形式三角矩陣環(huán)上（F，F(xiàn)）-Gorenstein投射模

何東林，李煜彥

（隴南師范高等?？茖W(xué)校數(shù)信學(xué)院，甘肅 隴南 742500）

Gorenstein 同調(diào)理論是相對同調(diào)代數(shù)的重要內(nèi)容.1969年Auslander 和Bridger[1]討論了雙邊Noether 環(huán)上有限生成模的G-維數(shù)，1995年Enochs 和Jenda[2]給出任意環(huán)上Gorenstein 投射模的概念，由于Gorenstein 投射模有許多與投射模類似的性質(zhì)，引起了很多作者的關(guān)注和研究.特別地，Pan 等人[3]將其推廣到（X，Y）-Gorenstein 投射模.易知（P，P）-Gorenstein 投射模就是Gorenstein 投射模，其中P 表示投射模類.形式三角矩陣環(huán)作為環(huán)論中一類重要的非交換環(huán)，在環(huán)模理論和代數(shù)表示論中扮演著重要的角色.2011年Enochs 等[4]研究了形式三角矩陣環(huán)上的平坦覆蓋與極小Quillen 分解.2014年Eshraghi等[5]進(jìn)一步討論了形式三角矩陣環(huán)上Gorenstein 投射模.自然而然地，可考慮形式三角矩陣環(huán)上的（F，F(xiàn)）-Gorenstein 投射模的性質(zhì)和等價(jià)刻畫，其中F 表示平坦模類.

其中α1:X→U 左R-模同態(tài)，α2:Y→V 為左S-模同態(tài).為了方便，文中的左Γ-模均用三元組的形式.對應(yīng)地，左 Γ-模同態(tài)均用二元組[α1，α2]的形式.同態(tài)[α1，α2]作用于元素均為右側(cè)作用，即同態(tài)的合成為右側(cè)合成，即對任意同態(tài)[α1，α2]與[β1，β2]的合成記為左 Γ-模中的零模簡記為0，其余未涉及的概念和記號參見文獻(xiàn)[7-8].

1 定義和引理

定義1[3]設(shè)A 為任意結(jié)合環(huán)，X 和 Y 均為左 A-模類且P?X.稱RM 模是（X，Y）-Gorenstein 投射模，如果存在正合列

其中Xi∈X，M?Ker（X-1→X-2）且對任意Y∈Y，該序列在函子HomR（-，Y）下正合.

（1）δ 在函子HomR（-，Y）下正合；

（2）對所有i∈Z，短正合列0→Kerfi→Xi→Kerfi-1→0 在函子HomR（-，Y）下正合.

證明 由Hom 函子的性質(zhì)易證.

引理2[4]是左Γ-模，則以下條件等價(jià)：

（2）φ :M?RX →Y 是單同態(tài)，X 是平坦左 R-模且余核 Cokerφ 是平坦左 S-模.

（1）Ker([α1，α2])=其中（對任意m∈M，x∈Kerα1）.進(jìn)而[α1，α2]是單同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng) α1，α2均為單同態(tài).

（2）Im([α1，α2])=其中u∈Imα1）.進(jìn)而[α1，α2]是滿同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng) α1，α2均為滿同態(tài).

即（1M?α1）φ=φα2.因?yàn)閷θ我?m∈M，x∈Kerα1，有

可見（m?x）φα2=0，（m?x）φ=Kerα2.不妨令

注意到下圖可交換

（2）證明過程與（1）對偶.

為了方便，下文中均假設(shè)ε 是左Γ-模復(fù)形，ε 及與其相關(guān)的導(dǎo)出復(fù)形具體形式如下：

引理4 復(fù)形ε 為正合復(fù)形當(dāng)且僅當(dāng)εR和εS均為正合復(fù)形.

2 主要結(jié)論

定理1 設(shè)εR為正合復(fù)形，且εR在M?R-下仍正合.則以下條件等價(jià)：

（1）對任意FR∈RF，εR在函子HomR（-，F(xiàn)R）下仍正合；

（2）對任意FR∈RF 和i∈Z，正合列下正合；

證明由εR為正合復(fù)形且εR在M?R-下正合易知，導(dǎo)出復(fù)形也是正合復(fù)形.根據(jù)引理 1 和引理 3 可得（1）?（2）且（3）?（4）.只須證明（2）?（3）.

可交換，即（1M?h1）η=h2，所以

（3）?（2）對任意 FR∈RF 和 i∈Z，由引理 2 知是左Γ-平坦模.對任意模同態(tài)考慮左Γ-模同態(tài)由（3）知存在同態(tài)使得

定理2 設(shè)εS為正合復(fù)形，且 M?RF?SF⊥.則以下條件等價(jià)：

（1）對任意FS∈SF，εS在函子HomR（-，F(xiàn)R）下仍正合；

（2）對任意FS∈SF 和i∈Z，短正合列在HomS（-，F(xiàn)S）下正合；

證明 由εS為正合復(fù)形易知，導(dǎo)出復(fù)形是正合復(fù)形.由引理1 和引理3 得（1）?（2）且（3）?（4）.只須證明（2）?（3）.

[g1，g2]就是滿足要求的同態(tài).因此正合列在函子HomR（-，F(xiàn)）下仍正合.

（3）?（2）對任意 FS∈SF 和 i∈Z，由引理 2 知是左Γ-平坦模.要證短正合列在函子 HomS（-，F(xiàn)S）下仍正合，只須證對任意左 S-模同態(tài)總存在同態(tài)使得注意到為左Γ-模同態(tài)，由（3）知存在同態(tài)使得可見不妨令則 g 就是滿足要求的同態(tài).因此在HomS（-，F(xiàn)S）下正合.

（2）對任意QR∈RF 和QS∈SF，有εR在函子HomR（-，QR）下正合且Coker ε 在HomS（-，QS）下正合.

證明 由ε 為正合復(fù)形和引理4 易知，εR和εS為正合復(fù)形.又由εR在M?R-下正合知，M?RεR也是正合復(fù)形.因?yàn)橛梢?2 可知且 φi為單同態(tài).根據(jù)復(fù)形正合列 0→M?RεR→εS→Coker ε→0 得，Coker ε 也是正合復(fù)形.考慮復(fù)形短正合列

由定理3 易得如下結(jié)論.

推論2 設(shè)εR和εS均為正合復(fù)形，下正合且M ?RF?SF⊥.則以下說法成立：

（1）如果 U 是（F，F(xiàn)）-Gorenstein 投射左 R-模，那么是（F，F(xiàn)）-Gorenstein 投射左Γ-模.

（2）如果 V 是（F，F(xiàn)）-Gorenstein 投射左 S-模，那么是（F，F(xiàn)）-Gorenstein 投射左 Γ-模.

定理4 設(shè)εR和εS均為正合復(fù)形，下正合且則以下條件等價(jià)：

（2）X 是（F，F(xiàn)）-Gorenstein 投射左 R-模，Cokerφ 是（F，F(xiàn)）-Gorenstein 投射左 S-模且 φ是單同態(tài).

3 總結(jié)

利用同調(diào)代數(shù)的方法，研究了形式三角矩陣環(huán)Γ 上的（F，F(xiàn)）-Gorenstein 投射模.結(jié)果表明由模RX 和SY 以及左S-同態(tài)φ:M?RX→Y 組成的Γ-模是（F，F(xiàn)）-Gorenstein 投射模，當(dāng)且僅當(dāng)RX 和SCokerφ 均是（F，F(xiàn)）-Gorenstein 投射模且 φ 為單同態(tài).從而補(bǔ)充了形式三角矩陣環(huán)上模的基礎(chǔ)理論.