才能順利求解。

對于上文提到的解析法，在實際應(yīng)用中有比較成熟的開源庫解決上述問題。如文獻(xiàn)[20]中提到用Matlab的Robotics Toolbox庫求解6R機(jī)械臂的逆運動學(xué)解，其平均計算時間為0.27 ms。文獻(xiàn)[21]中用ikfast軟件庫計算機(jī)器人逆運動學(xué)。圖10展示了可用ikfast計算逆運動學(xué)的機(jī)器人種類，表1介紹了每種機(jī)器人計算逆解的時間及經(jīng)過10000次隨機(jī)試驗得到的計算成功率。由表1可知，ikfast可以成功求得任意六軸機(jī)械臂的逆解，精度達(dá)10-7m。在求解七軸機(jī)械臂時精度仍能保持在10-7m，但無法保證成功率達(dá)到100%。

雖然用解析法求機(jī)械臂逆運動學(xué)解能高效地得到機(jī)械臂在期望位姿的全部逆解，但現(xiàn)有的方法都存在兩個缺陷。(1)在求解過程中無法滿足避障約束，需要在求得所有解后對其進(jìn)行后處理，篩選出可行解。(2)該方法很難處理在動態(tài)環(huán)境下的機(jī)械臂逆運動學(xué)求解。在深空探測任務(wù)中，行星車不斷接近探測目標(biāo)時，二者之間的相對位姿是時刻變化的，在不同時間點求得機(jī)械臂的期望位姿是不同的。因此應(yīng)用該方法執(zhí)行任務(wù)時，必須等到行星車與探測目標(biāo)相對靜止后，再用解析法求機(jī)械臂逆運動學(xué)解，最后實現(xiàn)機(jī)械臂運動路徑規(guī)劃。

圖10 文獻(xiàn)[21]中用ikfast計算逆運動學(xué)的機(jī)械臂Fig.10 The manipulator inverse kinematic calculatedby ikfast[21]

機(jī)械臂類型DOFs求解時間/(μs)成功率PA1067100%Barrett WAM66100%Puma Arm66100%Manus Arm66100%HRP27699.5%HRP37699.5%Kuka R85065100%Willow Garage PR27698.2%

3.3 數(shù)值法

多剛體逆運動學(xué)有多種數(shù)值解法，如雅可比迭代法、牛頓法及混合逆運動學(xué)法等，但在機(jī)械臂求逆解時幾乎都采用雅可比迭代法。因此本文提到的數(shù)值解法專指雅可比迭代法的研究現(xiàn)狀。雅可比迭代法[22]對于機(jī)械臂的關(guān)節(jié)數(shù)及結(jié)構(gòu)沒有特別要求，且適用于機(jī)械臂基座與目標(biāo)間存在相對運動的系統(tǒng)的逆運動學(xué)求解，因此在六軸空間機(jī)械臂[23]、n軸空間機(jī)械臂[24]及深空探測[25]等領(lǐng)域的理論及工程實踐中有不少應(yīng)用。用數(shù)值法可以得到機(jī)械臂從起始位姿到目標(biāo)位姿的一個包含運動路徑的逆解，因此一般直接用數(shù)值法進(jìn)行運動規(guī)劃。在數(shù)學(xué)上無法證明該逆解是最優(yōu)解，推測求得的解是次優(yōu)解或最優(yōu)解的逼近。

雅可比迭代法的基本公式仍為式，主要原理為通過雅可比矩陣J線性逼近一個可行解，

(18)

(19)

進(jìn)一步可以得到關(guān)節(jié)角度微小變化Δφ對機(jī)械臂末端位置變化Δs的影響。

Δs≈J(φ)Δφ

(20)

因在機(jī)械臂規(guī)劃過程中，機(jī)械臂末端位置與期望位置之間存在誤差e，通過對微小角度的變化進(jìn)行迭代求解，可以逐步縮小誤差逼近期望位置。

e=J(φ)Δφ

(21)

