一種優(yōu)化的永磁同步電機(jī)電流迭代控制算法

覃思雨，劉 平，黃守道，朱偉進(jìn)

(1.湖南大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410082； 2.湖南沃森電氣科技有限公司，湘潭 411101)

0 引 言

電機(jī)的模型和參數(shù)在運(yùn)行過(guò)程中的變化和不確定性將影響到矢量控制的精度，應(yīng)用現(xiàn)代控制理論能夠在電機(jī)模型或參數(shù)變化時(shí)仍可保持良好的控制性能[1-2]。目前的控制策略有PI調(diào)節(jié)器、滑模變結(jié)構(gòu)控制、滯環(huán)控制和模型預(yù)測(cè)控制等[3-6]。

為改進(jìn)永磁同步電機(jī)(以下簡(jiǎn)稱(chēng)PMSM)的電流預(yù)測(cè)控制效果，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了多種策略。文獻(xiàn)[7]將電流預(yù)測(cè)模型與數(shù)學(xué)差值相結(jié)合，提出一種基于控制器的多步模型預(yù)測(cè)算法，但是由于溫度、磁場(chǎng)的飽和程度變化，PMSM的交、直軸電感會(huì)隨之變化，故系統(tǒng)控制精度降低。文獻(xiàn)[8]對(duì)電流實(shí)行閉環(huán)控制，利用兩個(gè)預(yù)測(cè)控制相鄰周期的模型相減來(lái)消除恒定項(xiàng)。與傳統(tǒng)預(yù)測(cè)控制相比，該方案僅使用一個(gè)電機(jī)參數(shù),但實(shí)際中實(shí)現(xiàn)對(duì)電流指令快速跟蹤時(shí)響應(yīng)速度較慢，隨之還有轉(zhuǎn)矩波動(dòng)。文獻(xiàn)[9]提出了一種新型高頻電流擴(kuò)展控制器，通過(guò)該控制器將測(cè)試電流疊加到基本電流中?？刹⒎撬械膮?shù)都可通過(guò)控制器識(shí)別，且因測(cè)試參數(shù)過(guò)大導(dǎo)致非常耗時(shí)。文獻(xiàn)[10]對(duì)PMSM的模型預(yù)測(cè)控制采用兩個(gè)線(xiàn)性模型預(yù)測(cè)控制器級(jí)聯(lián)的方法。由于在建模過(guò)程中忽略了模型的非線(xiàn)性部分，模型預(yù)測(cè)算法雖然簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)，卻不能完全反映出控制對(duì)象的動(dòng)態(tài)特性，難以實(shí)現(xiàn)控制的準(zhǔn)確性和精確性。

從電流預(yù)測(cè)控制的高效性和精準(zhǔn)性出發(fā)，提出了一種優(yōu)化的PMSM電流迭代控制算法，在滿(mǎn)足電機(jī)轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速前提下尋得最優(yōu)的電流。采用牛頓迭代法求取最大轉(zhuǎn)矩電流比控制要求下不同轉(zhuǎn)矩對(duì)應(yīng)的d,q軸電流最優(yōu)解，對(duì)得到的最優(yōu)解進(jìn)行數(shù)值分析，得到相應(yīng)的曲線(xiàn)，然后對(duì)所得曲線(xiàn)用數(shù)學(xué)函數(shù)進(jìn)行擬合，擬合后所得函數(shù)關(guān)系式替代傳統(tǒng)的查表法中大量的離散數(shù)據(jù)，從而簡(jiǎn)化控制，消除了對(duì)于電機(jī)參數(shù)的依賴(lài)，該方法對(duì)于任何給定的電磁轉(zhuǎn)矩都可以較快地計(jì)算出其對(duì)應(yīng)的電流分量。并且，模型預(yù)測(cè)控制的預(yù)測(cè)狀態(tài)可降低輸出延時(shí)對(duì)解耦所造成的影響，結(jié)合歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行反饋校正，保證電流的跟蹤性能[11-13]。定子電流最優(yōu)預(yù)測(cè)控制策略從本質(zhì)上講，就是在滿(mǎn)足電機(jī)運(yùn)行需求下實(shí)現(xiàn)對(duì)電流最優(yōu)的預(yù)測(cè)和控制。

