聚焦解題反思，提升解題能力

肖文芳

[摘 ?要] 教師在解題教學中，應積極引導學生在反思中學會理智地分析問題，在反思中學會互相合作，在反思中學會享受學習的快樂.文章提出了三種提高學生解題能力的反思途徑：方法反思、多解反思與錯解反思.

[關鍵詞] 方法;多解;錯解;反思

在每次考試后，經(jīng)常聽到教師這樣抱怨：“這道題，我已經(jīng)在課上講了n遍了，可還是好多學生沒有解對，不知道他們是怎么學的！”也常聽見學生這樣埋怨：“這種題在考試前我都做過，怎么到了考試的時候還是做不對！我開始懷疑世界了. ”走進課堂，不難發(fā)現(xiàn)，在許多時候，教師只是反反復復將例題講一題是一題，解后不加以總結，也不善于引導學生進行及時反思，于是，學生的思維永遠停留在低水平的層次，只會模仿，不會創(chuàng)新，導致聽得懂卻不會做的結果. 數(shù)學教育家弗賴登塔爾就指出：反思是數(shù)學活動的核心和動力. 那么，教師在解題教學中該如何引導學生反思呢？

方法反思，激發(fā)興趣

數(shù)學解題，并不僅僅是知識與技能的交匯，也是學生整個身心和情感投入的過程. 在這個過程中，學生既品嘗了失敗的苦澀，又收獲了成功以后的滿足感，無論是獨立思考，還是互相合作完成，都是個人智慧與集體力量的反映. 在這個有利時機，引導學生反思，能喚起學生的學習熱情，點燃他們的智慧火花，讓他們感受到學習其實是一件既快樂又十分有趣的事情，從而催生其主動學習的積極性，并進一步形成良好的思維品質.

比如，正方體的展開圖有多種形式，仔細算來有十一種. 那么在不將展開圖還原成正方體的情況下，在圖形中能快速找到相互重合的頂點嗎？教師引導學生思考象棋中“馬走日”的方法，即從正方體展開圖的某一頂點出發(fā)，按照“馬”在象棋中走“日”字的方法，連續(xù)走兩步，終點與始點便是該展開圖還原成正方體時的重合頂點（文中的虛線箭頭一律代表“馬”行走的路線和方向），這種新奇的方法往往能引起學生的興致.

如圖1、圖2，“馬”從點A出發(fā)，連續(xù)走兩步到達點B，則點B與點A是該展開圖還原成正方體時的重合頂點.

如圖3，“馬”從點A出發(fā)，連續(xù)走兩步到達點B，再從點B出發(fā)，連續(xù)走兩步到達點C，則點B，C與點A是該展開圖還原成正方體時的重合頂點.

如圖4，“馬”從點A出發(fā)，連續(xù)走兩步到達點B或點C，則點B，C與點A是該展開圖還原成正方體時的重合頂點.

例1 ?圖5是一個正方體紙盒的展開圖，當把幾何體還原后，與點1重合的點是（ ? ? ?）

A. 4，9 ? ? ? ? ?B. 8，11

C. 11，3 ? ? ? ?D. 9，3

分析 ?依據(jù)“馬”的“運動規(guī)則”，可知：從點1出發(fā)，連續(xù)走兩步到達點3或點11，那么點3、點11與點1是該展開圖還原折成紙盒時的重合點，本題選C.

對于某些題目，或許學生暫時不會處理，但只要他們有解決問題的欲望，這時教師恰當引導，不斷反思，往往能使學生撥開迷霧，看清“廬山真面目”.

多解反思，激活思維

常言道：山不在高，有仙則名;水不在深，有龍則靈. 而筆者想說：題不在多，有反思則行. 題海戰(zhàn)術，無法實現(xiàn)提高學生解題能力、發(fā)展思維的教學目標，而倡導并堅持解題后反思，才是直達成功的綠色通道. 首先要反思解題過程，從解題過程中感悟解題方法、進而總結出解題規(guī)律. 我們可以對原題進行變式，在例題的不斷變化中，激活學生的思維，開拓學生的眼界.

例2 ?如圖6所示，A，B兩點的坐標分別是（2 ，0），（0，2），點P在△ABO的外接圓上，且∠AOP=45°，請計算點P的坐標.

本題來源于某地區(qū)中考真題，以圓為背景，讓直角坐標系、點的坐標及特殊的三角函數(shù)“三劍客”打“組合拳”，在問題的解決中考查了基本的數(shù)學思想與方法. 本題是一道綜合性較強，能力要求較高的綜合題.

解答此題，教師可以先引導學生根據(jù)已知條件和題圖求出PA=PB=2 . 如何求出點P的坐標，教師不妨引導學生多角度思考.

分析1 ?現(xiàn)在要計算P點坐標，其實就是計算點P到x軸與y軸的距離. 為此可作PC⊥x軸，垂足為點C，于是問題轉化為求OC，PC的長（如圖7）.

