“探索三角形相似的條件復(fù)習(xí)課”教學(xué)設(shè)計(jì)

[摘 ?要] “三角形相似的判定復(fù)習(xí)課”設(shè)計(jì)思路立足于“讓學(xué)生的數(shù)學(xué)自然而然地生長(zhǎng)”. 根據(jù)學(xué)生自身的掌握情況，由學(xué)生來(lái)添加條件推理出相應(yīng)的結(jié)論，滿足學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”. 并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行相應(yīng)的難度提升和知識(shí)拓展，小步地鞏固和提高，最終完成相似三角形判定的知識(shí)掌握和熟練運(yùn)用.

[關(guān)鍵詞] 生長(zhǎng)數(shù)學(xué);最近發(fā)展區(qū);復(fù)習(xí)課;三角形相似

教材分析

“相似三角形的判定復(fù)習(xí)課”是北師大版九年級(jí)上冊(cè)第四章第四節(jié)的內(nèi)容. 是學(xué)生學(xué)習(xí)了“平行線分線段成比例”“探索三角形相似的條件”等知識(shí)后的一個(gè)復(fù)習(xí)內(nèi)容，為后面利用三角形相似解決實(shí)際問(wèn)題以及九年級(jí)下冊(cè)三角函數(shù)、研究圓中比例線段的學(xué)習(xí)做了鋪墊，在平面幾何的學(xué)習(xí)中起著承上啟下的作用，因此須熟練掌握三角形相似的判定并靈活運(yùn)用. 本節(jié)課以“生長(zhǎng)式”的方法進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生通過(guò)觀察和思考達(dá)到知識(shí)的拔節(jié).

學(xué)情分析

初三年級(jí)的學(xué)生，他們的思維已處于理論型邏輯思維階段，具備一定的抽象思維能力和演繹推理能力，他們的思維相對(duì)活躍，動(dòng)手操作能力逐漸成熟，能主動(dòng)參與課堂的操作、探究.

教學(xué)任務(wù)分析

1. 教學(xué)目標(biāo)分析

（1）通過(guò)學(xué)習(xí)，學(xué)生進(jìn)一步鞏固“三角形相似的判定定理”，認(rèn)識(shí)基本圖形，學(xué)會(huì)從復(fù)雜圖形中整理出基本圖形，能分析其中的基本元素及對(duì)應(yīng)關(guān)系并解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

（2）在解決問(wèn)題的過(guò)程中，讓學(xué)生感受圖形的運(yùn)動(dòng)變化，能動(dòng)態(tài)地看問(wèn)題，感受數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法.

（3）學(xué)生通過(guò)思考與交流，提高學(xué)習(xí)相似三角形知識(shí)的興趣和積極性，通過(guò)相互協(xié)作嘗試解決問(wèn)題，樹(shù)立學(xué)習(xí)的自信心，在解決問(wèn)題中體驗(yàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值.

2. 教學(xué)重點(diǎn)分析

根據(jù)已有條件，進(jìn)一步添加或者尋找新的條件得出三角形相似，并運(yùn)用相似關(guān)系找出線段之間的數(shù)量和位置關(guān)系等.

3. 教學(xué)難點(diǎn)分析

在動(dòng)態(tài)中分類討論三角形相似的多種情況，并由此進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算;在學(xué)習(xí)過(guò)程中能根據(jù)條件找出或者構(gòu)造如“一線三等角”等模型.

教法與學(xué)法分析

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，是師生之間、學(xué)生之間交往互動(dòng)、共同發(fā)展的過(guò)程. 遵循這一原則，再結(jié)合初三年級(jí)的思維和心理特征，本節(jié)課采用情境——問(wèn)題教學(xué)法. 具體做法是：設(shè)置情境——教師提出問(wèn)題——師生共同解決問(wèn)題——數(shù)學(xué)應(yīng)用. 這種教學(xué)方法能激發(fā)學(xué)生的求知欲，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使學(xué)生主動(dòng)參與數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下以獨(dú)立思考和相互交流的形式，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題.

