直覺(jué)體悟：獲得概念的新路徑

張曉霞

摘要：數(shù)學(xué)概念是人類思維創(chuàng)造的抽象實(shí)體。直覺(jué)主義哲學(xué)特別強(qiáng)調(diào)人的直覺(jué)對(duì)數(shù)學(xué)概念的作用，認(rèn)為“純粹直觀”是數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的基本依據(jù)。以“公倍數(shù)和最小公倍數(shù)”的教學(xué)為例，讓學(xué)生在純粹感知過(guò)程中實(shí)現(xiàn)對(duì)公倍數(shù)和最小公倍數(shù)概念的構(gòu)造，精準(zhǔn)回歸倍數(shù)和因數(shù)作為“數(shù)”的身份特質(zhì)，抓住它們表征數(shù)與數(shù)之間的“關(guān)系”實(shí)施教學(xué)，是促使小學(xué)生理解、掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)概念的關(guān)鍵。

關(guān)鍵詞：直覺(jué)體悟;數(shù)學(xué)概念;小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2019）10B-0029-04

一、研究緣起

直覺(jué)主義哲學(xué)認(rèn)為數(shù)學(xué)必須依靠原始直覺(jué)，只有在“純粹直觀”里，人類才能先天、具體地把一切概念構(gòu)造出來(lái)。[1]蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“因數(shù)與倍數(shù)”單元的學(xué)習(xí)屬于初等數(shù)論的范疇，學(xué)生在學(xué)習(xí)本單元概念時(shí)存在一定的困難，主要原因是：第一，概念抽象，在學(xué)生看來(lái)“差不多”的概念比較多;第二，概念間的聯(lián)系非常密切，學(xué)生理解和把握概念間的“邏輯”關(guān)系有困難;第三，學(xué)生很難在實(shí)際生活中找到表征概念的模型，“聯(lián)系生活實(shí)際”學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的路走不通了;第四，由于專業(yè)知識(shí)儲(chǔ)備不足，教師“講不清楚”導(dǎo)致學(xué)生理解困難。筆者思考，要使學(xué)生能深c刻理解概念，正確把握概念之間的關(guān)系，教學(xué)時(shí)應(yīng)該側(cè)重體悟性的分析與計(jì)算，避免純粹邏輯的演繹推理?；诖?，讓學(xué)生在直覺(jué)主義理論指導(dǎo)下，經(jīng)歷公倍數(shù)和最小公倍數(shù)概念的構(gòu)造過(guò)程，精準(zhǔn)回歸倍數(shù)和因數(shù)作為“數(shù)”的身份特質(zhì)，抓住它們表征數(shù)與數(shù)之間的“關(guān)系”的功能進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生在不斷體驗(yàn)中找準(zhǔn)思考的著力點(diǎn)，不失為一條促使學(xué)生理解、掌握和運(yùn)用概念的新路徑。

二、實(shí)施準(zhǔn)備

在數(shù)學(xué)概念的形成與發(fā)展中，人類的直覺(jué)起著至關(guān)重要的作用。直覺(jué)主義哲學(xué)高度重視“直覺(jué)”和“個(gè)人思維”在概念形成中的作用[2]，擯棄邏輯主義與形式主義對(duì)已有數(shù)學(xué)成果的“靜態(tài)的”分析與“形式化”處理，認(rèn)為攀附于語(yǔ)言的邏輯與形式化方法不能成為數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)。相反，數(shù)學(xué)是心靈的創(chuàng)造，是一種自由的思維活動(dòng)[3]。據(jù)此，我們不難發(fā)現(xiàn)，“直覺(jué)體悟”指從具體、不同質(zhì)的數(shù)的特征中構(gòu)造出抽象的數(shù)學(xué)概念，它意味著數(shù)學(xué)概念需要建立在一種非經(jīng)驗(yàn)主義的傳統(tǒng)之上[4]。直覺(jué)主義學(xué)派認(rèn)為只有通過(guò)直觀感知，人類才得以認(rèn)識(shí)到先天的數(shù)學(xué)概念。直覺(jué)主義哲學(xué)觀使得在概念教學(xué)中，“讓學(xué)生通過(guò)感性的直觀體悟以認(rèn)識(shí)先天的數(shù)學(xué)知識(shí)與概念”成為可能。下面，就以蘇教版五年級(jí)下冊(cè)“公倍數(shù)和最小公倍數(shù)”一課的教學(xué)為例，闡述“直覺(jué)體悟”貫穿數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實(shí)施過(guò)程，以真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的被構(gòu)造。