由于機(jī)械臂末端位置是一個三維矢量，而機(jī)械臂關(guān)節(jié)數(shù)量不定，故雅可比矩陣J不一定是方陣。而迭代求解關(guān)節(jié)位置時需要求J-1，非方陣的J無法求逆。針對該問題，研究人員們想出多種解決方案。Unzueta等[26]提出雅可比轉(zhuǎn)置法，通過引入一個與雅可比矩陣相關(guān)的常數(shù)α與雅可比矩陣的轉(zhuǎn)置JT相乘的結(jié)果近似J-1，保證關(guān)節(jié)變量與末端位置之間的關(guān)系如式所示。式中〈x,y〉表示矢量x,y的內(nèi)積。

(22)

數(shù)值仿真結(jié)果表明α應(yīng)取較小值，否則系統(tǒng)末端將存在震蕩或不連續(xù)性。Buss[27]提出利用雅可比矩陣的偽逆近似雅可比矩陣的求逆。

Δφ=J?e

(23)

其中，J?表示為J的偽逆矩陣。偽逆方法雖然解決了非方陣的雅可比矩陣的求逆問題，但在奇異點附近存在不穩(wěn)定性。因此當(dāng)目標(biāo)位置在奇異點附近時，利用上述方法會導(dǎo)致求解結(jié)果無法收斂。Liegeois[28]及Maciejewski等[29]采用零空間法改進(jìn)前文提到的偽逆法，他們將矩陣(I-J?J)投影至J的零空間上，I為單位陣。即對任意矢量v，J(I-J?J)v=0n，則方程改寫為

Δφ=J?e+(I-J?J)v

(24)

該方法通過選擇不同的v有一定幾率求出另一個解。雖然它提高了偽逆算法的實用性，但其在奇異點附近穩(wěn)定性依然很差。

為了改善偽逆算法在奇異點處穩(wěn)定性差的缺陷，Wampler[30]提出了Levenberg-Marquardt(LM)算法，Nakamura等[31]采用阻尼最小二乘法(DLS)。

Δφ=JT(JJT+λ2I)-1e

(25)

上述方法不但可以減輕機(jī)械臂運動中的抖動，還可以改善偽逆算法在奇異點附近的表現(xiàn)。文獻(xiàn)[32]用試驗表明LM算法優(yōu)于雅可比轉(zhuǎn)置法及偽逆求解法，但其存在收斂速度慢且對于目標(biāo)的跟蹤精度較差的缺點。

也有不少學(xué)者針對雅可比矩陣采用了奇異值分解法(SVD)，文獻(xiàn)[33]通過SVD法對偽逆矩陣進(jìn)行分解

其中，σi=0是奇異條件。Maciejewski[34]結(jié)合SVD法改進(jìn)了DLS法，他利用SVD方法分解阻尼最小二乘矩陣：

JT(JJT+λ2I)-1=VEUT=

(26)

結(jié)果表明，在奇異點附近利用SVD方法計算機(jī)械臂的運動路徑比利用偽逆法得到的結(jié)果平滑許多，彌補(bǔ)了偽逆求解法的不足。

此外在實際工程中，機(jī)械臂的關(guān)節(jié)存在角度約束，運動空間內(nèi)存在碰撞約束等。Welman等[35]提出了解決關(guān)節(jié)角度約束的方法。文獻(xiàn)[36]及[37]分別提出了零空間飽和法，該方法有效的解決了關(guān)節(jié)角度約束及運動空間內(nèi)碰撞的問題，上述方法是結(jié)合了優(yōu)化方法的雅可比迭代法。

文獻(xiàn)[38]中通過一個仿真試驗對比了雅可比矩陣轉(zhuǎn)置法與阻尼最小二乘法之間的區(qū)別，雖然選擇的研究對象不是串聯(lián)機(jī)械臂而是更為復(fù)雜的并聯(lián)結(jié)構(gòu)。但該示例仍可說明數(shù)值解法的特點。圖11展示了Y型及雙Y型結(jié)構(gòu)的示意圖，計算時間如表2所示。從結(jié)果可知雅可比轉(zhuǎn)置法比阻尼最小二乘法計算時間更短。