1 PMSM建模與最大轉(zhuǎn)矩電流比控制

1.1 PMSM數(shù)學(xué)模型與電壓電流約束

在d,q坐標(biāo)系下，PMSM的電壓、電流方程：

(1)

且有：

(2)

式中：|U|,|I|為定子電壓和電流單相幅值；ud,uq為定子d軸電壓和q軸電壓；id,iq為定子d軸電流和q軸電流；Ld,Lq為定子d軸電感和q軸電感；ωe為電角速度；Rs為定子電阻；ψ為轉(zhuǎn)子磁鏈。

PMSM的轉(zhuǎn)矩方程：

(3)

式中：Te為電磁轉(zhuǎn)矩；p為極對(duì)數(shù)。

結(jié)合PMSM的電壓方程和轉(zhuǎn)矩方程可得到：

(4)

(5)

式(4)和式(5)表明，等電壓線(xiàn)在某一固定轉(zhuǎn)速下為橢圓，等轉(zhuǎn)矩線(xiàn)為雙曲線(xiàn)。當(dāng)給定Te,n和|U|后，id,iq也隨即由橢圓與雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)所確定。給定n和|U|兩個(gè)變量才能唯一確定一個(gè)橢圓，只給定Te或n時(shí)，id和iq有無(wú)窮多的組合。在此條件下，選取能使損耗最小的一組id,iq。

曲線(xiàn)上的點(diǎn)代表著相同轉(zhuǎn)矩下的最小的定子電流，也就意味著有著最小損耗[14-17]。d軸和q軸電流的表達(dá)式如下：

(6)

PMSM運(yùn)行時(shí)電壓和電流都不能超過(guò)限制值，即需滿(mǎn)足下列約束條件：

(7)

即：

(8)

1.2 最大轉(zhuǎn)矩電流比控制(以下簡(jiǎn)稱(chēng)MTPA)

MTPA可最大限度地減少銅耗。在轉(zhuǎn)矩確定的情況下，遵循最優(yōu)d，q軸電流分量電流軌跡使定子電流最小[18]，是一種典型的恒轉(zhuǎn)矩區(qū)域的電流優(yōu)化控制策略。利用數(shù)學(xué)中的拉格朗日定理，引入輔助函數(shù)：

(9)

接著開(kāi)始拉格朗日求極值的過(guò)程：

(10)

對(duì)上式求解，得到直軸電流id和交軸電流iq的關(guān)系：

(11)

代入得到轉(zhuǎn)矩和電流的關(guān)系：

當(dāng)PMSM運(yùn)行時(shí)，可控?fù)p耗主要為定子銅耗pCu，其表達(dá)式如下：

(13)

定子銅耗pCu隨著定子電流|I|的減小而減小，當(dāng)|I|最小時(shí)，可獲得最高的效率。MTPA曲線(xiàn)上的點(diǎn)代表著同樣轉(zhuǎn)矩下的最小定子電流，也就意味著有著最小損耗。

2 基于模型預(yù)測(cè)控制(以下簡(jiǎn)稱(chēng)MPC)的PMSM定子電流迭代控制算法

2.1 優(yōu)化的PMSM電流迭代控制算法

本文控制策略目的在于滿(mǎn)足電機(jī)運(yùn)行狀態(tài)下求取最優(yōu)的定子電流，因此應(yīng)根據(jù)以下規(guī)則選取約束下的最優(yōu)目標(biāo)工作點(diǎn)：

1) 在滿(mǎn)足約束條件的前提下使實(shí)際轉(zhuǎn)矩盡量接近目的轉(zhuǎn)矩，選取電流集合{id，iq}=argmin|TeSP-Te|，且滿(mǎn)足約束條件即式(7)。

