數(shù)學(xué)猜想的類型及應(yīng)用

盧雨晴

【摘要】猜想作為一種科學(xué)思維形式和數(shù)學(xué)研究方法，是數(shù)學(xué)發(fā)展的重要途徑.本文從數(shù)學(xué)猜想的概念出發(fā)，歸納總結(jié)了數(shù)學(xué)猜想的類型，闡述了猜想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】猜想;思維能力

數(shù)學(xué)猜想是依據(jù)已知的事實(shí)材料與數(shù)學(xué)知識，通過理論思維的能動(dòng)作用對未知的量及其關(guān)系所做出的一種似真推斷，數(shù)學(xué)猜想是數(shù)學(xué)創(chuàng)新的一種思維方式，滲透數(shù)學(xué)猜想在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要的意義，為此總結(jié)歸納了數(shù)學(xué)猜想的類型如下所示.

一、直觀猜想

直觀猜想是指通過對研究對象的外在因素的探究，進(jìn)而挖掘其本質(zhì)特征，從而對問題解決的方法做出猜想.

二、歸納猜想

歸納猜想是指從許多個(gè)別的事物中概括出一般性概念、原則或結(jié)論的思維方法，是由觀察所啟發(fā)而由特例所揭示的.歸納猜想是學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的最基本而又十分重要的方法，它能使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，是探索解題思路的有效方法.

三、類比猜想

類比是指某種類型的相似性.事物之間常常具有相同的或相似的屬性，當(dāng)相似的對象在某個(gè)方面彼此一致的時(shí)候，可以由已知的其中一類事物的某種屬性去猜測另一類事物也一樣具有相同的或相似的屬性.

四、演繹猜想

演繹猜想是指從一般性概念、原則或結(jié)論的思維方法中，推斷出特殊的或者特定的方法，即從一般原則推論出特定結(jié)果的方法.

五、觀察猜想

觀察猜想是指在數(shù)學(xué)解題和數(shù)學(xué)問題論證的過程中，通過觀察的手段，找到一些客觀的形狀與數(shù)量的線索，對問題做出的一種有依據(jù)有邏輯的猜測.也就是運(yùn)用我們的眼睛，努力發(fā)現(xiàn)客觀存在的事實(shí)中的規(guī)律，觀察得深刻與否，決定著猜想的形成與問題的解決.

六、逆向猜想

逆向猜想是指在解決數(shù)學(xué)難題時(shí)，始終遵循某一固定的思路卻屢遭失敗后，沿著與原思路完全想反的方向重新進(jìn)行思考，從而提出的新的猜想.

七、聯(lián)想猜想

聯(lián)想是由一件事物想到另一件事物的心理活動(dòng).它以觀察為基礎(chǔ)，將所研究的對象和問題，聯(lián)系已有的知識和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行想象的思維活動(dòng).數(shù)學(xué)問題的解決，實(shí)質(zhì)上就是尋求命題的條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，整個(gè)解題的思維推理過程就是溝通新信息與原有知識的一個(gè)聯(lián)想過程.

八、構(gòu)造猜想

構(gòu)造猜想是指根據(jù)研究對象所存在的規(guī)律或者事物本身的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，所做出的解決問題的一種猜想方式，進(jìn)而使問題的研究更加簡單化.

九、對稱性猜想

對稱性不僅是一種解題方法，更是一種重要的解題思路.作用量的每一種對稱性都對應(yīng)一個(gè)守恒定律，有一個(gè)守恒量，從而將這兩個(gè)量緊密地聯(lián)系在一起，在解決很多問題上，可以大膽地進(jìn)行這種對稱性猜想.

對上述定義的應(yīng)用舉例如下.

例1 觀察下列圖形，如圖所示，下面四幅圖里面的大三角形是完全相同的，我們把它的面積記作單位1;則第二個(gè)圖形中空白部分的面積就可以記為34，第三個(gè)圖形中空白部分的面積記為916，……以此類推，那么第n個(gè)圖形中空白部分的面積S為多少呢？（用字母n表示）

解 由上面的圖形可以算出：

當(dāng)n=1時(shí)，S=1=341-1;

當(dāng)n=2時(shí)，S=34=342-1;

當(dāng)n=3時(shí)，S=916=343-1;

當(dāng)n=4時(shí)，S=2764=344-1.

通過歸納猜想我們不難發(fā)現(xiàn)，下一個(gè)圖形的面積是上一個(gè)的34，即連續(xù)的圖形面積形成了一個(gè)等比數(shù)列，通過認(rèn)真分析我們又發(fā)現(xiàn)，34的指數(shù)比n小1，所以根據(jù)前文我們所列舉內(nèi)容，對n與S之間的相互關(guān)系做出不完全的歸納，我們猜想S=34n-1.

例2 下表是由自然數(shù)組成的金字塔式的排列，先觀察其規(guī)律，再猜測第25行從右往左第26個(gè)數(shù)是;第38行有個(gè)數(shù).

1

2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16

17 18 19 20 21 22 23 24 25

……

解 通過觀察猜想數(shù)表發(fā)現(xiàn)：第二行最右邊數(shù)4=22，第五行最右邊數(shù)25=52，從而可知，第n行最右邊數(shù)為n2.其實(shí)，本題最右和最左都滿足平方型.第25行最右邊數(shù)為252=625，向左數(shù)第26個(gè)數(shù)是600;第38行最右邊數(shù)為382，第37行最右邊數(shù)為372，其差為382-372=75，所以第38行數(shù)目個(gè)數(shù)為75.

【參考文獻(xiàn)】

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