圖11 研究對象[32]Fig.11 The Y type and double-Y type structures[32]

到目前為止，結(jié)合優(yōu)化算法的雅克比迭代法已逐漸成為研究熱點。在實際應(yīng)用中存在成熟的開源軟件庫及商業(yè)軟件庫用數(shù)值法結(jié)合優(yōu)化算法求解機(jī)械臂逆運動學(xué)，幾種常見的軟件庫及其所用的算法如表3所示。其中KDL(Kinematics and dynamics library)中主要用KDL算法[39]及其改進(jìn)算法KDL-RR(KDL-Random Restarts)，TRAC-IK庫[40]中應(yīng)用的TRAC-IK算法。商業(yè)軟件Optimization庫中用SQP(Sequential quadratic programming)算法[41]的改進(jìn)算法SQP-DQ[42](SQP-double quadratic)及SQP-SS[41](SQP-sum of squares)等。

文獻(xiàn)[40]中比較了幾種軟件庫中不同算法對于機(jī)器人逆運動學(xué)的求解成功率及平均解算時間。

分別選取五種人形機(jī)器人(如圖12所示)的串聯(lián)機(jī)械臂作為求逆運動學(xué)解的對象，用不同算法求逆解的結(jié)果如表4所示。其中TRAC-IK庫具有最高的求解成功率及最快的平均解算時間，KDL庫中KDL算法的求解成功率最低。SQP-DQ算法的平均解算時間最長。

表2 兩種方法的計算時間對比[32]Table 2 The runtime of the two approaches[32]

表3 數(shù)值法求機(jī)械臂逆解所用的軟件庫及其算法Table 3 Illustration of source libraries and their algorithms innumerical method

圖12 測試用的五種機(jī)器人[40]Fig.12 The five robot models used for testing[40]

運動串鏈求機(jī)械臂逆運動學(xué)的數(shù)值算法機(jī)器人的機(jī)械臂DOFsKDLKDL-RRSQP-DQSQP-SSTRACK-IK求解率/%解算時間/ms求解率/%解算時間/ms求解率/%解算時間/ms求解率/%解算時間/ms求解率/%解算時間/msRobonaut2785.820.6191.210.597.760.8898.850.6499.540.4TRACBot778.880.3990.130.5999.850.9399.880.7599.950.44Atlas2013675.530.1590.660.2599.710.699.110.4399.850.26Atlas2015775.390.3985.50.5598.980.7899.320.6599.450.42Valkyrie744.830.682.11.1699.050.999.610.6299.830.51

從結(jié)果來看，雖然運用各種數(shù)值算法求逆解的位置誤差與姿態(tài)誤差都可達(dá)到1e-6(m)及1e-6(deg)，但其平均計算誤差是解析法計算結(jié)果的10倍，且該方法也存在著一個不可避免的缺陷：沒有一種算法的求解率可以達(dá)到100%。即使是六軸機(jī)械臂，其求解率無法像解析法那樣每次都能找到逆解。造成該問題的原因在于數(shù)值法的非線性優(yōu)化過程過于依賴人為設(shè)置或隨機(jī)猜想的初始種子。數(shù)值法的核心是梯度下降，而種子決定著梯度下降的方向，若種子設(shè)置合理，則可以高效地求得理想的結(jié)果，若種子設(shè)置不合理，甚至?xí)霈F(xiàn)無解的情況。

3.4 人工智能方法

近幾年，隨著人工智能熱潮的掀起，一些學(xué)者嘗試采用人工智能的方法求解機(jī)械臂逆運動學(xué)，期望能用該方法求解特殊結(jié)構(gòu)的機(jī)械臂逆運動學(xué)。具有特殊結(jié)構(gòu)的機(jī)械臂大多用來處理某類特定問題，且該問題無法用常見的機(jī)械臂解決，因此無論是航天領(lǐng)域還是工業(yè)領(lǐng)域，都有一定的應(yīng)用價值。