2) 在集合{id，iq}中選取使id最接近idSP的組合。根據(jù)MTPA曲線(xiàn)求取d軸目標(biāo)電流idSP和q軸目標(biāo)電流iqSP，然后用約束條件進(jìn)行約束重塑。MTPA軌跡上的d軸，q軸電流是目標(biāo)轉(zhuǎn)矩TeSP的單值函數(shù)，即：

(14)

(15)

根據(jù)式(11)，得到如下d軸目標(biāo)電流idSP迭代方程：

(16)

控制器每次控制循環(huán)都將根據(jù)式(16)修正當(dāng)前d軸電流id0，因此單次迭代就可以得到較高的精度。

約束下的最優(yōu)解：當(dāng)?shù)玫絛軸目標(biāo)電流idSP后，應(yīng)根據(jù)以下步驟選取電流最優(yōu)解，此時(shí)分為下列幾種情況：

1) 電壓極限橢圓與電流極限圓無(wú)交點(diǎn)

電壓極限橢圓與id軸右側(cè)交點(diǎn)為(idq0,0)，當(dāng)idq0<-|I|lim時(shí)，電壓極限橢圓與電流極限圓無(wú)交點(diǎn)，此時(shí)以(idq0,0)作為最終的目標(biāo)工作點(diǎn)。但是這種情況下定子電流已經(jīng)超過(guò)了限制值，長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)行將會(huì)損壞電機(jī)，因此應(yīng)盡量避免這種情況的出現(xiàn)。

2) 電壓極限橢圓與電流極限圓有交點(diǎn)，轉(zhuǎn)矩曲線(xiàn)與電流極限圓無(wú)交點(diǎn)

電壓極限橢圓與id軸的右交點(diǎn)為(idq0,0)，當(dāng)idq0>-|I|lim時(shí)，電壓極限橢圓與電流極限圓存在重疊區(qū)域。電流極限圓內(nèi)的最大轉(zhuǎn)矩點(diǎn)為MTPA曲線(xiàn)與電流極限圓的交點(diǎn)(idTm,iqTm)，對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)矩為T(mén)emax,若|TeSP|>Temax，則轉(zhuǎn)矩曲線(xiàn)與電流極限圓無(wú)交點(diǎn)。

3) 電壓極限橢圓與電流極限圓有交點(diǎn)，轉(zhuǎn)矩曲線(xiàn)與電流極限圓有交點(diǎn)

當(dāng)idq0>-|I|lim時(shí)，電壓極限橢圓與電流極限圓存在重疊區(qū)域。當(dāng)|TeSP|>Temax時(shí)，轉(zhuǎn)矩曲線(xiàn)與電流極限圓有交點(diǎn)。

(a) (idTm,iqTm)在電壓 極限橢圓內(nèi)

(b) (idSP,iqSP)不在電壓 極限橢圓內(nèi)圖1 約束條件下的最優(yōu)解策略

圖2 優(yōu)化的電流迭代算法

2.2 模型預(yù)測(cè)控制器

三相兩電平電壓源逆變器[19-20]的輸出電壓VxN由開(kāi)關(guān)信號(hào)Sa,Sb,Sc決定,Sx∈{0,1},x∈{a,b,c}。逆變器的輸出電壓VxN=SxVdc。由此可得電機(jī)中性點(diǎn)到每相電壓：

(17)

由ABC坐標(biāo)系等幅值變換到dq坐標(biāo)系，得：

(18)

式中：θ為轉(zhuǎn)子位置角。需要計(jì)算8次，開(kāi)關(guān)狀態(tài)：(000)，(100)，(110)，(010)，(011)，(001)，(101)，(111)。

1) 離散時(shí)間模型：對(duì)采樣時(shí)間Ts的定子電流導(dǎo)數(shù)采用后項(xiàng)歐拉近似法，得d，q參考坐標(biāo)系下的k+1時(shí)刻預(yù)測(cè)定子電流表達(dá)式：