教學(xué)過(guò)程分析

1. 溫故知新

問(wèn)題1：如圖1，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的兩個(gè)點(diǎn)，請(qǐng)你另添加一個(gè)條件，使△ABC和△ADE相似，并說(shuō)明添加條件的理由.

設(shè)計(jì)意圖 ?為了突破傳統(tǒng)的提綱式、背誦式、無(wú)懸念的復(fù)習(xí)套路，轉(zhuǎn)而由學(xué)生自主添加條件得到相應(yīng)的知識(shí)，使得絕大多數(shù)學(xué)生都能根據(jù)自己所掌握的知識(shí)完成相應(yīng)難度和層次的任務(wù)，使得復(fù)習(xí)能夠覆蓋大多數(shù)學(xué)生，讓其掌握的知識(shí)自然而然地生長(zhǎng)，并為下一個(gè)環(huán)節(jié)的說(shuō)理做好了鋪墊.

問(wèn)題2：在第一個(gè)環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上連接DC，BE相交于點(diǎn)O. 看一看，議一議，兩個(gè)圖中各有幾對(duì)三角形相似？

我們知道，對(duì)于圖2，學(xué)生根據(jù)所添加的平行線就可以得到同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等，繼而推出△ADE∽△ABC和△DOE∽△COB. 而對(duì)于圖3，很多學(xué)生可能僅僅因?yàn)樘砑拥囊唤M角相等只能得到△ADE∽△ACB. 但事實(shí)上圖4中能推導(dǎo)出4組相似，每推出一個(gè)相似，都可作為下一個(gè)相似的條件.

設(shè)計(jì)意圖 ?絕大多數(shù)學(xué)生可以迅速?gòu)膱D3中由平行得到2組相似，這個(gè)比較簡(jiǎn)單. 而要從圖4中得到4組相似是需要認(rèn)真思考和推理的. 這樣的設(shè)計(jì)對(duì)于學(xué)生全面掌握相似的判定及靈活運(yùn)用是非常有幫助的. （具體分析見(jiàn)圖5、圖6）

問(wèn)題3：進(jìn)一步追問(wèn)圖4中，△OBD與△OCE是否相似？

DE∥BC？圯 = 是對(duì)的，但要證明△OBD∽△OCE，DO，EO，CO，BO四條對(duì)應(yīng)線段的對(duì)應(yīng)關(guān)系不對(duì)，必須是 = 才行，所以此問(wèn)題無(wú)法證得，因此無(wú)法判斷.

而對(duì)于圖5中的4組相似三角形，學(xué)生只有熟練掌握了相似三角形的判定，才能全部推導(dǎo)出來(lái)，這個(gè)要求相對(duì)高一些. 這也是通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的生長(zhǎng)，提高學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”的水平高度.

2. 思維拓展

問(wèn)題4：在圖6中，如果AB=8 cm，AC=10 cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以2 cm/s的速度向B點(diǎn)移動(dòng)，點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，以1 cm/s的速度向A點(diǎn)移動(dòng). 當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng). 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s，那么t為何值時(shí)，△APQ與△ABC相似？

問(wèn)題5：在圖7中，如果AB=AC，點(diǎn)P（不與B，C重合）繼續(xù)在BC邊上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在AC邊上運(yùn)動(dòng)，保持∠APQ=∠C. 請(qǐng)問(wèn)有哪些三角形相似？

問(wèn)題6：你在圖8中，能發(fā)現(xiàn)特殊的結(jié)論嗎？如果∠ABC是30°、45°、60°的情況呢？

設(shè)計(jì)意圖 ?在前面的溫故知新后，要求學(xué)生能夠合理運(yùn)用自己所掌握的知識(shí)解決問(wèn)題. 因此在圖1的基礎(chǔ)上進(jìn)行了動(dòng)態(tài)問(wèn)題的設(shè)計(jì)，但仍然和溫習(xí)的知識(shí)有充分聯(lián)系. 而圖7是動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到BC邊出現(xiàn)的“一線三等角”的情況，也為接下來(lái)圖8“一線三等角”模型的拓展埋下伏筆，課堂上自然生長(zhǎng)到含特殊角如45°、60°、90°的“一線三等角”模型.