文獻(xiàn)[44]采用傳統(tǒng)遺傳算法及連續(xù)遺傳算法求機(jī)械臂逆解，遺傳算法的迭代過程中可以得到機(jī)械臂的運動路徑。實驗結(jié)果表明連續(xù)遺傳算法及傳統(tǒng)遺傳算法都可以得到機(jī)械臂的逆解，但用第一種方法得到的運動路徑比第二種方法更加平穩(wěn)。文獻(xiàn)[45]提出了利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求機(jī)械臂逆運動學(xué)解的方法。其輸入為機(jī)械臂的末端位姿T，輸出為機(jī)械臂的關(guān)節(jié)角度φ。

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結(jié)果表明，經(jīng)過大量訓(xùn)練后，訓(xùn)練集Strain的理論正逆互驗精度可以達(dá)到10-7m。利用測試集Stest進(jìn)行測試的結(jié)果表明該方法的泛化能力在理論上可以接受，但無法用于工程中。文獻(xiàn)[46]結(jié)合了遺傳算法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求機(jī)械臂逆運動學(xué)解。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入及輸出與文獻(xiàn)[45]一致，但神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重值由遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化。這項改進(jìn)提高了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練速度，保證末端位姿誤差能以更快的時間降到目標(biāo)誤差以下。

文獻(xiàn)[47]介紹了基于Sarsa(λ)強(qiáng)化學(xué)習(xí)的空間機(jī)械臂求逆解及路徑規(guī)劃的研究，機(jī)械臂的每根桿件都被視作一個可決策的智能體，通過感知機(jī)械臂末端與目標(biāo)的偏差及各桿件和障礙物的距離程度，人工設(shè)計獎勵函數(shù)，并對各桿件轉(zhuǎn)動動作進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練。形成了各智能體的狀態(tài)-動作函數(shù)表，作為指導(dǎo)機(jī)械臂在線運動規(guī)劃的依據(jù)。結(jié)果表明該方法可以指導(dǎo)機(jī)械臂在求逆解中滿足避障約束及位置約束。但其無法保證機(jī)械臂滿足姿態(tài)約束，需要對運動空間進(jìn)行更細(xì)的劃分及設(shè)計更完善的獎勵函數(shù)才能實現(xiàn)。

到目前為止，人工智能求解機(jī)械臂逆運動學(xué)的方法還很不成熟。所有人工智能方法都是離線算法，無法實現(xiàn)在線求機(jī)械臂逆運動學(xué)解及運動規(guī)劃。對于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，仿真結(jié)果表明訓(xùn)練后的模型對于訓(xùn)練集Strain中的數(shù)據(jù)求逆解的效率及精度都能達(dá)到實際應(yīng)用的標(biāo)準(zhǔn)，但訓(xùn)練集中并未給出工作空間內(nèi)的所有點，由于泛化能力較弱，對于不在訓(xùn)練集內(nèi)的點的計算效果不佳。此外即使是同一類型的兩臺機(jī)械臂A,B，也會有稍許不同，通過訓(xùn)練機(jī)械臂A得到的機(jī)械臂逆運動學(xué)模型A，很難泛化到機(jī)械臂B中。若在實際應(yīng)用中，將模型A求的逆解作為機(jī)械臂B的輸入控制其運動，可能會帶來無法挽回的后果。對于強(qiáng)化學(xué)習(xí)方法主要存在兩個問題，(1)該方法是基于對環(huán)境采樣的算法，機(jī)器人所處的環(huán)境復(fù)雜，采樣效率較低。(2)強(qiáng)化學(xué)習(xí)的采樣中伴隨著探索，在不確定性很強(qiáng)的環(huán)境空間中進(jìn)行探索，容易損壞機(jī)器人。特別是在航天領(lǐng)域，機(jī)器人成本很高，因此損壞機(jī)器人是無法接受的。所以對于人工智能方法，還需要后續(xù)科研工作者繼續(xù)努力研究。