由∠AOP=45°知OC=PC，在Rt△PCA中，利用勾股定理即可求出PC. 設OC=PC=x，則AC=2 -x. 在Rt△PCA中，由PC2+AC2=PA2，得x2+（2 -x）2=（2 ）2，解得x= +1（ -1不合題意，舍去），故點P的坐標為（ +1， +1）.

反思 ?思路1其實就是已知△OPA的兩邊PA，OA和∠AOP，求AB邊上的高的問題，故只需在Rt△PCA中，由勾股定理建立方程就可以了.

分析2 ?因為△OPA中的三個角（∠AOP=45°，∠2=∠1=60°）都已知，且OA=2 ，所以只需求出OP長即可，故想到作AC⊥OP（如圖8）.

在Rt△OCA中，由∠AOP=45°，得OC= . 在Rt△ACP中，由∠2=60°，PA=2 ，得PC= . 所以PO= + ，于是不難得出點P（ +1， +1）.

反思 ?比較兩種解法，有著驚人相似的一幕，它們都是在△OPA中通過作高，將斜三角形轉化為直角三角形來解，即所謂的化一般為特殊，化陌生為熟悉，體現(xiàn)出基本的轉化思想.

下面我們換個角度來分析：∠AOP=45°，除可以得到∠AOP=∠POB=45°外，你還能得出其他性質嗎？于是結合所要求的結論（點P的坐標），容易想到角平分線的有關性質，從而得到PC=PD（如圖9）. 于是四邊形DOCP是正方形，所以只需求出這個正方形的邊長.

分析3 ?如圖9，過點P分別作兩坐標軸的垂線PC與PD. 因為PA=PB=2 ，∠AOP=∠POB=45°，所以△PDB≌△PCA. 所以DB=CA. 設DB=x，由DB+OB=OA-AC，得x+2=2 -x，x= -1，所以OD=x+2= +1. 故點P的坐標為（ +1， +1）.

反思 ?將3種思路做比較，不難發(fā)現(xiàn)思路3最簡捷，這種解法抓住了問題的幾何本質，直觀地發(fā)現(xiàn)有關線段長度之間的關系，進而利用這種關系通過建立方程對問題加以解決.

從本例可以看出，一節(jié)課講透一道題勝于一節(jié)課做十道題！反思一題，以點帶面，這才是解題教學的最高境界.

錯解反思，防患未然

初中學生的知識水平，思考問題的習慣與方法，對事物的認識和感受有所欠缺，出現(xiàn)錯誤不足為奇，例題教學如能以之為突破口，引導學生進行解題后的反思，則可以發(fā)現(xiàn)問題的“癥結”所在，通過“對癥下藥”，往往能收到事半功倍的理想效果. 其實，習題中的錯解，是反思的極好素材. 教師在解題教學中，適時引入這個“素材”，讓學生對錯解進行反思，可起到防患于未然的作用.

例3 ?已知甲、乙兩艘漁船都在B港，如果甲船以每小時8海里的速度沿北偏東60°方向前進，而乙船以每小時15海里的速度向某個方向前進，兩個小時后，甲船到達M島，乙船到達P島，已知M，P兩島相距34海里，同學們，你能計算乙船的航向嗎？

錯解展示 ?甲船航行的距離為BM=8×2=16（海里），乙船航行的距離為BP=15×2=30（海里）. 因為162+302=1156，342=1156，所以BM2+BP 2=MP 2，所以△MBP為直角三角形，所以∠MBP=90°，因為甲船是沿北偏東60°方向航行的，故乙船的航向為沿著南偏東30°.

引導反思 ?上述錯解默認乙船的航向是按南偏東某個角度航行的，但題目里沒有這個條件，這是犯了“主觀臆斷”的錯誤，事實上，乙船還可北偏西航行，同樣可以使得M，P兩島相距34海里.

集體糾錯 ?甲船航行的距離為BM=8×2=16（海里），乙船航行的距離為BP=15×2=30（海里）. 因為162+302=1156，342=1156，所以BM2+BP2=MP2，所以△MBP為直角三角形，所以∠MBP=90°，當乙船以南偏東方向航行時，它的航向是南偏東30°;當乙船以北偏西方向航行時，它的航向是北偏西30°.

教師每天與學生的作業(yè)打交道，發(fā)現(xiàn)錯解，不僅要及時讓學生訂正，更要讓他們反思，學生學會獨立反思，互相反思，獨立糾錯，互相糾錯，在獨立思考和合作學習中，不斷反思自己的思維行為，從而在反思中不斷提升思維水平.

數(shù)學思維深刻性的培養(yǎng)，離不開反思這個環(huán)節(jié). 這種反思，不是教師強加于學生的，而是學生的自覺活動，只能靠學生自己獨立完成. 教師在解題教學中，應積極引導學生在反思中學會理智地分析問題，在反思中學會互相合作，在反思中學會享受學習的快樂.