（一）直覺(jué)體悟目標(biāo)的研制

有人說(shuō)，數(shù)論是數(shù)學(xué)中的皇后。這句話揭示了數(shù)論知識(shí)在數(shù)學(xué)理論中的“原理”性的地位。讓五年級(jí)的學(xué)生弄懂原理性概念并學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思維”，教學(xué)的目標(biāo)定位很重要。直覺(jué)主義哲學(xué)觀對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在教學(xué)法方面最突出的指導(dǎo)意義是在讓學(xué)生自己構(gòu)造概念并在此過(guò)程中理解概念存在的意義和價(jià)值。因此，直覺(jué)主義指導(dǎo)下的學(xué)習(xí)目標(biāo)研制就必須體現(xiàn)過(guò)程性、建構(gòu)性。筆者認(rèn)為，小學(xué)階段學(xué)數(shù)論，就是要讓學(xué)生在具體的情境中“論數(shù)”，論一論數(shù)的特點(diǎn)、構(gòu)成、作用，論一論數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系。以“公倍數(shù)和最小公倍數(shù)”一課的教學(xué)為例，教學(xué)目標(biāo)就可作如下定位：（1）讓學(xué)生在游戲中構(gòu)造公倍數(shù)和最小公倍數(shù)概念，探索找公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的一般方法。（2）在觀察、比較、概括和抽象等數(shù)學(xué)活動(dòng)中體悟數(shù)的特征。（3）在知識(shí)的溝通聯(lián)結(jié)中體會(huì)數(shù)學(xué)是無(wú)限的科學(xué)。重點(diǎn)：構(gòu)造公倍數(shù)和最小公倍數(shù)概念，體會(huì)公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的特點(diǎn)。

（二）直覺(jué)體悟方法的應(yīng)用

如前所述，直覺(jué)主義指導(dǎo)下的學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法是構(gòu)造和體悟。做好概念教學(xué)的選材立序工作，是幫助學(xué)生順利實(shí)現(xiàn)概念構(gòu)造的基礎(chǔ)工程。蘇教版“公倍數(shù)和最小公倍數(shù)”教材首先讓學(xué)生通過(guò)“鋪滿”正方形的活動(dòng)體會(huì)公倍數(shù)的意義，再讓學(xué)生掌握通過(guò)列舉倍數(shù)確定公倍數(shù)的方法。筆者思考：“鋪滿”正方形的操作活動(dòng)和前面“公因數(shù)與最大公因數(shù)”的“分完”正方形的操作活動(dòng)看似相同，其實(shí)不同，舊有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)對(duì)本節(jié)課的操作活動(dòng)無(wú)疑會(huì)產(chǎn)生干擾（就筆者多年的課堂觀察發(fā)現(xiàn)，學(xué)生始終分不清“剛好分完”和“剛好鋪滿”這兩種操作活動(dòng)背后對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)原理），這是其一。其二，曹培英先生指出，有一些數(shù)學(xué)知識(shí)適合先從現(xiàn)實(shí)原型引入，然后從數(shù)學(xué)內(nèi)部揭示生成該知識(shí)的原動(dòng)力;也有些數(shù)學(xué)知識(shí)適合先在數(shù)學(xué)范圍內(nèi)討論，然后應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題。例如，兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)和公倍數(shù)以及解方程等。[5]確實(shí)，教學(xué)實(shí)踐表明從數(shù)學(xué)外部的現(xiàn)實(shí)情境引入公倍數(shù)和最小公倍數(shù)概念，學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)模型的難度很大。第三，數(shù)論是“純粹數(shù)學(xué)”，“純粹數(shù)學(xué)”如何避免抽象和枯燥，讓學(xué)生親近和喜歡？筆者以直覺(jué)主義數(shù)學(xué)哲學(xué)為理論指導(dǎo)，追溯數(shù)論知識(shí)的起源，設(shè)計(jì)以游戲的方式激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，在游戲中自然地認(rèn)識(shí)公倍數(shù)和最小公倍數(shù)，體會(huì)它們的特點(diǎn)，通過(guò)“游戲升級(jí)”實(shí)現(xiàn)“分散難點(diǎn)，各個(gè)擊破”，取得了很好的教學(xué)效果。

