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    2019 年高考數(shù)列經(jīng)典問題聚焦

    2019-11-27 17:50:06江蘇省口岸中學葉阿平
    關鍵詞:裂項公比分式

    ■江蘇省口岸中學 葉阿平

    2019年高考對數(shù)列主要圍繞:“等差和等比數(shù)列的通項與求和、一般數(shù)列的切入點的應用、累加法與錯位相減法求和進而求通項、公式法求和、裂項相消法求和、數(shù)列中存在性問題的探究證明及參數(shù)范圍的求解”等知識展開的,凸顯數(shù)列的工具性、應用性及創(chuàng)新性。

    聚焦1——等差數(shù)列通項及前n項和的最值問題

    例1(2019年高考北京卷文16)設{an}是等差數(shù)列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比數(shù)列。

    (1)求{an}的通項公式;

    (2)記{an}的前n項和為Sn,求Sn的最小值。

    解析:(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d,因為a2+10,a3+8,a4+6成等比數(shù)列,所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6),即(2d-2)2=d(3d-4),解得d=2,所以an=-10+2(n-1)=2n-12。

    (2)方法1:由(1)知an=2n-12,所以當n=5或者n=6時,Sn所以所以取到最小值-30。

    方法2:由(1)得an=2n-12,因為所以n=5或6。即數(shù)列從第7項開始為正值,故最小×2=-30,則Sn的最小值為-30。

    反思:等差數(shù)列是特殊的一次函數(shù),可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求通項an=a1+(n-1)d=d n+(a1-d)=k n+b(n∈N*)及前n項和的最值。還可利用通項構(gòu)建不等式組或確定 的值,進而求 的最n Sn值,但要注意其定義域為正整數(shù)集這一限制條件。

    聚焦2——等比數(shù)列的定義、通項及前n項和的應用

    例2(2019年高考全國卷文18)已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,a1=2,a3=2a2+16。

    (1)求{an}的通項公式;

    (2)設bn=l o g2an,求數(shù)列{bn}的前n項和。

    常愛蘭愛上馱子的事其實我們嶺北周村的人是不大看好的。村上的周老相公就奚落過幾次,說常愛蘭愛馱子,肯定是愛馱子的錢。馱子有錢么?周老相公就說,你們看,馱子到嶺北周村來幾年了,從來沒有回過家,那么他的錢用到哪里去,咱們村,噢,不用說村了,就是整個嶺北鎮(zhèn)就那么屁股點大的地方,他去哪里用錢,他一年彈棉花彈到頭了,錢肯定是有不少的。而常愛蘭呢,她有什么?她就是一個寡婦,今年寡這個,明年寡那個,寡上誰誰倒霉。

    解析:(1)因為數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,a3=2a2+16,a1=2,所以令數(shù)列{an}的公比為q,則a3=a1q2=2q2,a2=a1q=2q,所以2q2=4q+16,解得q=-2(舍去)或4,所以數(shù)列{an}是首項為2、公比為4的等比數(shù)列,所以an=2×4n-1=22n-1。

    (2)因為bn=l o g2an,所以bn=2n-1,bn+1=2n+1,bn+1-bn=2,所以數(shù)列{bn}是首項為1、公差為2的等差數(shù)列,所以Sn=

    反思:等差、等比數(shù)列各有五個基本量,兩組基本公式,這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運算問題轉(zhuǎn)化為解關于基本量的方程(組)問題,有意識地應用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)可以簡化運算,經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運算量”的方法解等差、等比數(shù)列問題。

    聚焦3——裂項相消法求證特殊數(shù)列和不等式

    例3(2019年高考浙江卷20)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a3=4,a4=S3,數(shù)列{bn}滿足:?n∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比數(shù)列。

    (1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;

    解析:(1)由題意可得解得則數(shù)列{an}的通項公式an=2n-2,其前n項和

    (2)結(jié)合(1)中的通項公式進行兩次放縮

    反思:通項為分式的數(shù)列求和,常選用對通項部分分式裂為兩項,然后重新將數(shù)列的每一項裂為兩項,展開后構(gòu)成n-1個零,進而求出數(shù)列的和。有時需先放縮后求和證明數(shù)列不等式,如本題對分式通項cn=兩次放縮變形應注意通項成立的條件和裂項后相消項的目標意識。

    聚焦4——等差與等比對應項的積構(gòu)成的數(shù)列求和用“錯位相減法”

    例4(2019年高考天津卷文18)設{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,公比大于0,已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3。

    (1)求{an}和{bn}的通項公式;

    (2)設數(shù)列{cn}滿足求a1c1+a2c2+…+a2nc2n(n∈N*)。

    解析:(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q,依題意得解得故(an=3+3n-1)=3n,bn=3×3n-1=3n。

    記Tn=1×31+2×32+…+n×3n,則,所以,則

    反思:用錯位相減法求和應注意:(1)在寫出“Sn”與“q Sn”的表達式時應將兩式“錯項對齊”相減;(2)若公比為參數(shù),應分公比等于1和不等于1兩種情況求解。

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