(19)

2) 代價(jià)函數(shù)：為了使每次迭代的定子電流值誤差最小，定義代價(jià)函數(shù)：

(20)

如圖3所示，對(duì)于給定的輸出轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速，可以有多個(gè)不同的id，iq組合。電機(jī)運(yùn)行狀態(tài)下，通過(guò)最優(yōu)解策略求取最優(yōu)的定子電流，同時(shí)與設(shè)計(jì)的模型預(yù)測(cè)控制器相結(jié)合，對(duì)PMSM定子電流進(jìn)行控制，從而形成一種優(yōu)化的PMSM電流迭代控制算法。

圖3 優(yōu)化的PMSM電流迭代控制算法

3 仿真與實(shí)驗(yàn)

本文對(duì)所提出的優(yōu)化的PMSM電流迭代控制算法進(jìn)行了仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。仿真和實(shí)驗(yàn)電路參數(shù)如下：d軸電感Ld=10 mH，q軸電感Lq=19 mH，極對(duì)數(shù)p=2，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=0.054 3 kg·m2，永磁體磁鏈ψ=0.788 5 Wb，定子電阻Rs=0.349 Ω，逆變器直流電壓Udc=300 V，頻率f=10 kHz。

3.1 仿真

比較MTPA和本文電流優(yōu)化迭代控制算法兩種不同的控制方式下，通過(guò)強(qiáng)制增加電機(jī)轉(zhuǎn)速，如圖4所示，從而得到電機(jī)相應(yīng)轉(zhuǎn)矩以及輸出d，q電流。電機(jī)輸出實(shí)際電流，實(shí)際電壓所對(duì)應(yīng)的變化，如圖5和圖6所示。在電流迭代控制算法下，改變給定電壓限制值大小或改變給定轉(zhuǎn)矩的大小，其定子電流最優(yōu)解策略如圖7所示。

圖4 電機(jī)轉(zhuǎn)速

(a) 電機(jī)轉(zhuǎn)矩

(b) id,iq

(c) 電機(jī)實(shí)際輸出電流

(d) 電機(jī)實(shí)際輸出電壓圖5 采用MTPA電流優(yōu)化的MPC控制結(jié)果

(a) 電機(jī)轉(zhuǎn)矩

(b) id,iq

(c) 電機(jī)實(shí)際輸出電流

(d) 電機(jī)實(shí)際輸出電壓圖6 采用電流優(yōu)化迭代算法的MPC控制結(jié)果

在轉(zhuǎn)速?gòu)?升高到2 000 r/min的過(guò)程中，采用電流優(yōu)化迭代算法時(shí)，電流iq從0逐漸增加到30 A。由于此時(shí)電流無(wú)法傳遞所請(qǐng)求的轉(zhuǎn)矩極限，所以可達(dá)到的最大轉(zhuǎn)矩是75 N·m。隨后，轉(zhuǎn)速以恒定的加速度到達(dá)2 000 r/min，隨著轉(zhuǎn)速進(jìn)一步增加，需要更多的磁通削弱來(lái)限制電機(jī)電壓，這意味著損失輸出轉(zhuǎn)矩。由于在電壓極限橢圓方程中忽略定子電阻大小，實(shí)際橢圓中心點(diǎn)縱坐標(biāo)為負(fù)，故最終可傳遞轉(zhuǎn)矩最大值變?yōu)樨?fù)值。由于電壓下降，電壓極限橢圓之間的切點(diǎn)以及電流極限圓之間的交點(diǎn)，在給定電壓電流極限下，所以最終id,iq電流值為負(fù)。