三、策略分析

（一）以經(jīng)歷“構(gòu)造概念”的過(guò)程為依托

直覺(jué)主義認(rèn)為，只有基于主觀直覺(jué)的或心智上的可構(gòu)造性，數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)推理才能十分清楚地呈現(xiàn)在我們面前。直覺(jué)主義把人類的數(shù)學(xué)創(chuàng)造性活動(dòng)分為不可分離的兩個(gè)階段，即原始直覺(jué)和從原始直覺(jué)出發(fā)的構(gòu)造。

1.喚醒“原始直覺(jué)”

直覺(jué)主義認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程就是“借助構(gòu)造一個(gè)實(shí)體，去構(gòu)造另一個(gè)，再另一個(gè)”的過(guò)程;這種構(gòu)造最重要的構(gòu)件是一個(gè)清晰直觀的概念。以公倍數(shù)和最小公倍數(shù)為例，它的構(gòu)件就是“倍數(shù)”的概念。因此，教師在教學(xué)中首先就要幫助學(xué)生找到“構(gòu)件”。

（1）微視頻播放“跳格子”游戲：每個(gè)學(xué)生按抽到的指令（如，我每次跳2格）“跳格子”并用筆圈出棋子經(jīng)過(guò)的數(shù)。

（2）學(xué)生游戲后組織交流：

①仔細(xì)看看你在棋盤上圈出的數(shù)，有什么發(fā)現(xiàn)？（如下圖）為什么？

②其他同學(xué)圈出的數(shù)和所跳的格數(shù)之間是不是“倍數(shù)”關(guān)系？

2.構(gòu)造新的“對(duì)偶”

直覺(jué)主義認(rèn)為，數(shù)學(xué)構(gòu)造行為是理性的一種直覺(jué)能力：人們?cè)谡J(rèn)識(shí)了當(dāng)下的事物后，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，注意力聚焦到另一事物上，即在已經(jīng)完成構(gòu)造①的基礎(chǔ)上，人們重新獲取新的知識(shí)，完成構(gòu)造②，①和②在認(rèn)識(shí)領(lǐng)域里就形成了一個(gè)原始對(duì)偶。當(dāng)人們?cè)跁r(shí)空中不斷重復(fù)這種構(gòu)造行為時(shí)，可以進(jìn)一步獲得新的“對(duì)偶”。以公倍數(shù)和最小公倍數(shù)為例，教師在喚醒學(xué)生已有的倍數(shù)概念的基礎(chǔ)上，先行組織學(xué)生觀察、比較自己與他人棋盤的差異，實(shí)現(xiàn)學(xué)生從“倍數(shù)”到“公倍數(shù)”概念的初步構(gòu)造;接著組織“尋找公倍數(shù)”的認(rèn)知活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)“公倍數(shù)”的再次構(gòu)造;再組織學(xué)生觀察“公倍數(shù)之間的關(guān)系”“創(chuàng)造公倍數(shù)隊(duì)伍”“改造公倍數(shù)隊(duì)伍”等活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)從“公倍數(shù)”到“最小公倍數(shù)”概念的構(gòu)造。從倍數(shù)到公倍數(shù)，再到最小公倍數(shù)，學(xué)生在有序的認(rèn)識(shí)活動(dòng)中獲得了完整、清晰的公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的概念。

（二）以體悟概念之間的“關(guān)聯(lián)性”為基礎(chǔ)