3. 交流探討

問(wèn)題7：如圖9，在等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），在AC上取一點(diǎn)E，使∠ADE=45°.

（1）探索△ABD和△DCE是否相似？

（2）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式x的取值范圍.

（3）求出當(dāng)BD為何值時(shí)AE取得最小值.

（4）當(dāng)AE取最大值時(shí)，請(qǐng)判斷△ADE的形狀.

設(shè)計(jì)意圖 ?交流探討的問(wèn)題對(duì)思維拓展問(wèn)題中涉及的“一線三等角”的情況進(jìn)行了補(bǔ)充，并設(shè)計(jì)了函數(shù)和最值問(wèn)題. 這種設(shè)計(jì)既考慮了學(xué)生本身的知識(shí)儲(chǔ)備情況，又能讓學(xué)生在已有知識(shí)的層面上進(jìn)一步拓展思路，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象思維和知識(shí)遷移的能力.

4. 課后作業(yè)

問(wèn)題8：如圖10，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)D在邊AB上，DE⊥AB，點(diǎn)E在邊BC上. 又點(diǎn)F在邊AC上，且∠DEF=∠B.

（1）求證：△FCE∽△EBD;

（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否有可能使S =4S . 如果有可能，那么求出BD的長(zhǎng)，如果不可能請(qǐng)說(shuō)明理由.

5. 總結(jié)歸納

（1）請(qǐng)梳理本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)有哪些？

（2）請(qǐng)總結(jié)本節(jié)課的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)模型.

簡(jiǎn)述教學(xué)設(shè)計(jì)總體思路

這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)思路主要在以下幾點(diǎn)：

1. 注意了新舊知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯聯(lián)系

根據(jù)學(xué)生的原有認(rèn)知基礎(chǔ)、認(rèn)知水平、認(rèn)知規(guī)律，站在學(xué)生的角度去設(shè)計(jì)教學(xué)，達(dá)到學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的心理認(rèn)知.

2. 重視學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的重建

也就是我們常常提到的“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”. 例如相似判定的回顧和運(yùn)用之間用同一個(gè)母圖（圖1）加強(qiáng)聯(lián)系，讓學(xué)生在課堂上親自參與“知識(shí)再發(fā)現(xiàn)”的過(guò)程，經(jīng)歷探索新知的過(guò)程. 在拓展運(yùn)用中也不是隨意找題目，而是在母圖中加入了運(yùn)動(dòng)元素，使得題目和思維運(yùn)動(dòng)了起來(lái).

3. 加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透

所有的設(shè)計(jì)，從圖2到圖10都是在最初圖1學(xué)生添加的那兩個(gè)條件中變化出來(lái)的. 所以整個(gè)設(shè)計(jì)以“精心提煉、著意滲透、反復(fù)孕育、經(jīng)常應(yīng)用、小步推進(jìn)、分層達(dá)到”去實(shí)施數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).

4. 加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練

學(xué)生的思維是從問(wèn)題開(kāi)始的，設(shè)計(jì)的問(wèn)題難度有坡度，能讓不同層次的學(xué)生都能夠得到能力的發(fā)展. 本節(jié)課以“生長(zhǎng)式”的教學(xué)設(shè)計(jì)使得學(xué)生進(jìn)行充分思考，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生的思維鍛煉，自然而然地促進(jìn)知識(shí)生長(zhǎng)，將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)滲透在整節(jié)課當(dāng)中.