比較圖5、圖6，在MTPA控制下，在隨轉(zhuǎn)速升高的過(guò)程中轉(zhuǎn)矩值最終穩(wěn)定在-60 N·m，而id,iq隨轉(zhuǎn)速升高的過(guò)程中，id值最終穩(wěn)定在-72 A，iq值最終穩(wěn)定在-32 A。在電流優(yōu)化迭代控制算法下，轉(zhuǎn)矩在隨轉(zhuǎn)速升高的過(guò)程中，因?yàn)橛须妷弘娏鞯南拗疲渲底罱K在0上下波動(dòng)。而id,iq隨轉(zhuǎn)速升高的過(guò)程中，id值最終穩(wěn)定在-47 A，iq值最終在0上下波動(dòng)。本文電流優(yōu)化迭代控制算法下id,iq的絕對(duì)值均比MTPA控制下的id,iq的絕對(duì)值小，其電機(jī)損耗相對(duì)更小，控制方式更為優(yōu)化。在MTPA控制下，由于沒(méi)有電壓電流的限制，電流在隨轉(zhuǎn)速升高的過(guò)程中，其值最終穩(wěn)定在80 A，電壓值最終穩(wěn)定在183 V。在電流優(yōu)化迭代控制算法下，電壓限制的優(yōu)先級(jí)最高，電流其次，首先滿(mǎn)足電壓限制在135 V左右，僅為MTPA控制下的電壓大小的73.77%。其次限制電流，雖然電流限制值為30 A，最終也將其限制在47 A，僅為MTPA控制下的電流大小的58.75%。

(a) 轉(zhuǎn)矩100 N·m， 電壓限制為135 V下的 電流求解策略圖

(b) 給定轉(zhuǎn)矩100 N·m， 電壓限制為135 V下的 最優(yōu)id,iq軌跡圖

(c) 轉(zhuǎn)矩100 N·m， 電壓限制為192 V下的 電流求解策略圖

(d) 給定轉(zhuǎn)矩100 N·m， 電壓限制為192 V下的 最優(yōu)id,iq軌跡圖

(e) 轉(zhuǎn)矩-60 N·m， 電壓限制為135 V下的 電流求解策略圖

(f) 給定轉(zhuǎn)矩-60 N·m， 電壓限制為135 V下的 最優(yōu)id,iq軌跡圖圖7 采用電流優(yōu)化迭代控制算法的定子電流最優(yōu)解策略

僅改變電壓限制值大小，從135V增加到192 V，電壓極限橢圓變大且向左移動(dòng)。而僅改變給定的轉(zhuǎn)矩大小，可得轉(zhuǎn)矩給定100 N·m時(shí)，其最優(yōu)id值均為負(fù)，iq值大部分在0到30 A內(nèi)波動(dòng)。轉(zhuǎn)矩給定-60 N·m時(shí)，其最優(yōu)id值均為負(fù)，iq值大部分在0到-25 A內(nèi)波動(dòng)。

經(jīng)過(guò)本文電流優(yōu)化迭代控制算法得到最優(yōu)定子電流后，分別在傳統(tǒng)的磁場(chǎng)定向控制(以下簡(jiǎn)稱(chēng)FOC)-PI控制和本文的MPC控制下，比較id,iq控制的優(yōu)劣，如圖8和圖9所示。

圖8 FOC-PI控制下id,iq參考值與實(shí)際值比較圖

圖9 MPC控制下id,iq參考值與實(shí)際值比較圖

由圖8、圖9可以看出，傳統(tǒng)控制方式下振蕩較多，與id,iq給定實(shí)際參考值的曲線(xiàn)擬合較差，控制精度一般。而MPC與id,iq給定實(shí)際參考值的曲線(xiàn)擬合基本重疊，表明id,iq的輸出值與給定實(shí)際參考值基本一樣，控制精度較高，相比傳統(tǒng)的FOC-PI控制方式，本文的MPC對(duì)id,iq的控制更加優(yōu)化。

3.2 實(shí)驗(yàn)

在1.5 kW的內(nèi)置式PMSM系統(tǒng)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn) ，采用型號(hào)為T(mén)MS320F2808 的DSP實(shí)現(xiàn)算法，并搭建了如圖10所示的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。