直覺(jué)主義認(rèn)為數(shù)學(xué)概念來(lái)自“心靈的構(gòu)造”，一個(gè)概念總是在原有概念的基礎(chǔ)上被構(gòu)造出來(lái)，這也直接表明直覺(jué)主義認(rèn)為數(shù)學(xué)對(duì)象之間密切聯(lián)系的直覺(jué)主義邏輯觀。在直覺(jué)主義哲學(xué)觀指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)，必須讓學(xué)生充分體會(huì)概念的關(guān)聯(lián)性。

1.概念的意義關(guān)聯(lián)性

概念在意義上的關(guān)聯(lián)性是指盡管兩個(gè)概念包含的對(duì)象的數(shù)量不同，但它們?cè)谝饬x上是有聯(lián)系的。以公倍數(shù)和最小公倍數(shù)為例，教學(xué)中教師要讓學(xué)生體會(huì)到：公倍數(shù)和最小公倍數(shù)都是倍數(shù)，它們都表示兩個(gè)數(shù)倍數(shù)中重疊的部分。

2.概念的生長(zhǎng)關(guān)聯(lián)性

概念的生長(zhǎng)關(guān)聯(lián)性是指一個(gè)概念在另一個(gè)概念的基礎(chǔ)上發(fā)展、變化而來(lái)，有時(shí)，這兩個(gè)概念是包含關(guān)系，如：最小公倍數(shù)和公倍數(shù)、方程和等式，有時(shí)，還指一個(gè)概念是另一個(gè)概念產(chǎn)生的“副產(chǎn)品”，如：最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)之于約分、互質(zhì)數(shù)之于公因數(shù)等等。以“公倍數(shù)和最小公倍數(shù)”為例，教學(xué)中教師讓學(xué)生體會(huì)到：（1）公倍數(shù)和最小公倍數(shù)都建立在倍數(shù)概念基礎(chǔ)上;（2）最小公倍數(shù)建立在公倍數(shù)概念基礎(chǔ)上，是概念從一般走向了特殊。怎樣把這樣枯燥復(fù)雜的關(guān)系生動(dòng)有趣地呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生接受，甚而至于“喜歡”上它們呢？孩子是天生的游戲者，教學(xué)中可以通過(guò)設(shè)計(jì)目標(biāo)明確的游戲活動(dòng)，讓學(xué)生充分體會(huì)公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的特征。比如，初次游戲，觀察圈出的數(shù)的特點(diǎn)，喚醒倍數(shù)關(guān)系;再次游戲，找兩個(gè)棋盤里相同的數(shù)，感悟公倍數(shù)的“共性”;第三次游戲，通過(guò)猜學(xué)生所說(shuō)的公倍數(shù)一詞“該怎么寫”，采訪“你怎么想到起這個(gè)名字”等等，促使學(xué)生把公因數(shù)和最大公因數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)主動(dòng)地遷移過(guò)來(lái)，讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)方法結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)性;最后，觀察一列有序排列的公倍數(shù)，體會(huì)公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，讓學(xué)生體會(huì)到公倍數(shù)的敏感易變。通過(guò)這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)，公倍數(shù)和最小公倍數(shù)就從一個(gè)個(gè)冰冷的數(shù)變成了有溫度、有生命活力的學(xué)生的“伙伴”了。

（三）以體悟概念外延的“無(wú)限性”為關(guān)鍵

讓我們先來(lái)看下面兩個(gè)教學(xué)片段：

片斷1：教師把兩份作業(yè)投影對(duì)比，如下圖

教師提出問(wèn)題：

（1）比較這兩份作業(yè)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（2）公倍數(shù)的后面寫上省略號(hào)，什么意思？

（3）你怎么知道公倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的？你能找出下一個(gè)嗎？

（4）假如兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)里有一個(gè)是10，你能寫出它們其他的公倍數(shù)嗎？

片斷2：出示一個(gè)由若干個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方形拼成的正方形棋盤，組織學(xué)生找正方形并交流：

