■江蘇省江都中學 俞 新
2019年高考解三角形主要圍繞“三角形中的隱含條件、正余弦定理、三角形的面積公式、三角變換、三角形中的最值與范圍”等熱點問題展開的,凸顯目標意識下的“等價轉化”思想的具體應用。
例1(2019年高考全國Ⅱ卷文15)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c。已知bsinA+acosB=0,則
解析:邊角滿足齊次式,根據正弦定理把邊化為角,利用輔助角公式化為一個角的三角函數,結合角的隱含條件定角。由正弦定理,得sinBsinA+sinAcosB=0。因為A,所以,得sinB,所以,所以故選D。
品味:在△ABC中外接圓半徑),已知兩邊和一角或已知兩角和一邊,利用正弦定理可以求出其他的邊和角。如果遇到等式中含有角的正弦或邊的一次式或二次時,用正弦定理“邊化角化為一個角的三角函數求解”;注意A+B+C=π這個隱含條件,用誘導公式可以降元或變名稱。
例2(2019年高考北京卷文15)在△ABC中
(1)求b,c的值;
(2)求sin(B+C)的值。
解析:(1)借助余弦定理構建方程代入已知條件求b,c的值。由余弦定理可得cosB,因為a=3,代入化簡整理得c2-b2+3c+9=0。因為b-c=2,所以b=c+2,代入解得
(2)注意內角和這個隱含條件,借助余弦定理求解。由(1)知a=3,b=7,c=5,所以因為A為△ABC的內角,所以所以
品味:三角形中的三角變換主要涉及和差角公式、誘導公式和同角關系的應用等,關鍵在于合理選擇正余弦定理變角化統(tǒng)一。已知三邊(即S S S)或兩邊及一角(即S A S、S S A)時常使用余弦定理,其中已知S A S時,直接使用余弦定理;已知S S A時,既可用正弦定理,也可用余弦定理。如果式子中含有角的余弦或邊的二次齊次式時,常常借助三角形面積和余弦定理溝通a+c、a c、a2+c2、b之間的關系。
例3(2019年高考江蘇卷15)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c。(1)若,求c的值;(2)若,求的值。
解析:(1)利用余弦定理構建關于c的方程求根。因為,由余弦定理,即,所以
(2)結合正弦定理和同角三角關系求得cosB,再利用誘導公式求解。因為,由正弦定理所以從而cos2B=(2 sinB)2,即cos2B=4(1-cos2B),故cos2B因為sinB>0,所以cosB=2 sinB>0,從而因此
品味:有關解三角形的問題,涉及正余弦定理、同角三角函數關系式、誘導公式等的靈活應用,在解題的過程中,要時刻關注題設條件和目標意識,合理尋求簡捷的途徑,如(2)中由cosB=2 sinB可求得t a nB=2,所以
例4(2019年高考全國Ⅱ卷理15)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c。若,則△ABC的面積為
解析:應用余弦定理和題設,建立關于c的方程求a,c,應用三角形面積公式計算。由余弦定理得b2=a2+c2-2a ccosB,所以,即c2=12,解得(舍去),所以a=2c=,所以
品味:最常用的三角形面積公式有S=B,因為公式中既有邊又有角,最容易和正余弦定理聯系起來解決問題。
例5(2019年高考天津卷文16)在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c。已知b+c=2a,3csinB=4asinC。
(1)求cosB的值;
解析:(1)利用正弦定理和題設得到三邊比值,用余弦定理求角。在△ABC中,由正弦定理,得
又因為b+c=2a,得到
(2)利用二倍角公式、和差角公式及同角關系求三角函數值。
品味:高考中經常將三角變換與解三角形綜合起來命題,關鍵是正余弦定理的靈活應用,涉及的三角變換主要是“變角、變函數名和變運算結構”,核心是“變角”,彌補角之間結構差異的依據就是三角公式。