圖10 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

實(shí)驗(yàn)中，電機(jī)轉(zhuǎn)速?gòu)?增加到2 000 r/min，整個(gè)過(guò)程時(shí)間設(shè)定為12 s,電流傳感器測(cè)相電流的瞬時(shí)值，電壓傳感器測(cè)線(xiàn)電壓的瞬時(shí)值。在后期電壓電流穩(wěn)定不變時(shí)，取時(shí)間間隔為0.01 s的電流幅值的相電流瞬時(shí)值和線(xiàn)電壓瞬時(shí)值，其實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖如圖11所示。

(a) 采用MTPA電流優(yōu)化的MPC控制結(jié)果

(b) 采用電流優(yōu)化迭代算法的MPC控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖11 采用MTPA和電流優(yōu)化迭代算法的MPC控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果

由圖11可得，在MTPA控制下，相電流瞬時(shí)值最終穩(wěn)定在59.14 A，電流幅值為83.62 A。線(xiàn)電壓瞬時(shí)值最終穩(wěn)定在227.80 V，電壓幅值為185.98 V。在本文電流優(yōu)化迭代控制算法下，由于電壓限制的優(yōu)先級(jí)最高，電流其次，所以首先滿(mǎn)足電壓限制在135 V左右。相電流瞬時(shí)值最終穩(wěn)定在34.66 A，故其電流幅值為48.87 A。線(xiàn)電壓瞬時(shí)值最終穩(wěn)定在167.10 V，其電壓幅值為136.58 V，僅為MTPA控制下的電壓大小的73.44%。其次限制電流，雖然電流限制值為30 A，最終也將其限制在48.87 A，僅為MTPA控制下的電流大小的58.44%。故本文所選取的電流優(yōu)化迭代控制算法方式比MTPA更為優(yōu)化。

通過(guò)電流優(yōu)化迭代控制算法得出電流最優(yōu)值后，分別用傳統(tǒng)的FOC-PI控制和本文的MPC來(lái)進(jìn)行控制，比較兩種不同的方式下電機(jī)的實(shí)際id,iq輻值，如圖12所示。

(a) FOC-PI

(b) MPC圖12 FOC-PI和MPC下電機(jī)id,iq輸出值

由圖12可見(jiàn)，F(xiàn)OC-PI控制下,曲線(xiàn)擬合跟蹤較差，控制精度一般。而MPC與id,iq給定實(shí)際參考值的曲線(xiàn)擬合基本重疊，控制精度較高，相比傳統(tǒng)的FOC-PI控制方式，MPC對(duì)id,iq的控制精度更高。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文提出了一種優(yōu)化的PMSM電流迭代控制算法，基于PMSM特性進(jìn)行最大效率工作點(diǎn)的選取，對(duì)非線(xiàn)性的特性曲線(xiàn)運(yùn)用迭代法進(jìn)行數(shù)值求解，在保證計(jì)算量較小的同時(shí)，求取較為準(zhǔn)確的解，從而實(shí)現(xiàn)一種在滿(mǎn)足轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)速需求的同時(shí)，具有高效率與快速動(dòng)態(tài)響應(yīng)。對(duì)工作點(diǎn)的選取和計(jì)算均基于PMSM原始的非線(xiàn)性特性曲線(xiàn)，相較于線(xiàn)性化方式，大大弱化了電壓約束條件，因此獲得的目標(biāo)工作點(diǎn)更為準(zhǔn)確。求取準(zhǔn)確度不受負(fù)載以及目標(biāo)轉(zhuǎn)矩的影響，避免了出現(xiàn)因計(jì)算誤差而導(dǎo)致的轉(zhuǎn)矩不穩(wěn)定甚至振蕩情況的出現(xiàn)。同時(shí)采用MPC使電機(jī)實(shí)際定子電流值與預(yù)測(cè)值無(wú)限接近。仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該策略的特點(diǎn)及優(yōu)勢(shì)。