4 機(jī)械臂運動學(xué)中需解決的關(guān)鍵科學(xué)問題

4.1 正運動學(xué)

目前機(jī)械臂正運動學(xué)建模及解算方法在理論方面非常成熟。在工程中對機(jī)械臂進(jìn)行正運動學(xué)建模時，若輸入的機(jī)械臂結(jié)構(gòu)參數(shù)與工程模型的實際結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的誤差小于系統(tǒng)要求的最大精度，則對于機(jī)械臂末端位姿的理論計算結(jié)果與工程測量結(jié)果間的誤差也可以滿足系統(tǒng)的精度。因此，提高機(jī)械臂正運動學(xué)計算精度的核心是尋找提高機(jī)械臂結(jié)構(gòu)參數(shù)的精密測量方法。

4.2 逆運動學(xué)

目前許多科研人員仍對機(jī)械臂逆運動學(xué)建模與解算進(jìn)行研究，他們在不同程度上都取得了一定的成果，為機(jī)械臂在航天及工業(yè)領(lǐng)域的應(yīng)用奠定了理論及實踐基礎(chǔ)。但求機(jī)械臂逆運動學(xué)解的工程意義在于為機(jī)械臂運動規(guī)劃提供輸入。因此尚有以下幾個方面的問題值得關(guān)注。

4.2.1解析法的理論研究

建立一套新的滿足機(jī)械臂碰撞約束及角度范圍約束的運動學(xué)模型。用解析法求機(jī)械臂逆運動學(xué)解時只需要滿足位置及姿態(tài)約束，這兩個約束都是等式約束，因此解一個非線性方程組的根即可得到全部解。但機(jī)械臂的工作空間會給予它碰撞約束或角度范圍約束，這些約束是關(guān)于桿件位姿的不等式約束。因此在求逆解的過程中，解析法并未考慮與環(huán)境的碰撞約束或機(jī)械臂的關(guān)節(jié)角度約束。用該方法求得的逆運動學(xué)解中有一個或多個位姿可能與環(huán)境發(fā)生碰撞。對于該問題，一般是在計算方程組的根后通過解不等式篩除不滿足約束的解，得到滿足各項約束的解，增加了求逆運動學(xué)解的計算時間。建立有關(guān)機(jī)械臂碰撞約束或角度約束的逆運動學(xué)模型，將上述模型添加至原來的數(shù)學(xué)模型中，得到滿足姿態(tài)約束的新模型。

4.2.2數(shù)值法的工程實踐研究

考慮復(fù)雜環(huán)境約束下的快速在線求逆解。在航天領(lǐng)域?qū)C(jī)械臂的應(yīng)用中，主要需要考慮在復(fù)雜環(huán)境的約束中求機(jī)械臂的逆運動學(xué)解。該約束主要考慮機(jī)械臂底座與目標(biāo)之間存在相對運動的情況，如空間站攜帶的機(jī)械臂抓捕與空間站存在相對運動的物體或行星車在星表對感興趣的地貌進(jìn)行在線探測。此時不但需要考慮機(jī)械臂的位置及姿態(tài)約束，避障約束，還需要考慮機(jī)械臂底座與探測目標(biāo)之間的速度約束或加速度約束[48]。因此任務(wù)空間約束常包括以下幾種，如路徑奇異點規(guī)避的約束，在未知環(huán)境中運動時，機(jī)械臂運動路徑中避障的約束，以及時間、能量等性能最優(yōu)的約束。對于上述約束，將每一個約束都可表示為一個等式或不等式，對于非凸的約束方程，將其用連續(xù)多個凸函數(shù)進(jìn)行分段逼近[49-50]。如運動約束方程中，平動是凸函數(shù)，旋轉(zhuǎn)變換陣為非凸函數(shù)，將旋轉(zhuǎn)變換陣用凸函數(shù)逼近，得到一系列凸的約束方程組。利用凸優(yōu)化[51]的方法求解該運動方程組，得到滿足約束的最優(yōu)路徑。

