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    一維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布的教學(xué)方法探討

    2019-11-30 07:45:43鄭言
    關(guān)鍵詞:概率論教學(xué)方法

    鄭言

    【摘要】討論和比較了兩種一維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布的求法,并輔以實(shí)例重點(diǎn)介紹了其中的“直接法”.教學(xué)實(shí)踐表明,這種方法可以顯著地突出教學(xué)重點(diǎn),提升教學(xué)效率.

    【關(guān)鍵詞】概率論;函數(shù)的分布;一維隨機(jī)變量;連續(xù)型隨機(jī)變量;教學(xué)方法

    一、引 言

    在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)過程中,一維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布是一個(gè)重要的教學(xué)難點(diǎn),這部分內(nèi)容既需要學(xué)生融會貫通分布函數(shù)和密度函數(shù)的求法,也為他們將來學(xué)習(xí)多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布打下必要的基礎(chǔ).我們通過總結(jié)多年的課堂教學(xué),認(rèn)識到如果在教學(xué)過程中貫穿一個(gè)清晰的求解思路,是指導(dǎo)學(xué)生盡快掌握解題技巧的關(guān)鍵.遺憾的是,很多教材在這部分內(nèi)容的撰寫上,并沒有體現(xiàn)一個(gè)統(tǒng)一的思路,所列出的幾個(gè)例題往往會穿插使用不同的解題方法予以解決,而不同的方法之間既沒有很好地比較也沒有總結(jié).導(dǎo)致學(xué)生在初學(xué)書本的時(shí)候感覺無所適從,沒有經(jīng)驗(yàn)的教師也會抓不到教學(xué)的重點(diǎn),甚至?xí)ūP“灌輸”給學(xué)生.基于此,本文將討論和比較其中的兩種主要方法,并將“直接法”配以實(shí)例予以重點(diǎn)介紹.

    二、方 法

    問題的一般形式:設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為f(x),給定某個(gè)函數(shù)g(x)使得Y=g(X)為連續(xù)型隨機(jī)變量,那么如何求Y的概率密度?

    對此類問題,很多書上都會介紹兩個(gè)定理,并輔以例題“套公式”訓(xùn)練,茲列舉如下:

    定理1 設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為f(x),而y=g(x)嚴(yán)格單調(diào)有反函數(shù),且反函數(shù)x=g-1(y)h(y)有連續(xù)導(dǎo)函數(shù),則Y=g(X)是連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為

    fY(y)=f[h(y)]|h′(y)|,h(y)有意義,0,h(y)無意義.

    定理2 設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為f(x),而y=g(x)在互不相交的區(qū)間I1,I2,…上逐段嚴(yán)格單調(diào),其反函數(shù)分別為h1(y),h2(y),…,而且h′1(y),h′2(y),…均為連續(xù)函數(shù),則Y=g(X)是連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為

    fY(y)=∑if[hi(y)]|h′i(y)|.

    這兩個(gè)定理雖然一目了然,但是實(shí)際上難學(xué)難記且難用.難記就不必說了,難學(xué)體現(xiàn)在這兩個(gè)定理的證明過程對初學(xué)者頗有難度,一般在課堂上至多只能講授定理1而放過定理2,難用是最讓人頭疼的,對定理1要小心地確定fY(y)的分段定義區(qū)間,對定理2要小心地合并不同的f[hi(y)]|h′i(y)|項(xiàng),稍有遺漏就會導(dǎo)致結(jié)果出錯(cuò).

    其實(shí),在筆者看來,除非是面對數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生,否則這兩個(gè)定理沒有深入學(xué)習(xí)的必要,或者說,理工類的一般學(xué)生對此只是泛泛了解即可.因?yàn)槲覀冇懈唵螌?shí)用的方法——“直接法”.此方法分為三步:

    1.利用分布函數(shù)的定義,將FY(y)P(Y≤y)用X的分布函數(shù)F(x)表示;

    2.兩邊求導(dǎo),將Y的密度函數(shù)fY(y)用f(x)表示;

    3.代入f(x).

    這個(gè)解題程序也適用于證明定理1和定理2.在實(shí)際的求解過程中,直接法最好輔以一種簡單的解題技巧——“移花接木”,即應(yīng)用以下的簡單事實(shí):

    引理 設(shè)(Ω,F(xiàn),P)為概率空間,A,B∈F.如果P(A)=1,則P(B)=P(A∩B).

    下面,我們以一道典型題目為例介紹直接法的具體實(shí)施過程.

    問題 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f(x)=2xπ2,0

    因?yàn)間(x)=sinx,所以這道題目可以用定理2來求解.但是由于f(x)是一個(gè)間斷函數(shù),而sinx又是一個(gè)周期函數(shù),所以f[hi(y)]|h′i(y)|項(xiàng)并不易求,容易漏求或者多求,導(dǎo)致最終歸并得到的fY(y)有誤.相比之下,直接法顯得既簡單又有條理.

    解 第一步,F(xiàn)Y(y)P(Y≤y)=P(sinX≤y),則

    FY(y)=0,y≤0,1,y≥1.

    因此,只需考慮0

    FY(y)=P(sinX≤y)=P(sinX≤y,0

    =P(0

    =F(arcsiny)-F(0)+F(π)-F(π-arcsiny).

    至此,第一步完成,我們轉(zhuǎn)入第二步,兩邊求導(dǎo)得

    fY(y)=f(arcsiny)11-y2+f(π-arcsiny)11-y2.

    最后一步是代入f(x).這里需要注意的是,如果f(x)是定義在整個(gè)數(shù)軸上,那么將其表達(dá)式直接代入即可;如果f(x)是分段定義的,我們需要考慮此時(shí)f(·)內(nèi)的式子的容許范圍,以確定y的有效定義域.對本題目,由于0

    fY(y)=2arcsinyπ211-y2+2(π-arcsiny)π211-y2=2π1-y2.

    總結(jié)以上結(jié)果,我們有

    fY(y)=2π1-y2,0

    三、結(jié)束語

    如果將上面的分析過程略去,此題的解算過程將十分簡潔.感興趣的讀者也可以將此題用其他方法計(jì)算并比較,可以看出直接法具備好學(xué)又好用的特點(diǎn).在最近幾年的教學(xué)實(shí)踐中,我們的處理方式是重點(diǎn)講授直接法,而對圍繞定理1和定理2的套公式方法一帶而過,其他方法不予介紹.事實(shí)證明,學(xué)生在明確了教學(xué)重點(diǎn)后,教學(xué)效率有了顯著的提升.而且結(jié)合“移花接木”技巧的直接法,既對所有的類型題目游刃有余,也與后續(xù)學(xué)習(xí)形成了很好的關(guān)聯(lián).本文旨在推廣這一方法,也希望廣大師生積極探討并完善一維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布的教學(xué)方法.

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]孟憲勇,馮巍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)入門教學(xué)的實(shí)踐與探索[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2013(4):139-141.

    [2]馮強(qiáng),王榮波.關(guān)于一維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)分布的注記[J].科學(xué)技術(shù)與工程,2008(7):1774-1777.

    [3]盛驟,謝式千,潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2009.

    [4]吳翊,汪文浩,楊文強(qiáng).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京:高等教育出版社,2016.

    [5]許芳忠,許金華.淺談一個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布的教學(xué)[J].科技咨訊,2010(36):147.

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