（1）你怎么知道正方形的邊長(zhǎng)是6厘米？你還能找出多大的正方形？

（2）這么多的正方形，我們說(shuō)不完，看不盡，但是我們可以想得到。誰(shuí)幫了我們的忙？

數(shù)學(xué)在很大程度上被定義為“無(wú)限的科學(xué)”。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要目標(biāo)，即是幫助學(xué)生逐步發(fā)展起無(wú)限的觀念。無(wú)限性是直覺(jué)的場(chǎng)所，直覺(jué)在學(xué)生建立對(duì)數(shù)學(xué)的潛無(wú)限認(rèn)識(shí)的過(guò)程中發(fā)揮著巨大的作用。上述教學(xué)片段中，呈現(xiàn)兩份對(duì)比性作業(yè)，通過(guò)討論“省略號(hào)能不能加”的問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì)公倍數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè);接著，通過(guò)“找正方形”的活動(dòng)，在數(shù)形結(jié)合的思辨活動(dòng)中充分發(fā)展了學(xué)生的想象力，讓他們?cè)诳芍貜?fù)的學(xué)習(xí)行為中“看到”并相信了無(wú)限。

（四）以體悟概念本體的“有用性”為目標(biāo)

直覺(jué)主義盡管認(rèn)為數(shù)學(xué)是心靈的創(chuàng)造，但它不否認(rèn)新的數(shù)學(xué)概念的建立于人們進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的積極作用。因此，教學(xué)中讓學(xué)生在觀察比較中體會(huì)數(shù)的“有用性”就是我們的課堂教學(xué)必須關(guān)注的目標(biāo)之一。還以公倍數(shù)和最小公倍數(shù)為例，學(xué)習(xí)公倍數(shù)和最小公倍數(shù)到底有什么用？教學(xué)中，教師可以多組織充分的觀察、比較、思辨活動(dòng)，讓學(xué)生體會(huì)公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的作用。比如，知道兩個(gè)數(shù)有公倍數(shù)10，讓學(xué)生猜其他的公倍數(shù)，討論會(huì)不會(huì)出現(xiàn)公倍數(shù)5，讓學(xué)生深刻體會(huì)認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)最小公倍數(shù)的價(jià)值;再如，讓學(xué)生觀察“棋盤中有什么圖形？正方形的邊長(zhǎng)為什么是6厘米？你看不到但能想得到的正方形還有哪些？比較公倍數(shù)和最小公倍數(shù)，你喜歡哪一個(gè)？為什么？……”讓學(xué)生充分體會(huì)公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的作用和價(jià)值。在此過(guò)程中，數(shù)形結(jié)合、極限等數(shù)學(xué)思想得到了滲透，還幫助學(xué)生充分體會(huì)到了“數(shù)學(xué)的自由創(chuàng)造和想象”，感受到了數(shù)學(xué)思維的力量。

在直覺(jué)主義哲學(xué)觀的指導(dǎo)下，通過(guò)豐富多樣的直觀體驗(yàn)活動(dòng)讓學(xué)生去構(gòu)造概念，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)概念內(nèi)涵的真理解，并在此過(guò)程中讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)活動(dòng)、領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思維、增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣、培育理性精神，是小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的應(yīng)有之義。

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責(zé)任編輯：丁偉紅

Intuitive Perception： A New Path to Acquiring Concepts

ZHANG Xiaoxia

（Yancheng Tinghuxinqu Experimental Primary School， Yancheng 224001，China）

Abstract： ?The mathematical concept is the abstract entity of humans thinking creation. Intuitive philosophy particularly emphasizes the role of humans intuition in mathematic concepts and holds that pure intuition is the basic ground for the generation of mathematical concepts. Taking the teaching of common multiple and minimum common multiple as examples， teachers should help students construct the concepts in the process of perception with accurate regression of multiples and factors as the identity of “numbers”. Meanwhile， teachers should implement teaching by grasping the relationship between representative numbers and numbers， which is key in promoting students understanding， mastering and applying mathematical concepts.

Key words： ?intuitive perception; mathematical concept; primary school mathematics teaching