4.2.3機(jī)械臂逆運動學(xué)求解率的理論研究

任務(wù)空間[52]約束下的全局逆運動學(xué)求解率研究。任務(wù)空間約束是對機(jī)械臂末端位姿的約束，主要做用于機(jī)械臂抓取任務(wù)以及抓取后的行為。在任務(wù)空間約束下，機(jī)械臂求逆解失敗可能有兩種原因。其一是環(huán)境約束或運動學(xué)約束。如機(jī)械臂在抓取目標(biāo)時無法避免與目標(biāo)之外的環(huán)境碰撞，或在數(shù)值法求解的所有運動路徑中，被機(jī)械臂抓取物體都無法保證固定姿態(tài)，從而導(dǎo)致任務(wù)失敗，這種情況也稱為全局求解失敗。其二是初始種子設(shè)置不合理導(dǎo)致的求逆解失敗，也稱作局部求解失敗。確定機(jī)械臂求解失敗的種類具有十分重要的理論意義，許多科研人員都在研究能識別全局求解失敗的方法。雖然有人提出當(dāng)求解失敗時，通過多試幾個不同的初始種子再觀測是否存在成功求解，但并無法證明測試的不同種子的數(shù)量與求解失敗種類之間存在必然的聯(lián)系。該問題的核心在于猜測非線性非凸系統(tǒng)優(yōu)化的初始鄰域方向。將非凸約束放寬至用凸函數(shù)逼近，并將非線性旋轉(zhuǎn)變換陣Q∈SO(3)的乘法運算通過POE模型轉(zhuǎn)化為指數(shù)系統(tǒng)exp(·)∈SO(3)的線性相加，系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為李代數(shù)中的線性系統(tǒng)。上述兩方面是求解該問題的重點。

近年來，隨著凸優(yōu)化算法成功應(yīng)用于機(jī)械臂逆運動學(xué)求解及運動路徑規(guī)劃。針對不同約束構(gòu)造不同的凸函數(shù)，解決相應(yīng)的問題已成為研究熱點。本文提到的解析法及數(shù)值法都可與凸優(yōu)化算法結(jié)合。對于解析法，先求解機(jī)械臂的逆運動學(xué)，再將可行解作為凸優(yōu)化的終止條件對機(jī)械臂進(jìn)行路徑規(guī)劃，最后可得滿足約束條件的最優(yōu)路徑。對于數(shù)值解法，在4.2.2節(jié)與4.2.3節(jié)中已經(jīng)介紹了其與凸優(yōu)化結(jié)合可解決的各種問題。利用上述思路，預(yù)期可以獲得更多科研成果。

5 結(jié) 論

機(jī)械臂運動學(xué)建模及求解在航天及工業(yè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。因解析法具有魯棒性更強(qiáng)的特點，廣泛的應(yīng)用于機(jī)械臂基座不運動的工業(yè)任務(wù)或機(jī)械臂基座與目標(biāo)相對靜止的航天任務(wù)中。而對于機(jī)械臂基座與目標(biāo)有相對運動的空間站任務(wù)及深空探測任務(wù)，因數(shù)值解法物易于實現(xiàn)，且對于動基座問題具有更好的適應(yīng)性，受到研究人員的青睞。人工智能的方法也逐漸應(yīng)用于該領(lǐng)域，但在理論中還存在諸多問題，并不足以在實際工程中應(yīng)用，需要科研人員們對該問題進(jìn)一步研究。本文在總結(jié)當(dāng)前國內(nèi)外機(jī)械臂運動學(xué)建模與求解的基礎(chǔ)上，還指明了該領(lǐng)域還需要解決的科學(xué)問題，為后續(xù)科研工作者提供了研究思路。